贵州大学附中高考数学一轮复习 数系的扩充与复数的引

2013贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习--数系的扩充与复数
的引入
I 卷
一、选择题 1．在复平面内，复数i
i
21--对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
2．若复数2
(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1- B ．0
C ．1
D ．1-或1
【答案】A 3．已知复数
a －i
i
－i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2 【答案】A
4． 已知z 1=(m 2+m+1)+(m 2
+m-4)i(m ∈R),z 2=3-2i,则“m=1”是“z 1=z 2”的 ( ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
5．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．2＋2i
D ．2－2i 【答案】B
6．复数11＋i ＋i
2的值是( )
A ．－12
B ．12
C ．1＋i 2
D ．1－i 2
【答案】B
7．在复平面内，复数
1+i
i
-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A
8．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 等于( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i 【答案】B
9．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2
x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i
|<2，i 为虚数单位，x ∈R}，
则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．[0,1]
【答案】C 10．
2
1i -等于（ ） A ． 22i - B ．1i -
C ．i
D ．1i +
【答案】D
11．复数1
1i
+在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A ．)1,1(
B ．)1,1(-
C ．)1,1(--
D ．)1,1(-
【答案】D 12．已知
ni i m
-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2
【答案】C
II 卷
二、填空题
13．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|<z 2，则b 的取值范围是________． 【答案】(－1,1)
14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i
，i 2，|5i 2
|，(1＋i)2i ，－i 2
2，则集合A ∩R ＋的子集个数为________． 【答案】8
15． 在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于第________象限． 【答案】二
16．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则5i
z
等于________．
【答案】2-i
三、解答题
17．设复数z ＝lg(m 2－2m －14)＋(m 2
＋4m ＋3)i ，试求实数m 的值，使(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数．
【答案】(1)∵z 为实数，∴m 2
＋4m ＋3＝0， ∴m ＝－1或m ＝－3. 当m ＝－1时，
m 2－2m －14＝1＋2－14<0(不合题意，舍去)，
当m ＝－3时，m 2
－2m －14＝1>0， ∴m ＝－3时，z 为实数． (2)∵z 为纯虚数，
∴lg(m 2－2m －14)＝0且m 2
＋4m ＋3≠0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －14＝1m 2
＋4m ＋3≠0，解得m ＝5，
∴m ＝5时，z 为纯虚数．
18．设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，w ＝sin θ－icos θ(θ∈R )，求复数z 和|z －w |的取值范围．
【答案】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )代入已知得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，即6a ＋2b i ＝
33＋i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨
⎧
6a ＝33
2b ＝1，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
2，b ＝12
，
所以z ＝
32＋12
i. |z －w |＝|(32＋1
2
i)－(sin θ－icos θ)| ＝|(32－sin θ)＋(1
2
＋cos θ)i| ＝
3
2
－sin θ2
＋
1
2
＋cos θ2
＝ 2－3sin θ＋cos θ ＝
2－2sin θ－π6．因为－1≤sin(θ－π
6)≤1，所以0≤|z －w |≤2.故所求的复数
为z ＝
32＋1
2
i ，|z －w |的取值范围是0,2． 19．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足z ·z ＋(1－2i)z ＋(1＋2i)z ＝3，求复数z 在复平面上对应点的轨迹．
【答案】∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴z ·z ＋(1－2i)z ＋(1＋2i)z
＝x 2
＋y 2
＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i) ＝x 2＋y 2
＋x ＋y i －2x i ＋2y ＋x －y i ＋2x i ＋2y ＝x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝(x ＋1)2＋(y ＋2)2
－5＝3，
∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2
＝8，
∴z 对应点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，22为半径的圆． 20．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，求y x
的最大值．
【答案】 由|z -2|=3可得，|z -2|2=(x -2)2+y 2
=3.设y x
=k ，即得直线方程为kx -y =0， ∴圆(x -2)2
+y 2
=3的圆心(2,0)到直线kx -y =0的距离d =2|k |
k 2+1
≤3，解得k ∈[-3，3]，
即得y x
的最大值为3．
21．若关于x 的方程(1＋i)x 2
－2(a ＋i)x ＋5－3i ＝0(a ∈R )有实数解，求a 的值．
【答案】将原方程整理，得(x 2－2ax ＋5)＋(x 2
－2x －3)i ＝0. 设方程的实数解为x 0，代入上式得： (x 20－2ax 0＋5)＋(x 2
0－2x 0－3)i ＝0.
由复数相等的充要条件，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 20－2ax 0＋5＝0，①
x 20－2x 0－3＝0.②
由②得x 0＝3，或x 0＝－1，
代入①得a ＝7
3，或a ＝－3.
所以a ＝7
3
，或a ＝－3.
22．已知复数z 1＝i(1－i)3
.
(1)设复数ω＝z 1－i ，求||ω；
(2)当复数z 满足||z ＝1时，求||z －z 1的最大值． 【答案】(1)z 1＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ， ∵ω＝z 1－i ＝2＋i ，∴||ω＝5．
(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵||z ＝1，∴a 2
＋b 2
＝1.
令a ＝cos θ，b ＝sin θ， 上式＝－4cos θ＋4sin θ＋9＝9＋42sin(θ－π
4
)，
∴||z －z 1max ＝9＋42＝22＋1.。