2019数学新设计北师大选修2-3精练：第二章 概率 2.4含答案

§4　二项分布
A组
1.任意抛掷三枚质地均匀的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为( )
A. B. C. D.
解析:每枚硬币正面朝上的概率为,
所以所求概率为.
故选B.
答案:B
2.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002,流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为( )
A.3.32×10-5
B.3.32×10-9
C.6.64×10-5
D.6.64×10-9
解析:相当于1个流星独立重复10次,其中落在地面有4次的概率,故所求的概率为(0.002)4(1-0.002)6≈3.32×10-9.故应选B.
答案:B
3.(2016·济南模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的
方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是
( )
A. B.
C. D.
解析:因为质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点
P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为,故选B.
答案:B
4.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①他第3次射击时,首次击中目标的概率是0.12×0.9;
②他第3次射击时,首次击中目标的概率是×0.9×0.12;
③他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;
④他恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1.
其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
解析:在他第3次射击时,才击中,说明前两次都没有击中,故其概率为0.12×0.9,故①正确;击中目
标的次数服从二项分布,所以恰好击中目标3次的概率为×0.93×0.1,故④正确,故选C.
答案:C
5.如果X~B,Y~B,那么当X,Y变化时,下列关于P(X=k)=P(Y=j)(k,j=0,1,2,…,20)成立的(k,j)的个数为( )
A.10
B.20
C.21
D.0
解析:根据二项分布的特点可知,(k,j)(k,j=0,1,2,…,20)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个,故选C.
答案:C
6.(2016·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区,上学路上要经过1个路口.假
设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,则最多1名同学遇到红灯的概率是 .
解析:P=.
答案:
7.某同学进行了2次投篮(假定这两次投篮互不影响),每次投中的概率都为p(p≠0),如果最多投中1次的概率不小于至少投中1次的概率,那么p的取值范围为 .
解析:(1-p)2+p(1-p)≥p(1-p)+p2,
解得0<p≤.
答案:0<p≤
8.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概
率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.
解(1)该公司决定对该项目投资的概率为
P=.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:
“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数
事件A003
事件B102
事件C111
事件D012
P(A)=,P(B)=,
P(C)=,P(D)=.
∵A,B,C,D互斥,∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.
9.导学号43944037现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列.
解依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件A k(k=0,1,2,3,4).
则P(A k)=.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3+A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,这4个人中去参加甲
游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故
P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.
所以ξ的分布列是
ξ024
P
B组
1.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.[0.4,1]
B.(0,0.4]
C.(0,0.6]
D.[0.6,1)
解析:∵P(1)≤P(2),∴·p(1-p)3≤p2(1-p)2,
∴4(1-p)≤6p,∴0.4≤p≤1.
答案:A
2.口袋里放有大小、形状、质地都相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{a n},a n=如果S n为数列{a n}的前n项和,那么S7=3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白
球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.
答案:B
3.设随机变量X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( )
A. B. C. D.
解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,
∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X~B,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.
答案:C
4.某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4场,则此队获
胜,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元,则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为 .
解析:依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{a n},则易知a1=40,a n=10n+30,所以S n=.
由S n≥390得n2+7n≥78,所以n≥6.所以若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6场.①若比赛共进行了6场,则前5场比赛的比分必为2∶3,且第6场比赛为领先一场的球
队获胜,其概率P(6)=;②若比赛共进行了7场,则前6场胜负为3∶3,其概率P(7)=.所以门票收入不少于390万元的概率P=P(6)+P(7)=.
答案:
5.设在一次试验中事件A发生的概率为p,在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为P k,则P0+P1+…+P n=.
解析:P0+P1+…+P n=(1-p)n p0+(1-p)n-1·p1+…+(1-p)0p n=(1-p+p)n=1.
答案:1
6.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获
胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.
解(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A,B,C,则P(A)=, P(B)=,
P(C)=.
(2)X的可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=P(A)+P(B)=,
P(X=1)=P(C)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
X0123
P
7.导学号43944038(2016·内蒙古师范大学附属中学高二练习)某射手每次射击击中目标的
概率是,且各次射击的结果互不影响.
(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;
(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;
(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列.
解(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标
的概率P(X=2)=.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件A i(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(
A3A4A5)=.
(3)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.
P(ξ=0)=P()=;
P(ξ=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=;
P(ξ=2)=P(A1A3)=;
P(ξ=3)=P(A1A2)+P(A2A3)=;
P(ξ=6)=P(A1A2A3)=.
所以ξ的分布列是
ξ01236
P。