精品试题沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练试题(无超纲)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2、如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，40∠=︒DBC ，则ADB ∠的度数为（ ）．
A ．25°
B ．60°
C ．90°
D ．100°
3、BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =
（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
4、下列各条件中，不能作出唯一的ABC 的是（ ） A ．4AB =，5BC =，10AC = B ．5AB =，4BC =，30A ∠=︒ C ．90A ∠=︒，30B ∠=︒，5BC =
D ．60A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =
5、如图，ABC ≌DEF ，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，若BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．7
6、在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，B (a ，0)，C (m ，n )（0m >）．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当01a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（ ） A ．02m <<
B ．23m <<
C ．3m <
D ．3m >
7、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．10
B ．15
C ．17
D ．19
8、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）
A．B．C．
D．
9、如图，ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是（）
BF；④BH＝CE．
①BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝1
2
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
10、有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（）
A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知AB AD =，请添加一个条件，使得ABC ADC ≅△△，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．
2、如图，点A ，C 在直线l 上，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，过E ，B ，D 分别作EF l ⊥，BG l ⊥，DH l ⊥，若6EF =，3BG =，4DH =，则ABC 的面积是______．
3、如图，在等边△ABC 中，E 为AC 边的中点，AD 垂直平分BC ，P 是AD 上的动点．若AD =6，则
EP +CP 的最小值为_______________．
4、如图，AD ⊥BC ，∠1＝∠B ，∠C=65°，∠BAC ＝__________
5、如图，在△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，在B 1C 1上取一点C 2，延长AB 1到点B 2，使得B 1B 2＝
B 1
C 2，在B 2C 2上取一点C 3，延长AB 2到点B 3，使得B 2B 3＝B 2C 3，在B 3C 3上取一点C 4，延长AB 3到点B 4，使
得B 3B 4＝B 3C 4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB 2C 2＝________°；第n 个三角形的内角∠AB n C n ＝________°．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，已知点E 、C 在线段BF 上，BE CF =，AB DE ∥，ACB F ∠=∠．求证：ΔΔΔΔ≅
ΔΔΔΔ．
2、已知：直线AB 、CR 被直线UV 所截，直线UV 交直线AB 于点B ，交直线CR 于点D ，∠ABU +∠CDV ＝180°．
（1）如图1，求证：AB ∥CD ；
（2）如图2，BE ∥DF ，∠MEB ＝∠ABE +5°，∠FDR ＝35°，求∠MEB 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N 在直线AB 上，分别连接EN 、ED ，MG ∥EN ，连接ME ，∠GME ＝∠GEM ，∠EBD ＝2∠NEG ，EB 平分∠DEN ，MH ⊥UV 于点H ，若∠EDC ＝17
∠CDB ，求∠GMH 的度数．
3、如图，AD是ABC的角平分线，DE AB
⊥于点E．
⊥于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF AC
留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD EF
⊥．
4、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
5、如图，灯塔B 在灯塔A 的正东方向，且75km AB =．灯塔C 在灯塔A 的北偏东20°方向，灯塔C 在灯塔B 的北偏西50°方向．
（1）求ACB ∠的度数；
（2）一轮船从B 地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h 后到达C 地，求轮船的速度． 6、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5． （1）直接写出BC 的取值范围是 ．
（2）若点D 是BC 边上的一点，∠BAC ＝85°，∠ADC ＝140°，∠BAD ＝∠B ，求∠C ．
7、在ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作
ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE = 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
8、如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．
（1）求证：∠EAC ＝∠BAD ；
（2）若∠EAC ＝42°，求∠DEB 的度数． 9、阅读下面材料：活动1利用折纸作角平分线
①画图：在透明纸片上画出PQR ∠（如图1-①）；②折纸：让PQR ∠的两边QP 与QR 重合，得到折痕
QH （如图1-②）；③获得结论：展开纸片，QH 就是PQR ∠的平分线（如图1-③）．
活动2利用折纸求角
如图2，纸片上的长方形ABCD ，直线EF 与边AB ，CD 分别相交于点E ，F ．将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，折痕EN 与AD 的交点为N ；将BEF ∠对折，点B 落在直线EF 上的点B '处，折痕EM 与BC 的交点为M ．这时NEM ∠的度数可知，而且图中存在互余或者互补的角． 解答问题：（1）求NEM ∠的度数；
（2）①图2中，用数字所表示的角，哪些与A EN '∠互为余角？ ②写出A EN '∠的一个补角．
解：（1）利用活动1可知，EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，所以
12A EN '∠=∠ ，1
2B EM '∠=∠ ．由题意可知，AEB ∠是平角．所以
1
2
NEM A EN B EM ''∠=∠+∠=
（∠ ＋∠ ）＝ °． （2）①图2中，用数字所表示的角，所有与A EN '∠互余的角是： ； ②A EN '∠的一个补角是 ．
10、如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，AD 是△ABC 边BC 上的高，AD 与CE 相交于点F ，且∠ACB ＝80°，求∠AFE 的度数．
-参考答案-
一、单选题 1、A 【分析】
先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得． 【详解】
由旋转的性质得：5AB AD ==， 60B ∠=︒，
ABD ∴是等边三角形，
5BD AB ∴==，
8BC =，
853CD BC BD ∴=-=-=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 2、D 【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果． 【详解】
∵ABC 是等边三角形 ∴∠C =60°
∴∠ADB =∠DBC +∠C =40°+60°=100° 故选：D 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键． 3、A
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．
【详解】
+<，不能组成三角形；
解：A、AB BC AC
B、根据SSA不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
C、根据AAS可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
D、根据ASA可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．
5、B
根据全等三角形的性质可得BC EF =，根据CF EF EC =-即可求得答案．
【详解】 解：ABC ≌DEF ，
∴BC EF =
点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，
∴CF EF EC =-743BC EC -=-=
故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6、B
【分析】
过点C 作CD x ⊥轴于D ，由“AAS ”可证AOB BDC ∆≅∆，可得2AO BD ==，BO CD n a ===，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，
点(0,2)A ，
ABC ∆是等腰直角三角形，且AB BC =，
90ABC AOB BDC ∴∠=︒=∠=∠，
90ABO CBD ABO BAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，
BAO CBD ∴∠=∠，
在AOB ∆和BDC ∆中，
AOB BDC BAO CBD AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AOB BDC AAS ∴∆≅∆，
2AO BD ∴==，BO CD n a ===，
01a ∴<<，
2OD OB BD a m =+=+=，
23m ∴<<，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．
7、C
【分析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
8、C
【分析】
根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】
由题可知，第三个内角的度数为180514980
︒-︒-︒=︒，
A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；
B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；
C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；
D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9、C
【分析】
根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD；利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF＝AC；再
利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，即可得到CE＝1
2BF；由CE＝1
2
BF，BH＝1
2
BC，在三角形BCF中，
比较BF、BC的长度即可得到CE＜BH．【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD，故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝1
2AC＝1
2
BF，故③正确；
∵CE＝1
2AC＝1
2
BF，BH＝1
2
BC，
在△BCF中，∠CBE＝1
2
∠ABC＝22.5°，∠DCB＝∠ABC＝45°，∴∠BFC＝112.5°，
∴BF＜BC，
∴CE＜BH，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10、D
【分析】
有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm 和4cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
解：当4为底时，其它两边都为5，
4、5、5可以构成三角形，周长为14cm ；
当4为腰时，其它两边为4和5，
4、4、5可以构成三角形，周长为13cm ．
综上所述，该等腰三角形的周长是13cm 或14cm ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
二、填空题
1、BAC DAC ∠=∠或CB CD =
【分析】
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：由题意AB AD =，AC AC =，
∴根据SAS ，可以添加BAC DAC ∠=∠，使得ABC ADC ∆≅∆，
根据SSS ，可以添加CB CD =，使得ABC ADC ∆≅∆．
故答案为：BAC DAC ∠=∠或CB CD =
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
2、15
【分析】
根据AAS 证明△EFA ≌△AGB ，△BGC ≌△CHD ，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵EF ⊥FG ，BG ⊥FG ，
∴∠EFA =∠AGB =90°，
∴∠AEF +∠EAF =90°，
又∵AE ⊥AB ，即∠EAB =90°，
∴∠BAG +∠EAF =90°，
∴∠AEF =∠BAG ，
在△AEC 和△CDB 中，
AEF BAG EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EFA ≌△AGB （AAS ）；
同理可证△BGC ≌△CHD （AAS ），
∴AG =EF =6，CG =DH =4，
∴S△ABC=1
2
AC⨯BG=
1
2
(AG+GC)⨯BG=
1
2
(6+4)⨯3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3、6
【分析】
要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】
解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 4、70°
【分析】
先根据AD ⊥BC 可知∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC 的度数，由∠BAC ＝∠1+∠DAC 即可得出结论．
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
∴∠DAC ＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B ＝45°，
∴∠BAC ＝∠1+∠DAC ＝45°+25°＝70°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5、40
1
802n - 【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠C 1B 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律即可得出∠AB n C n 的度数．
【详解】
解：△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，
∴∠C 1B 1A ＝180180208022C ︒-∠︒-︒==︒ ， ∵B 1B 2＝B 1C 2，，∠C 1B 1A 是△B 1B 2C 2的外角，
∴∠B 1B 2C 2＝11804022
C B A ∠︒==︒ ； 同理可得，
∠C 3B 3B 2＝20°，∠C 4B 3B 2＝10°，
∴∠AB n C n ＝1
802n -︒． 故答案为：40，
1802n -． 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律是解答此题的关键．
三、解答题
1、见解析
【分析】
由平行线的性质可证明B DEF ∠=∠．再由BE CF =，可推出BC EF =．最后即可利用“ASA ”直接证明ABC DEF ≅．
【详解】
证明：AB DE ∥
B DEF ∴∠=∠
BE CF =
BE EC CF EC ∴+=+，即BC EF =．
∴在ABC 和DEF 中，B DEF BC EF ACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABC DEF ASA ∴≅．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
2、（1）见详解；（2）∠MEB ＝40°，（3）∠GMH =80°
【分析】
（1）根据等角的补角性质得出∠ABD =∠CDV ，根据同位角相等两直线平行可得AB ∥CD ；
（2）根据AB ∥CD ；利用内错角相等得出∠ABD =∠RDB ，根据BE ∥DF ，得出∠EBD =∠FDB ，利用等量减等量差相等得出∠ABE =∠FDR ，根据∠FDR ＝35°，可得∠ABE =∠FDR =35°即可；
（3）设ME 交AB 于S ，根据MG ∥EN ，得出∠NES =∠GMS =∠GES ，设∠NES =y °,可得
∠NEG =∠NES +∠GES=2∠NES =2y °，根据∠EBD ＝2∠NEG ，得出∠EBD =4∠NES =4y °,根据∠EDC ＝17
∠CDB ，设∠EDC =x °，得出∠CDB =7x °，根据AB ∥CD ，得出∠GBE +∠EBD +∠CDB =180°，可得
35+4y +7x =180根据三角形内角和∠BDE =∠BDC -∠EDC =7x -x =6x ，∠BED =180°-∠EBD -∠EDB =180°-
4y °-6x °，利用EB 平分∠DEN ，得出y °+40°=180°-4y °-6x °，解方程组7414565140x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1510
x y =⎧⎨=⎩，可证ME ∥UV ，根据MH ⊥UV ，可求∠SMH =90°，∠SMG =∠NES =10°即可． 【详解】
（1）证明：∵∠ABU +∠ABD =180°，∠ABU +∠CDV ＝180°．
∴∠ABU =180°-∠ABD ，∠CDV ＝180°-∠ABU ，
∴∠ABD =∠CDV ，
∴AB ∥CD ；
（2）解：∵AB ∥CD ；
∴∠ABD =∠RDB ，
∴∠ABE +∠EBD =∠FDB +∠FDR ，
∵BE ∥DF ，
∴∠EBD =∠FDB ，
∴∠ABE =∠FDR ，
∵∠FDR＝35°，
∴∠ABE=∠FDR=35°，
∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，（3）解：设ME交AB于S，
∵MG∥EN，
∴∠NES=∠GMS=∠GES，
设∠NES=y°,
∵∠EBD＝2∠NEG
∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，∴∠EBD=4∠NES=4y°,
∵∠EDC＝1
7
∠CDB，
设∠EDC=x°
∴∠CDB=7x°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，
∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，
∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，
∵EB平分∠DEN，
∴∠NEB=∠BED，
∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，
∴y°+40°=180°-4y°-6x°，
∴
74145 65140
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
15
10
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，
∴ME∥UV，
∵MH⊥UV，
∴MH⊥ME，
∴∠SMH=90°，，
∵∠SMG=∠NES=10°，
∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．
【点睛】
本题考查平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组，掌握平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组是解题关键．
3、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）以点D为圆心，适当长为半径，作弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，连接两条弧的交点所在的直线，该直线与AC的交点即为点F，连接EF交AD于点G；
（2）利用角平分线性质可得,DE DF EAD FAD =∠=∠，由此证明()EAD FAD AAS ≅，得到AE AF =，继而证明()EAG FAG SAS ≅，证得90AGE AGF ∠=∠=︒即可解题．
【详解】
解：（1）如图，点F 、G 即为所求作的点；
（2）AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，
,DE DF EAD FAD ∴=∠=∠
AD AD =
()EAD FAD AAS ∴≅
AE AF ∴=
,EAD FAD AG AG ∠=∠=
()EAG FAG SAS ∴≅
AGE AGF ∴∠=∠
180AGE AGF ∠+∠=︒
90AGE AGF ∴∠=∠=︒
AD EF ∴⊥
【点睛】
本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【分析】
过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【详解】
证明：如图，过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．
5、（1）70°；（2）15km/h
【分析】
（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】
本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
6、（1）2＜BC＜8；（2）25°
【分析】
（1）根据三角形三边关系解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．
∴2＜BC＜8，
故答案为：2＜BC＜8
（2）∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140︒
∵∠B＝∠BAD
∴∠B＝1
14070 2
⨯︒=︒
∵∠B+∠BAC+∠C＝180︒
∴∠C ＝180︒﹣∠B ﹣∠BAC
即∠C ＝180︒﹣70︒﹣85︒＝25︒
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B 的度数是解此题的关键．
7、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；
（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，
∴90DAE BAC ∠=∠=︒，
∵AB =AC ，AD =AE ，
∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，
∵DAE BAC ∠=∠，
∴BAD CAE ∠=∠，
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BAD CAE ≅，
∴45ACE B ∠=∠=︒，
∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒
（2）αβ180+=︒或αβ=．
理由：①∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．
即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD ACE △≌△．
∴B ACE ∠=∠．
∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠．
∴B ACB β∠+∠=．
∵180B ACB α+∠+∠=︒，
∴180αβ+=︒．
②如图：
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．
即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD ACE △≌△．
∴ABD ACE ∠=∠．
∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，
ACE ABD βα∴=∠-∠+，
αβ∴=．
综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
8、（1）见解析；（2）42°
【分析】
（1）利用边边边证得△ABC ≌△ADE ，可得∠BAC ＝∠DAE ，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC ＝∠C ＝69°，再由△ABC ≌△ADE ，可得∠AED ＝∠C ＝69°， 即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，
∴△ABC ≌△ADE ．
∴∠BAC －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ．
即∠EAC ＝∠BAD ；
（2）解：∵AC ＝AE ，∠EAC =42°，
∴∠AEC ＝∠C ＝12 ×(180°－∠EAC )＝1
2 ×(180°－42°)＝69°．
∵△ABC ≌△ADE ，
∴∠AED ＝∠C ＝69°，
∴∠DEB ＝180°－∠AED －∠C ＝180°－69°－69°＝42°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
9、（1）AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；（2）①∠1、∠2；②∠CME 或∠NEB ．
【分析】
()11118090222BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒ 【详解】
解：（1）∵折叠
∴EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，
∴∠NEA =∠NEA ′=12AEA '∠，∠BEM =∠B′EM=12
BEB '∠， ∵AEB ∠是平角．
∴∠NEM =∠NEA ′+∠B′EM==12AEA '∠+()11118090222
BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒， 故答案为：AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；
（2）①∵∠1=∠2，∠A′EN =∠3，∠NEM =90°，
∴∠A′EN +∠1=∠NEM =90°，
∴A EN '∠互为余角为∠1和∠2，
故答案为：∠1、∠2；
②∵∠A′EN =∠3，∠3+∠NEB =180°，
∴∠A′EN 的补角为∠NEB ．
∵∠B =90°，
∴∠2+∠EMB =90°，
∴∠3=∠EMB ，
∵∠CME +∠EMB =180°，
∴∠3+∠CME =180°，
∴∠A′EN 的补角为∠CME ，
∴∠A′EN 的补角为∠CME 或∠NEB ．
故答案为∠CME 或∠NEB ．
【点睛】
本题考查折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质，掌握折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质是解题关键．
10、∠AFE=50°．【分析】
根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11
8040
22
ACB
∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出
∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．
【详解】
解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠ECB=11
8040
22
ACB
∠=⨯︒=︒，
∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，
∴∠AFE=∠DFC=50°．
【点睛】
本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．。