2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析.pdf

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1.如何理解复数与点、向量间的对应关系? 剖析每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部 作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数. 复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从 而复数也可以与复平面内的向量一一对应.
方法二:复数→向量→向量运算→������������→点 D 对应的复数
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题型二
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解:方法一:由已知,得点A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,2),
则线段 AC 的中点坐标为
2,
3 2
.
由平行四边形的性质,知点
2,
3 2
也是线段BD 的中点.
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【做一做1-1】 复数z=4-7i在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:复数z=4-7i在复平面内对应点的坐标是(4,-7),在第四象限. 答案:D 【做一做 1-2】 若������������ = (-2,0),则������������对应的复数 ( ) A.等于2 B.等于-2i C.在实轴上 D.在虚轴上 解析:向量������������对应的复数为-2,在实轴上. 答案:C
设点 D 的坐标为(x,y),则
������ +1 2
=
2,
������ +0 2
=
3 2
,
∴
������ ������
= =
3, 3,
即点D
的坐标为(3,3).
故顶点D对应的复数为3+3i.
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方法二:由已知,得������������ = (0,1), ������������ = (1,0), ������������ = (4,2), ∴ ������������ = (-1,1), ������������ = (3,2). ∴ ������������ = ������������ + ������������ = (2,3). ∴ ������������ = ������������ + ������������ = (3,3). 故顶点D对应的复数为3+3i. 反思复数的几何意义包含两种情况: (1)复数与复平面内点的对应:复数的实部、虚部分别是该点的横 坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标 问题. (2)复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的 坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
复数 z=a+bi(a,b∈R)与点 Z(a,b)和向量������������的一一对应关系如下:
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这种对应关系架起了联系复数与几何之间的桥梁,使得复数问题 可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形 结合法),增加了解决复数问题的途径.
另外,还应注意以下几点: (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)当a=0时,对任何b≠0,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点 (0,b)(b≠0)都表示纯虚数.
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3.复数的模
复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为������������, 则������������的模r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|.如果 b=0,那么 z=a+bi 是一个实数 a,它 的模等于|a|(就是 a 的绝对值).由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=
������2 + ������2(r≥0,r∈R).
【做一做2】 (1)复数z=5-i的模等于
;
(2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x=
.
解析:(1)|z|=|5-i|= 25 + 1 = 26.
(2)依题意有 ������2 + 4 = 4, 解得x=±2 3.
答案:(1) 26 (2)±2 3
3.1.2 复数的几何意义
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1.了解复数的几何意义. 2.理解复数的模的概念,会求复数的模.
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1.复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y
轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表
因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实
数 0 与零向量对应),即复数 z=a+bi
平面向量������������
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见,我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量������������, 并且规定, 相等的向量表示同一个复数.
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2.如何理解复数的模? 剖析从数的角度理解,可类比绝对值,即复数的模是表示这个复 数的点到原点的距离. 从形的角度理解,复数的模是该复数对应向量的模,也是向量起 点与终点间的距离. 事实上,在实数集中,实数a的绝对值,即|a|表示实数a的点与原点 O的距离.那么在复数集中,类似地,有|z|是表示复数z的点Z到坐标原
(3)复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量������������是以原点O 为起点的,否则 就谈不上一一对应,因为复平面上与向量������������ 相等的向量有无数多 个.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写,复平面内的点Z(a,b) 中的Z,书写时应大写.
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示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即
复数 z=a+bi
复平面内的点 Z(a, ������)
这是复数的一种几何意义.
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(2)如图,设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连接 OZ,显然向量������������ 由点Z 唯一确定;反过来,点 Z(相对于原点来说)也可以由向量������������ 唯一确定.
点 O 的距离,也就是������������的模,即|z|=|������������|. 另外注意:(1)复数的模是一个非负实数;(2)尽管复数一般不能比
较大小,但模可以比较大小.
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复数的几何意义 【例1】 在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是 A,B,C,求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数. 分析:方法一:复数→点的坐标→中点坐标公式→点D的坐标→点 D对应的复数