安徽省巢湖市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析

安徽省巢湖市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
5
B ．
5 C ．
25
D ．
35
【答案】A 【解析】 【分析】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可. 【详解】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，
连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，
11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，
1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，
在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=， 在111Rt A B C △中，22
1111111115,cos 5
A B AC B C B AC =+=∠=
， 在11AC D V 中，
22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，
在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =
+=∴==，
在1BC D V 中，22211115
cos 265
BC BD C D C BD BC BD +-∠=
==⋅. 故选：A.
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 2．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2- B ．2
C ．43
-
D ．
43
【答案】A 【解析】 【分析】
根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为()000,,0x y y >，
由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，
04y =±，因为00y >，所以04y =，
所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40
211
MF k -==---. 故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 3．已知下列命题：
①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；
②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②
C ．①③
D ．②④
【答案】B 【解析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】
“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；
已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；
“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．
4．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =
（ ） A ．19 B ．20
C ．21
D ．22
【答案】A 【解析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
5．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】
由折线图逐项分析即可求解 【详解】
选项A ，B 显然正确； 对于C ，
2.9 1.6
0.81.6
->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
6．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}
120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（ ） A ．8 B ．7
C ．4
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】
由题意得()(){}{
}
12012B x x x x x =+-<=-<<，
∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D. 【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
7．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v
，1AC =u u u v ，
AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v
(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ）
A ．
73
B ．
C ．7
D
【答案】D 【解析】
确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到5
6λ=，43
μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】
由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r
可知，点O 为ABC ∆外心，
则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
所以2242,1,
2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①
因为42λμ-=，②
联立方程①②可得5
6λ=，43
μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，
所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，即BC =u u u r
故选：D 【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
8．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960
【答案】B 【解析】 【分析】
先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有2
2A 种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有3
4A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有12
24C A 种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 2
2A 34(A +12
24)576C A =种.
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 9．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，
则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6
C ．3
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，
则()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1
2
01x x <
<， 故120x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
， 令1m x =，2n x =，则
()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=<
⎪⎝⎭
， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
10．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满
足不等式2
2
2x y +≤的概率为 A ．
π8
B ．
π4
C ．12π
+
D ．2π
+
【答案】A 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到22
2x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【详解】
画出2000x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，
所以AOB V 的面积为4，
满足不等式2
2
2x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2
π， 由几何概型的公式可得其概率为2==
48
P π
π，
故选A 项.
【点睛】
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
11．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12
得等比数列，则3a 等于（ ）
A ．64
B ．32
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意依次计算得到答案. 【详解】
根据题意知：18a =，2
1
4a a =，故232a =，
3
2
2a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 12．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．
13
C ．2
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3
y x '=，从而得到切线的斜率0
3k x =，结合直线方程
的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】
设切点为00(,2)x kx -，
∵3y x '=，∴00
03
,213ln ,
k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②
由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，
属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:
2:1=AA AB
, 则异面直线1AB 与BD 所成的角为____.
【答案】60︒ 【解析】 【分析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角． 【详解】
取11A C 的中点E,连AE, 1B E ,易证111面于点⊥B E ACC A E ，∴1AB E ∠为异面直线1AB 与BD 所成角， 设等边三角形边长为a ，易算得113=
3，=B E a AB a ∴在1
Rt AB E ∆中，12∠=111B E cos AB E=AB ∴160︒∠=AB E
故答案为60︒
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．
14．设实数,x y 满足约束条件10
24x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,则23z x y =+的最大值为______.
【答案】26 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：作出不等式组1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域如图，当直线23z x y =+过点()46，
时，z 最大，且max 243626z =⨯+⨯=
考点：线性规划.
15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥
P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，
内切球半径为r
，则
R
r
=__________．
【答案】41 【解析】 【分析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出41
2
R =，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出
R r
． 【详解】
Q 四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，
且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
()2
22221616941R AB AD AP ∴=++=++=，
412
R ∴=
， Q 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，
∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆， ∴内切球半径为21PAD
PAD
S r L ∆∆=
=， 故
41
2
R r =
． 故答案为
41
．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.
16．在ABC V 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且
sin cosC 3cos sin A A C =，则b =_________．
【答案】4 【解析】
∵sin cos 3cos sin A C A C =
∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222322a b c b c a a c ab bc
+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =-
∵222a c b -= ∴24b b = ∵0b ≠ ∴4b = 故答案为4
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()2
ln 12
a f x x x x
b =
---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；
（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】 【分析】
（1）将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =
-,令()
0f x =,则ln 2a x
x =,设()ln x g x x
=,则转化问题为()g x 与
2
a
y =
的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解； （2）由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在()0,+?
上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得
()min 11ln h x h b a a ⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
,则()min
0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得
()m x 的最小值,则2ln2a b +≥,进而求解.
【详解】
（1）当-1b =时,()2
ln 2a f x x x x =
-,定义域为()0,+?,
由()
0f x =可得ln 2a x
x
=
, 令()ln x
g x x =
,则()21ln x g x x
-'=, 由()0g x ¢>,得0x e <<；由()
0g x ¢<,得x e >,
所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 则()g x 的最大值为()1
g e e
=
, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1
g x e ≤,
由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.
由图可知,当2
0a e <<时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或02a
≤,即2a e =或0a ≤时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点；
当
1
2a e >即2a e
>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. （2）因为()f x 在()0,+?
上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在()0,+?上恒成立,
设()ln h x ax b x =+-,则()1h x a x '=-,
①若0a =,则()0h x '<,则()h x 在(
)0,+?上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,
在()0,+?
上不恒成立；
②若0a <,则()0h x '<,()h x 在(
)
0,+?
上单调递减,当max ,1b
x a
>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故
()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意；
③若 0a >,当1
0x a
<<
时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1
x a
>
时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
,
由()min 0h x ≥,得221ln a b a a +≥--,
设()21ln ,0m x x x x =-->,则()1
2m x x '=-,
当1
02
x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当1
2
x >
时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
,所以2ln2a b +≥,
又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2. 【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
18．购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示
.
（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 2018.11 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03
销售量（万辆）
0.5 0.6 1.0 1.4 1.7
试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）1.7；（2） 2.4EX =，见解析；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得(4,0.6)X B :，由二项分布列的期望公式计算；
（3）利用所给公式计算出回归直线ˆˆˆy
bx a =+即可解决. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为
1.50.1
2.50.3
3.50.3
4.50.15
5.50.1
6.50.05 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以方差的估计
值为2
2
(1.5 3.5)0.1s =-⨯2
(2.5 3.5)0.3+-⨯2
(3.5 3.5)0.3+-⨯2
(4.5 3.5)0.15+-⨯
2(5.5 3.5)0.1+-⨯2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=；
（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的
频率为0.30.150.10.050.6P =+++=，则(4,0.6)X B :，所以X 的分布列为
44()0.60.4,0,1,2,3,4k
k k P X k C k -===，数学期望40.6 2.4EX =⨯=；
（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，
记 (1,2,3,4,5)i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由 散 点 图可知， 5组样本数据呈线性相关关系，因为3x =， 1.04y =，
1
0.5 1.23n
i
i i x y
==++∑ 5.68.518.8++=，
2
1
149162555n
i
i x
==++++=∑，则$18.853 1.040.325559
b -⨯⨯==-⨯，$ 1.040.3230.08a =-⨯=，
所以回归直线方程为$0.320.08y x =+，当6x =时，$0.3260.082y =⨯+=，预计该品 牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆. 【点睛】
本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.
19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222,3
3
A b c abc a π
=+-
=． （1）求a 的值；
（2）若1b =，求ABC ∆的面积．
【答案】（1（2【解析】 【分析】
（1）由222
3
b c abc a
+-
=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3A π=可得结果； （2）由正弦定理1sin 2B =，π
6
B =, 利用三角形内角和定理可得π2
C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】
（1）由题意，得2223
b c a abc +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.
∴2cos 3
bc A abc =,
∵π
3
A =
，∴a A ==.
（2
）∵a =
由正弦定理
sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π
6B =,
∴π
π2
C A B =--=.
∴1sin 2ABC S ab C ∆==
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
2
2
2
2cos a b c bc A =+-；
（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20．（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*
2,n n N ≥∈），
求数列()*
12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和； （2）已知数列{}n b 满足：
（ⅰ）对任意的*
1,0n n n N b b +∈<≤；
（ⅱ）对任意的*
2,n n N ≥∈，()()*111*
2,21,,2,
n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>
，且2
1
b b =①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.
②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈. 【答案】（1）(1)
2
n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由条件可得11
n n
n n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，42
41432m m m b b q μ---=g ，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即
可得到所求结论． 【详解】
解：（1）11a =，2a λ=，且2
111(n
n n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n …，*)n N ∈， 可得
11
n n
n n a a a a λ+--=， 可得数列1
{
}n
n a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列， 可得1(1)n
n a n a λ-=-，前n 项和为(1)2
n n λ+； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=g
，
且21b q b =，即21b b q =，231q b b =，32
421q q b b b ==，251b b q =，
对任意的*n N ∈，10n n b b +<…，可得123450b b b b b <剟
剟， 可得1q …
，11b …， 数列{}n b 是等比数列，则2
213b b b =，2
4
35b b b =， 可得11b q ==，111n n b b -+=g
，即23411b b b b ====， 又131n n b b ++=g
，即有13n n b b -+=，即1n b =， 数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；
②证明：对任意的2n …，*n N ∈，*111*
2
,21()·(0,2()n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >， 当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，42
41432m m m b b q μ---=g ，
可得
241243
m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列；
同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列； 对任意的*n N ∈，10n n b b +<…，可得434241m m m b b b --+剟
， 即有22222122112m m m
b q b q b q --剟，
所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -g …，22212122
1
()1m b q b q q -g …， 可得21122(1)0q b m lg
lg q b -+…，12221
2(1)20q b
m lg lg lgq q b -+-…， 即12q q …且21q q …，则12q q =，可令120q q q ==，
故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯
是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈． 【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
21．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111
n n
T S S S S =
+++⋯⋯+，证明：12n T <…． 【答案】（Ⅰ）2n
n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案； （Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1
n
S ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(
)*
n N ∈，1
2a
=，可设公比为q ，0q >，
又1322,,3a a a 成等差数列，
所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯， 解得2q =或12
q =-
（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n
n n b a n ===，
1
(1)2n S n n =
+，12112(1)1n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则1231111111111
2(1)2(1)22311
n n T S S S S n n n =
+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <
≤+，所以112121n ⎛
⎫≤-< ⎪+⎝⎭
即12n T ≤<. 【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
22．设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '
是函数()f x 的导数.
（1）若1a =，证明()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点；
（2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '
，再由函数()f x '
的导数可知，
函数()f x '
在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点；
（2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x -
>+，构造函数sin ()2cos x
F x ax x
=-+，
利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围． 【详解】
（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-， 设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，
()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数．
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<， 又函数()h x '
是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '>.
综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x '
单调递减.
又2022f ππ⎛⎫'-
=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪
⎝⎭
， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点.
（2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛
⎫
=+- ⎪+⎝⎭
，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立，
若()0f x >，则sin 02cos x ax x -
>+，设sin ()2cos x
F x ax x
=-+，
222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++2
11132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭
.
故当1
3
a ≥
时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有10222F a ππ
⎛⎫=⨯-< ⎪⎝⎭
，与条件矛盾，舍去； 当1
03
a <<
时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-， 又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点， 设最小的零点为1x ，
则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.
()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.
于是，当()10,x x ∈时，
sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos x
ax x
-<+，与条件矛盾.
故a 的取值范围是1,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
23．已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=. （l ）求等差数列{}n a 的通项公式； （2）设*1
1
,N n n n c n a a +=
∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】 (1)21n a n =+；(2)69
n n
T n =+. 【解析】
试题分析：（1）设等差数列{}n a 满的首项为1a ，公差为d ，代入两等式可解1,a d 。

（2）由（1）21n a n =+，代入得11122123n c n n ⎛⎫
=
- ⎪++⎝⎭
，所以通过裂项求和可求得n T 。

试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，则由题意可得11
2721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13
2a d =⎧⎨
=⎩. 所以()32121n a n n =+-=+. （2）因为()()
111
2123n n n c a a n n +=
=++，
所以
111
22123
n
c
n n
⎛⎫
=-
⎪
++
⎝⎭
.
所以
1111111
235572123
n
T
n n
⎛⎫
=-+-++-
⎪
++
⎝⎭
L
111
232369
n
n n
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
.。