奥鹏期末考核作业概率论与数理统计

期末作业考核
《概率论与数理统计》
满分100分
一、计算题（每题10分，共70分）
1、已知随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，试求二项分布的参数n ，p 的值。

解： 因为随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，
所以np X E =)( )1()(p np X D -=，
由此可得4.2=np ，44.1)1(=-p np ,
解得：n=6，p=0.4。

2、设)2,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。

解： 因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： )(21
)(2
2)(+∞<<-∞=--x e x f x σμσπ，
进而，将2,3=-=σμ代入上述表达式可得具体密度函数为：
=)(x f )(2218)3(2+∞<<-∞+-x e x π。

3、设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，求“恰有一个是正品”的概率。

解：利用古典概型进行概率计算
则 “恰有一个是正品”的概率为：11822101645
C C C =； 至少有1个是正品的概率为：1128282104445
C C C C += 或0.978。

4、已知离散型随机变量X 服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,!
2)(2
===-k k e k X P k …，试求随机变量23-=X Z 的数学期望。

解： 因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： )(21
)(2
2)(+∞<<-∞=--x e x f x σμσπ，
进而，将2,3=-=σμ代入上述表达式可得具体密度函数为：
=
)(x f )(214
)3(2+∞<<-∞+-x e x π。

5、设随机变量X 与Y 相互独立且均服从)1,0(N 分布，试求Y X Z +=的概率密度。

解：由于,X Y 独立，所以(0,2)Z N 服从，
Y X Z +=的概率密度为：)4exp(21
)(2
z z f -=π。

6、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=--θθθθx x e x f x ,
0,),()(，n X X X ,,,21 为总体X 的样本，试求θ的矩估计量。

解：θ的矩估计量可如下求解：
()0()x x EX xe dx x e dx θθθ∞∞
---==+⎰⎰1θ=+， 由矩估计法知，令11X X θθ+=⇒=-。

7、设总体
)10,60(~2N X ，从总体X 中抽取一个容量为25的样本，求样本均值X 与总体均值之差的绝解：|60|(|60|2)(1)1(1)(1)2(1(1))2
X P X P -->=>=-Φ+Φ-=-Φ= 0.3174．对值大于2的概率。

（已知标准正态分布的分布函数8413.0)1(=Φ）。

二、证明题（共30分）
1、设),,,(21n X X X 是取自总体),0(2
σN 的样本，试证明统计量∑=--n
i i X X n 12)(11是总体方差2σ的无偏估计量。

证明： 事实上，22211
11()()11n n i i i i X X X nX n n ==-=---∑∑ 22211
11(())()11n n i i i i E X X E X nE X n n ==-=---∑∑2221()1n n n n σσσ=-=-
所以统计量∑=--n
i i X X n 12)(11是总体方差2σ的无偏估计量。