三角函数复习教案

三角函数复习
一.任意角、弧度制
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角：置角的顶点于原点，始边重合于X轴的正半轴，终边落在第几象限就是第几象限。

如果角的终边在坐
标轴上，称这个角为轴线角.
终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
4.弧度制定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

“弧度”常用“rad”表示。

任一已知角α的弧度数的绝对值求法：︱α︱= l（α角所对应的弧长）/r（半径）
扇形面积公式：s = 1/2 lr=1/2r2︱α︱
二.任意角的三角函数
常见角的三角函数：
角α30º45º60°120°135°150°
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
三角函数的诱导公式
sin（2kπ+α）=sinα k∈z sin（π+α）=－sinα k∈z sin（－α）=－sinα
cos（2kπ+α）=cosα k∈z cos（π+α）=－cosα k∈z cos（－α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z tan（－α）=－tanα
cot（2kπ+α）=cotα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z cot（－α）=－cotα
sin（π－α）=sinα sin（π/2+α）=cosα sin（π/2－α）=cosα
cos（π－α）=－cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinα
tan（π－α）=－tanαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotα
cot（π－α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanα cot（π/2－α）=tanα
tanα ·cotα=1 sin2(α)+cos2(α)=1
sinα ·cscα=11+tan2(α)=sec2(α)
cosα ·secα=11+cot2(α)=csc2(α)
两角和差公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα
sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)
积化和差公式
)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=；
)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]
cos()[cos(21
sin sin βαβαβα--+-=
和差化积公式
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+；2
sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-；
2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2
sin 2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-
半角公式：
2cos 12
sin
αα
-±
=；2cos 12cos αα+±=；α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg
万能公式
sinα=2tan(α/2)/(1+tan 2(α/2)) cosα=(1－tan 2(α/2))/(1+tan 2(α/2)) tanα=(2tan(α/2))/(1－tan 2(α/2)) 三.三角函数的图像和性质
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
2．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+
=+π
πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变
换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移
ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω
ϕ
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．
第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2
x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)
k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单
调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、
2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

例题:
1.
写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来. 解析：S={α|α=45°＋k·180°，k ∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
2.
把下列各角化成弧度，并且判断角在哪个象限。

(1) 67 °30' (2) 120 ° (3) 75 ° (4) 135 ° (5) 300 ° (6) - 210 °
3.已知扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，求这扇形的圆心角的弧度数。

4.求三角函数值
（1）sin780o (2) cos225o 5. 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是 (
)
解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
π
π=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D
6. 试述如何由y =31sin （2x +3
π
）的图象得到y =sin x 的图象
解析：y =31sin （2x +3
π
）
）
（纵坐标不变倍
横坐标扩大为原来的3
πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 3
13π
=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移
x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变
倍
纵坐标扩大到原来的
另法答案：
（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =3
1
sin2x 的图象；
（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =3
1
sin x 的图象；
（3）再将y =
3
1
sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象。

7. 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). 8. （1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；
（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。

解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－
2π≤x ≤2k π+2
π
，且x ≠2k π（k ∈Z ）。

∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－
2π，2k π+2
π
］且x ≠2k π，k ∈Z }。

（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。

又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。

故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－
2π，2k π+2
π），k ∈Z }。

9. 已知函数f （x ）=x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域
解析：由c os2x ≠0得2x ≠k π+
2
π
，解得x ≠
42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠4
2ππ+k ，k ∈Z }，
因为f （x ）的定义域关于原点对称，
且f （－x ）=x
x x x x x 2cos 1
cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=
-+---=f （x ）。

所以f （x ）是偶函数。

又当x ≠
4
2π
π+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x x x x x x x 。

所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <21或2
1
<y ≤2}。

10. 求下列函数的单调区间： （1）y =
21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4
π）｜。

分析：（1）要将原函数化为y =－
21sin （32x －4
π
）再求之。

（2）可画出y =－|sin （x +4
π
）|的图象 解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4
π）。

故由2k π－
2π≤32x －4π≤2k π+2
π。

⇒3k π－
8π3≤x ≤3k π+8
π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+
2π≤32x －4π≤2k π+2
π3。

⇒3k π+
8
π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间。

∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8
π9］， 递增区间为［3k π+8
π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。

（2）y =－|sin （x +
4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4π，k π+4
π
］。

11. 求函数y =sin 6x +c os 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值。

分析：将原函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+B 的形式，即可求解
解析：y =sin 6x +c os 6x =（sin 2x +c os 2x ）（sin 4x －sin 2xc os 2x +c os 4x ）
=1－3sin 2xc os 2x =1－43sin 22x =8
3c os4x +85。

∴T =
2
π。

当c os4x =1，即x =
2
π
k （k ∈Z ）时，y m ax =1。

12. 设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12
(
=π
f ，
（1）求ω、a 、b 的值；
（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

解析：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω，
又 )(x f 的最大值。

4)12
(
=π
f ， 224b a +=∴ ① ，且 12
2cos b 122sin
a 4π+π=②， 由 ①、②解出 a =2 ,
b =3.
(2) )3
2sin(42cos 322sin 2)(π
+=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ，
)3
2sin(4)3
2sin(4π
βπ
α+
=+
∴，
3
223
2π
βππ
α+
+=+
∴k ， 或 )3
2(23
2π
βπππ
α+
-+=+
k ，
即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6
π
πβα+
=+k ，
3
3
)6
tan()tan(=
+
=+∴π
πβαk )(Z k ∈。

13. 设函数，其中
，则导数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
解析 21
(1)sin 3cos x f x x
θθ='=⋅+⋅sin 3cos 2sin()3
π
θθθ=+=+
520,sin(),1(1)2,21232f πθπθ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤'∈∴+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ ，选D
14. 若函数()(13tan )cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．31+
D ．32+ 答案：B
解析 因为()(13tan )cos f x x x =+=cos 3sin x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2. 故选B
15. 已知sin β=3
1
，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.
剖析：由已知sin （α+β）=1，则α+β=2k π+2
π
，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.
解：∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+2
π
.
∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=3
1
.
评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系 16.()z n n n ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫
⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简.
剖析：诱导公式一中的角 涉及的是()2k k z πα+∈的形式,但是题设中所涉及的角整理后的形势是:4
n π
πα±
-.要想通过诱导公式进行运算求值就必须把其中的整数n 分解为偶数与奇数.
解：原式=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎭⎫
⎝⎛+-αππαππ4cos 4sin n n （1）当n 为奇数时，设()z k k n ∈+=12，
则原式=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎭⎫
⎝⎛+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαπ。

（2）当n 为偶数时，设()z k k n ∈=2，同理可得原式=0.
评述:这种把整数n 分解为偶数与奇数后再进行运算的处理方式不但在诱导公式的运用中经常出现,而且在其它地方也经常应用.前提是运算需用到整数n ,但独立的对整数n 进行运算又达不到目的,这时就需要考虑把整数n 分解为偶数与奇数后再进行运算.比如集合中在讨论集合与集合之间的关系是问题时就常常用到这种处理
方式.
17.已知()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-βπαπ23cos 23sin 和()()βπα+-=-cos 2cos 3，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.
剖析：求角α和β就是要求角α和β的某一个三角函数值,这是常识性问题.相信绝大多数同学都知道这一点.解决这一问题的关键是不要在求出三角函数值后漏掉角的限制范围0＜α＜π，0＜β＜π.
解：已知条件可化为⎩⎨
⎧==)
2(cos 2cos 3)1(sin 2sin β
αβ
α，两式平方相加可得
sin 2
α+3cos 2
α=2，即sin 2
α=
21，sin α=±22，∵0＜α＜π，∴sin α=2
2， ∴α=
4π或43π，分别代入（2）可求得COS β=23或COS β=－2
3
，
又0＜β＜π，∴β=
6π或β=65π；因此α=4π，β=6
π或α=43π，β=65π
.
18.已知函数()x x b x a x f cos sin cos 22+=且()2
321
3,20+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πf f
(1)求使()2>x f 的 x 的集合；
(2)若πβαk ≠-， Z k ∈，且()()βαf f =，求()βα+tan 的值．
剖析：本题应该从方程()()βαf f =中找到角α和β的关系,从而解决(2)中的求值问题.
解：（１）由()23214321
3,220+
=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛==b a f a f π解得2,1==b a ，从而 ()12cos 2sin ++=x x x f ,142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx 由()2>x f ，
得2242sin >
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
πx ⇒4324242πππππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+k x k 所以⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,4|πππ.
（２）()()142sin 2,142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πββπααf f
由()()βαf f =，得,42sin 242sin 2⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα
42242πβππα++=+∴k 或 )4
2(242π
βπππα+-+=+k ()Z k ∈
即πβαk =-()Z k ∈（不合题意，舍去），或,4
π
πβα+=+k ()Z k ∈
()1tan =+∴βα.
评述：方程思想是数学中的一类常用的数学思想.在解决其它问题时也也应当引起重视.
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的
2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域
3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。

5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单 调性来比较大小。

7．判断y =－A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +ϕ）的相反区间即可，一般常用数形结合而求y =A sin （－ωx +ϕ）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x 的系数变为正的，再设法求之。