§第 6 讲 《同步发电机基本方程、参数及等值电路》070320

简化方程的形式如下：
（1） 若三相对称，则 u0 = 0, i0 = 0, ϕ0 = 0 。
（2） 不计阻尼绕组， iD = 0,
ud = −rid + ϕ&d − (1 + s)ϕ q uq = −riq + ϕ&q − (1 + s)ϕ d u f = rf i f + ϕ& f ϕ d = −xd id + xad i f ϕq = −xqiq ϕ f = −xad id + x f i f
轴的投影也是幅值变化的。为此需要增加第三个变量
i0
=
1 3 (ia
+
ib
+
ic )
， i0
是电流的瞬时值
⎡
⎡id ⎢⎢iq ⎢⎣i0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
2 3
⎢ cosθ
⎢⎢− ⎢
sin 1
θ
⎣2
cos(θ −120o ) − sin(θ −120o )
1
2
cos(θ
+ 120o
)
⎤ ⎥ ⎡ia
⎤
−
sin(θ + 1
abcdqabcdqabcdqdqabcdqabcdqabcfaaqadaf是直轴等效绕组的dd的自感系数同时也是直轴同步电抗设将一励磁绕组开路的同步发电机和三相电压为正弦的对称的电压相连则在定子绕组中将流对称的正弦电流它们在气隙中产生一旋转磁场并与d轴重叠则定子的任一相绕组的磁链和电流的比值为coscos如果与q轴重叠则定子的任一相绕组的磁链和电流的比值为sinsin设将一励磁绕组开路的同步发电机若定子绕组通以零轴电流则为adadadadaqadad同步发电机在abc坐标下的基本方程是一个变系数的微分方程组它的一些自感和互感系数是随时间变化的函数因此这个方程是无法直接求解的
sin(θ − α ) = 2 [sinθ * cosα + sin(θ −120o ) * cos(α −120o ) + sin(θ + 120o ) * cos(α + 120o )] 3
id
=
2 3
[ia
cosθ
+ ib cos(θ
− 120o ) + ic
cos(θ
+ 120o )]
iq
=
定子各相绕组的自感系数
凸极机以π 为周期， Laa ， Lbb ， Lcc 。
定子各相绕组间的互感系数
凸极机以π 为周期，但是负值， M ab ， M ba ， M bc ， M cb ， M ca ， M ac
转子各绕组的自感系数
常数： L ff = L f ； LDD = LD ； LQQ = LQ 。
0
⎤⎡− id ⎤
⎥ ⎥
⎢⎢−
iq
⎥ ⎥
⎡ϕ&d ⎤
⎢⎢ϕ&
q
⎥ ⎥
⎡ (1 + s)ϕq ⎤
⎢⎢−
(1
+
s
)ϕ
d
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
u0 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢⎢⋅
0 ⋅
0 ⋅
r ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
− i0 ⋅
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢⎢⎢ϕ&⋅0
⎥ ⎥ ⎥
−
⎢ ⎢ ⎢
0 ⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢u ⎢
f
三、教学难点 派克变换的物理意义
四、教学内容和要点 《内容和要点》
（一）同步发电机的基本方程、参数及等值电路 1．同步发电机的基本方程和坐标转换 发电机回路电压方程和磁链方程 六个回路：三个定子绕组，一个励磁绕组，D 阻尼绕组，Q 阻尼绕组 正方向的规定：磁链与轴线的方向关系，电流与轴线的方向 （1） 定子各相绕组轴线的正方向作为各相绕组磁链的正方向； （2） 励磁绕组和直轴阻尼绕组磁链的正方向与 d 轴正方向相同； （3） 交轴阻尼绕组磁链的正方向与 q 轴正方向相同； （4） 定子各相绕组电流产生的磁通方向与各该相绕组轴线的正方向相反时电流 为正； （5） 转子各绕组电流产生的磁通方向与 d 轴或 q 轴正方向相同时电流为正； （6） 在定子回路中向负荷侧观察，电压降的正方向与定子电流的正方向一致； （7） 在励磁回路中向励磁绕组侧观察，电压降的正方向与励磁电流的正方向一 致；
二、同步发电机稳态运行方程、向量图和等值电路 稳态运行时，
⎥ ⎥
⎢ ⎢
⎢0⎥ ⎢ 0
⋅ rf ⋅0
0 rD
0
⎥⎢ ⎥⎢
if
⎥ ⎥
0 ⎥⎢ iD ⎥
⎢⎢⎢ϕϕ&&
f D
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
0 0
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣
⋅ 0 0 rQ ⎥⎦⎢⎣ iQ ⎥⎦ ⎢⎣ϕ&Q ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
（1） 时间的变化，变压器电势，稳态运行时，ϕ d ,ϕ q 是常数，ϕ&d ,ϕ&q 是零。 （2） 空间的变化，旋转电势，也叫发电机电势。ω = 1 + s 。
转子各绕组间的互感系数
M fD = M Df = mr ； M fQ = M Qf = 0 ； M DQ = M QD = 0
定子绕组与转子绕组间的互感系数
以 2π 为周期。
在原始方程中，定子电磁变量是按三个相绕组也就是对于空间静止不动的三相坐标系统 列写的，而转子各绕组的电磁变量则是对于随转子一起旋转的 d,q 两相坐标系统列写的。磁 链方程式中出现变系数的原因主要是：
M aD M bD M cD
⋅
M fa LDD M QD
M aQ ⎤⎡− ia ⎤
M
bQ
⎥⎥ ⎢⎢−
ib
⎥ ⎥
M cQ ⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
− ic ⋅
⎥ ⎥ ⎥
M
fa
⎥⎢ ⎥⎢
if
⎥ ⎥
M DQ ⎥⎢ iD ⎥
LQQ
⎥⎦ ⎢⎣
iQ
⎥ ⎦
各绕组的电感、互感系数由绕组结构和磁通路径确定，随磁通路径变化而变化。
⎢⎢ib
⎥ ⎥
=
⎢⎢cos(θ
− 120o )
⎢⎣ic ⎥⎦ ⎢⎣cos(θ + 120o )
− sinθ − sin(θ −120o ) − sin(θ + 120o )
1⎤⎡id ⎤
1⎥⎥
⎢⎢iq
⎥ ⎥
1⎥⎦⎢⎣i0 ⎥⎦
i0
=
1 3
(ia
+ ib
+ ic )
简记为：
idq0 = Piabc udq0 = Puabc ϕ dq0 = Pϕ abc
（1） 转子的旋转使定、转子绕组间产生相对运动，致使定、转子绕组间的互 感系数发生相应的周期性变化。
（2） 转子在磁路上只是分别对于 d 轴和 q 轴对称而不是随意对称的，转子的 旋转也导致定子各绕组的自感和互感的周期性变化。
派克变换及 d 、 q 、 0 坐标系统的发电机基本方程
派克变换应用双反应原理：即任何一组三相对称定子电流所产生的合成基波旋转磁场， 总可以用轴线互相垂直的两个绕组所产生的基波合成旋转磁场来代替。根据这一原理，用直 轴 d、交轴 q 作为这两个轴线，并在这两个轴线方向分别放置一个等效定子绕组，用这两个 等效的定子绕组所产生的电枢反应磁场来代替原来三相定子绕组所产生的电枢反应磁场，这 就是派克变换。可见，派克变换是把放在定子上的三相绕组等效变换为转子上轴线相互垂直 的两相绕组，把静止的空间坐标系变换成了随转子一起旋转的空间坐标系，把我们的观察点 从静止的定子转移到了运动的转子上。
− ϕa ia
= L0 ， x0
= ωL0 ，称为同步发电机的零序电抗。
⎡ϕ d ⎤ ⎡ xd 0 0 ⋅ xad xad 0 ⎤⎡− id ⎤
⎢⎢ϕ
q
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
xq
0⋅ 0
0
xaq
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
iq
⎥ ⎥
⎢⎢⎢ϕ⋅ ⋅0⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢⎢⋅
0 ⋅
0 x0 ⋅ 0 ⋅ ⋅⋅ ⋅
0 ⋅
0 ⋅
⎥ ⎥ ⎥
b c
⎥ ⎥ ⎥⎦
2
⎦
⎡ud ⎢⎢uq ⎢⎣u0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
2 3
⎡ ⎢
cosθ
⎢⎢− ⎢
sin 1
θ
⎣2
cos(θ −120o ) − sin(θ −120o )
1
2
cos(θ
+ 120o )
⎤ ⎥⎡ua ⎤
−
sin(θ + 1
120
o
)⎥⎥ ⎥
⎢⎢ub ⎢⎣uc
⎥ ⎥ ⎥⎦
2
⎦
⎡ia ⎤ ⎡ cosθ
§第 6 讲 《同步发电机基本方程、参数及等值电路》
一、教学目标 同步发电机的数学模型──发电机基本方程。A,b,c 坐标系和 d,q,0 坐标系下的电压方程 与磁链方程，派克变化 暂态、次暂态电势，暂态、次暂态电抗以及时间常数概念。
二、教学重点 同步发电机正方向规定。同步发电机以定子三相绕组表示的瞬态电压方程及方程中电感 系数变化的概念。电压、电流、磁链三个综合相量的概念，派克变换概念、派克变换矩 阵及派克变换计算，派克方程──发电机基本方程（含磁链方程）。
2 3 [ia
sin θ
+ ib sin(θ
− 120o ) + ic
sin(θ
+ 120o )]
由于是线性变换，则变换前后变量数目保持不变。
如果定子绕组中存在三相不对称的电流，只要有一个平衡的三相系统，仍然可以用一个
通用向量来代表三相电流，不过该通用向量的幅值和转速都不是恒定的，因而它在 d 轴和 q
= −ϕd id
= Ld
如果与 q 轴重叠，则定子的任一相绕组的磁链和电流的比值为
− ϕa ia
=
− ϕ q sinθ iq sinθ
= −ϕq iq
= Lq
设将一励磁绕组开路的同步发电机，若定子绕组通以零轴电流则为
⎡id ⎤ ⎡i⎤ ⎡0⎤
⎢⎢iq
⎥ ⎥
=
P⎢⎢i⎥⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣i0 ⎥⎦ ⎢⎣i⎥⎦ ⎢⎣i ⎥⎦
120o
)⎥⎥ ⎥
⎢⎢ib ⎢⎣ic
⎥ ⎥ ⎥⎦
2
⎦
⎡ϕ d ⎢⎢ϕ q ⎢⎣ϕ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
2 3
⎡ ⎢
cosθ
⎢⎢− ⎢
sin 1
θ
⎣2
cos(θ −120o ) − sin(θ −120o )
1
2
cos(θ
+ 120o
)
⎤ ⎥
⎡ϕ
a
⎤
−
sin(θ
+ 1
120o
)⎥⎥ ⎥
⎢⎢ϕ ⎢⎣ϕ
⋅ rf ⋅0
0 rD
0
⎥⎢ ⎥⎢
if
⎥ ⎥
0 ⎥⎢ iD ⎥
⎢⎢⎢ϕϕ&&
f D
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣
⋅ 0 0 rQ ⎥⎦⎢⎣ iQ ⎥⎦ ⎢⎣ϕ&Q ⎥⎦
电压方程是一组以时间的周期函数为系数的微分方程。
⎡ϕ a ⎤ ⎡ Laa
⎢⎢ϕ
b
⎥ ⎥
⎢ ⎢
M ba
⎢⎢⎢ϕ⋅ ⋅c⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
3
2 3
2
⋅ m fa maD 0
⎣
Lq 0 ⋅ 0
0
3 2
maQ
0 L0 ⋅ 0
0
0
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
0 0 ⋅ Lf
mr
0
0 0
maQ 0
⎥ ⎥ ⎥
⎡− ⎢⎢−
id iq
⎤ ⎥ ⎥
⋅ mr
LD
⋅ 0
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
− i0 ⋅
⎥ ⎥ ⎥
0
⎥⎢ ⎥⎢
if
⎥⎢ iD
⎥ ⎥ ⎥
0
LQ
⎥⎥⎢⎣ ⎦
iQ
⎥⎦
Ld 是直轴等效绕组的 dd 的自感系数，同时也是直轴同步电抗 xd
设将一励磁绕组开路的同步发电机和三相电压为正弦的对称的电压相连，则在定子绕组 中将流对称的正弦电流，它们在气隙中产生一旋转磁场，并与 d 轴重叠，则定子的任一相绕 组的磁链和电流的比值为
− ϕa ia
=
− ϕd cosθ id cosθ
iQ = 0
ϕ D = 0,
ϕQ = 0 ，方程变为：
同步发电机在 abc 坐标下的基本方程是一个变系数的微分方程组，它的一些自感和互感 系数是随时间变化的函数，因此这个方程是无法直接求解的。但是通过 Park 变换，可以将 这个时变的微分方程变成定常的微分方程，也就是全部系数为常数的微分方程，从而变得可 解，这种变换实质上是一种坐标变换，将 abc 坐标下的方程，变成 dq0 坐标下的方程。通过 这种变换将不可求解的变系数的微分方程变成了可解的常系数的微分方程；将发电机的定子 a、b、c 绕组等值到了转子上的 d、q、0 绕组；交流变成了直流；将发电机等值成变压器， 在直轴上励磁绕组 f、直轴等值阻尼绕组 D 和定子等值直轴绕组 d 组成三绕组变压器，在交 轴上交轴等值阻尼绕组 Q 和定子交轴等值绕组 q 组成双绕组变压器，从而简化了模型并便 于求解。
⎢ ⎢⎢⋅
M ca ⋅
⎢ϕ ⎢
f
⎥ ⎥
⎢ ⎢
M fa
⎢ϕ D ⎥ ⎢ M Da
⎢⎣ϕQ ⎥⎦ ⎢⎣ M Qa
M ab Lbb M cb ⋅
M fa M Db M Qb
M ac ⋅ M af M bc ⋅ M bf Lcc ⋅ M cf
⋅⋅⋅
M fa ⋅ L ff M Dc ⋅ M Df M Qc ⋅ M Qf
⎡ua ⎤
⎢ ⎢
ub
⎥ ⎥
⎡r
⎢ ⎢
0
00⋅ r 0⋅
⎤⎡− ia ⎤ ⎡ϕ&a ⎤
0
⎥ ⎥
⎢⎢−
ib
⎥ ⎥
⎢⎢ϕ&b
⎥ ⎥
⎢⎢⎢⋅u⋅c⋅
⎥ ⎥ ⎥=Βιβλιοθήκη ⎢ ⎢⎢⋅0 ⋅0 ⋅
r ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
− ic ⋅
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
ϕ&c ⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢u ⎢
f
⎥ ⎥
⎢ ⎢
⎢0⎥ ⎢ 0
id = I cos(θ − α ) iq = I sin(θ − α )
定子三相电流的瞬时值则为：
ia = I cosα ib = I cos(α −120o ) ic = I cos(α + 120o )
利用三角恒等变换
cos(θ − α ) = 2 [cosθ * cosα + cos(θ −120o ) * cos(α −120o ) + cos(θ + 120o ) * cos(α + 120o )] 3
⎢ ⎢ ⎢
−
i0 ⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ϕ ⎢
f
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xad
0