湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期10月月考试题理(含解析)

湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含
解析）
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}A
B x x =>
D. A
B =∅
【答案】A 【解析】
∵集合{|31}x
B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<
∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A
2.已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A. 是奇函数，且在R 上是增函数
B. 是偶函数，且在R 上是增函数
C. 是奇函数，且在R 上是减函数
D. 是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A 【解析】
分析：讨论函数()133x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333x
x
x x
x
x f x f x --⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
即函数()f x 是奇函数，
又1y 3,3x
x y ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数． 故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 3.若函数1
()ln f x x ax x
=++
在[1,)+∞上是单调函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1(,0]4⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
B. 1,[0,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦ C. 1,04⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D. (,1]-∞
【答案】B 【解析】 【分析】
由求导公式和法则求出f ′（x ），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围．
【详解】解：由题意得，f ′（x ）211
a x x
=+-， 因为()1
f x lnx ax x
=++
在[1，+∞）上是单调函数， 所以f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①当f ′（x ）≥0时，则211
0a x x
+-≥在[1，+∞）上恒成立， 即a 211x x ≥-，设g （x ）2211111()24
x x x =-=--，
因为x ∈[1，+∞），所以1
x
∈（0，1]，
当1
x
=1时，g （x ）取到最大值是：0， 所以a ≥0，
②当f ′（x ）≤0时，则
211
0a x x
+-≤在[1，+∞）上恒成立， 即a 211x x ≤-，设g （x ）2211111()24
x x x =-=--，
因为x ∈[1，+∞），所以1
x
∈（0，1]，
当112x =时，g （x ）取到最大值是：14
-， 所以a 1
4
≤-，
综上可得，a 1
4
≤-或a ≥0，
所以数a 的取值范围是（﹣∞，1
4
-]∪[0，+∞），
故选：B ．
【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．
4.若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.
4
π
B.
8
π C.
38
π D.
58
π 【答案】B 【解析】
函数(
)sin 2cos 2)4
f x x x x π
=+=
+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，得
到
2)4y x πϕ=++ 图象关于y 轴对称，即2()42
k k Z ππ
ϕπ+=+∈，解得
1=28k πϕπ+，又0ϕ>，当0k =时，ϕ的最小值为8
π
，故选B.
5.已知函数1222,1()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(5)f a -=（ ）
A. 74
-
B. 154
-
C. 158
-
D. 14
-
【答案】C 【解析】 分析】
当a ≤1时，f （a ）＝2a ﹣1﹣2＝﹣3，无解；当a ＞1时，f （a ）＝﹣log 2（a +1）＝﹣3，解得
a ＝7，由此得到f （5﹣a ）＝f （5﹣7）＝f （﹣2），从而能求出结果．
【详解】解：∵函数f （x ）()1
2221
11x x log x x -⎧-≤⎪=⎨-+⎪⎩
，，＞，f （a ）＝﹣3，
∴当a ≤1时，f （a ）＝2
a ﹣1
﹣2＝﹣3，无解；
当a ＞1时，f （a ）＝﹣log 2（a +1）＝﹣3，解得a ＝7， ∴f （5﹣a ）＝f （5﹣7）＝f （﹣2）＝32-﹣215
8
=-． 故选：C ．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.若231,1,lg ,lg ,lg 10m a m b m c m ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭
，则 （ ）
A. a b c <<
B. c a b <<
C. b a c <<
D.
b c a <<
【答案】C 【解析】
33lg (1,0),2lg lg ,lg a m b m m a c m a a =∈-∴====,所以选C.
7.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；
:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧⌝
C. p q ⌝∧
D. p q ∧⌝
【答案】D 【解析】
试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.
8.若cos （8π-α）=16，则cos （34
π+2α）的值为（ ） A.
1718
B. 1718-
C. 1819
D. 18
19
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式求出cos(
2)4
π
α-的值，再利用诱导公式求出3cos(
2)4
π
α+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫-
⎪⎝⎭＝1
6
， ∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×2
16⎛⎫ ⎪⎝⎭
－1＝－1718，
∴cos 324πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718. 故选A.
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．
9.已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（
） A.
0 B. 4， C. 16，0
D. 4，0
【答案】D 【解析】
【
分析】
利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a
cos sin θθ=，，向量(
)
31b =-，，则2a b -=（2cos θ，
2sin θ+1），
所以|2|a b -2＝（2cos θ）2+（2sin θ+1）2
＝8﹣θ+4sin θ＝8﹣8sin （3
π
θ-
），
所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D ．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式
以及正弦函数的有界性． 10.已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈，且在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为
32π-，则实数a 的值为( )
A.
12
B. 1
C.
32
D. 2
【答案】B 【解析】
由已知得f ′(x )=a (sin x +x cos x )，
对于任意的x ∈[0, 2π],有sin x +x cos x >0,当a =0时,f (x )=−3 2
，不合题意；
当a <0时,x ∈[0, 2
π
],f ′(x )<0,从而f (x )在[0, 2π]单调递减，
又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (0)=−3
2
，不合题意；
当a >0时,x ∈[0, 2π],f ′(x )>0,从而f (x )在[0, 2
π
]单调递增，
又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (2π)= 2πa −32=π−3
2
，
解得a =1 故选B
点睛：本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进行分类讨论. 11.已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2
π
ϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）
的图象（ ） A. 关于点(
,0)12
π
对称 B. 关于轴512
x π
=-
对称 C. 可由函数f （x ）的图象向右平移6π
个单位得到 D. 可由函数f （x ）的图象向左平移3
π个单位得到 【答案】B 【解析】 分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=
2π，φ=6
π
，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x
﹣
6
π）． 当12
x π
=
时，206x π
-
=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项A 错误； 当512x π=-
时，26x π
π-=-，则函数关于直线512
x π=-对称，选项B 正确；
函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，
其图像向右平移6π
个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误；
其图像向左平移3π
个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
， 选项D 错误； 故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，
函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；
=2
k π
ϕπ+ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；
（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =
2π
ω
；（3）单调性：根据
y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-
≤+≤
+∈得单调增区
间；由
3+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ≤+≤
+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为
()2
x k k Z π
π=+
∈求解，令()+2
x k k π
ωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.
12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x ',对于任意的实数x ，都有2
()4()f x x f x =--，当
(,0)x ∈-∞时，1()42
f x x '+＜.若(1)()42f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是
（ ）
A. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
B. 3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
C. [)1,-+∞
D. [)2,-+∞
【答案】A 【解析】
由()2
4()f x x f x =--，所以()2
2
2()20f x x f x x -+--=，
设()()2
2g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，所以函数()g x 为奇函数，
则()()1
42
g x f x x =-<-
''，故函数()g x 在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞为增函数， 若()1()42f m f m m +≤-++，则()2
2
12(1)()2f m m f m m +-+≤-+， 即()1()g m g m +≤-，所以1m m +≥-，即1
2
m ≥-，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.“1x >”是“()12
log 20x +<”的一个__________条件.(在“充分不必要”、“必要不
充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写) 【答案】充分不必要 【解析】
()12
log 20x +<可得21x +>,则1x >-,因此“1x >”⇒“()12
log 20x +<”，且
“1x >”⇍“()12
log 20x +<”，所以“1x >”是“()12
log 20x +<”的充分不必要条件.
14.
(
1
2x dx +=⎰________
【答案】14
π+ 【解析】
因
1
1
(2(2)x dx x dx +=+⎰⎰，而
1
22
(2)101x dx =-=⎰
，
2
22
2
00
0111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t ππ
π
ππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+． 15.若点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值为
____________
【解析】
解：因为点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是过
点P 的切线与直线平行的时候，则1
'211y x x x
=-
=∴=，那么可知两平行线只见到 距离为2
16.定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=,当(]
1,4x ∈-时, ()2
2x
f x x =-，
则函数()f x 在[]
0,2016上的零点个数是______. 【答案】605 【解析】
分析：分析已知条件得出函数()f x 是周期函数，且周期为10，这样只要研究函数在一个周期内的零点个数，就可以得出结论．
详解：由()(5)16f x f x ++=得(5)(10)16f x f x +++=，∴(10)()f x f x +=，即()f x 是以10为周期的周期函数．
当(1,4]x ∈-时，22()x
f x x =-，作出2y
x 和2x
y =的
图象，知()f x 在(1,0)-上有一个
零点，另有两个零点2和4，可作出()f x 的草图，从图象上知，在(1,4]-上()f x 的最大值不大于2，
当(4,9]x ∈时，()16(5)14f x f x =-->，即此时()f x 无零点，
∴函数()f x 在一个周期内只有3个零点，即[0,2010]上有2013603⨯=个零点， 当[2010,2016]x ∈时，其图象与[0,6]x ∈的图象是一致的，有2个零点， 所以共有603＋2＝605个零点．
点睛：本题考查函数的零点，考查函数的周期性．实际上本题是求区间[0,2016]上的零点个
数，这个区间长度够大了，因此只有周期性才能得出正确结论，而有了周期性，我们只要研究函数在一期内的性质即可．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分
17.已知函数()2
1cos cos 2
f x x x x =--
. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.
【答案】(1) ,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭(2) 50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
【解析】
试题分析：(1)()2
1cos cos sin 2126f x x x x x π⎛
⎫=--
=-- ⎪⎝
⎭，令26x k ππ-=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]
0,π上的单调区间，则令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
解得x,对k 赋
值得结果. 试题解析：
(Ⅰ)()1cos21sin2sin 212226x f x x x π+⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭ 令26
x k π
π-
=，得212
k x ππ
=
+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫
+-∈ ⎪⎝⎭
(Ⅱ)令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
又由于[]
0,x π∈，所以50,
,36x πππ⎡⎤⎡⎤
∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
故所求单调区间为50,
,,36πππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成
()sin y A wx ϕ=+ 类型，把wx+ϕ 看成整体进行分析.
18.
的内角
的对边分别为,,a b c ，已知2
sin()8sin
2
B A
C +=． （1）求cos B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15
17
；（2）2． 【解析】
试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简
()sin A C +，利用降幂公式化简2
8sin 2
B
，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8
sin 17
B =
，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2
sin 8sin 2
B
A C +=，∴()sin 41cos
B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()2
2161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17
B =；
（2）由（1）可知8
sin 17
B =，
∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴17
2
ac =，
∴
()2
222222217152cos 2152153617154217
b a
c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯
⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．
19.如图，在四棱锥P ABCD ⋅中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，AD //BC ，AB AD ⊥，点E 在BC 上，BC 2AB 2AD 4BE 4====．
（1）求证：平面PED ⊥平面PAC ；
（2）若直线PE 与平面PAC 5
，求二面角A PC D --的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2 【解析】 【分析】
（1）以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PED ⊥平面PAC ．
（2）求出平面PAC 的一个法向量和平面PCD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．
【详解】证明：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PA ⊥AB ， ∴PA ⊥平面ABCD ，
∵AB ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则A （0，0，0），D （0，2，0），E （2，1，0），C （2，4，0），设P （0，0，λ），λ＞0， 则AC =（2，4，0），AP =（0，0，﹣2），DE =（2，﹣1，0）， ∴DE AC ⋅=4﹣4+0＝0，DE AP ⋅=0， ∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，
∵AC ∩AP ＝A ，∴DE ⊥平面PAC ， ∵DE ⊂平面PED ，∴平面PED ⊥平面PAC ． 解：（2）由（1）知平面PAC 的一个法向量为 DE =（2，﹣1，0）
，
∵直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为
5
， PE =（2，1，﹣λ），
∴|cos PE DE ＜，＞|＝
|5
=
， 解得λ＝±2，
∵λ＞0，∴λ＝2，即P （0，0，2），
设平面PCD的一个法向量为n =（x，y，z），DC =（2，2，0），DP =（0，﹣2，2），
∴
220
220
n DC x y
n DP y z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=-+=
⎪⎩
，取x＝1，得n =（1，﹣1，﹣1），
∴cos 15 5
35
n DE==
⋅
＜，＞，
∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为
15
5
．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20.已知函数()()
e
ln,e
x
f x a x x
x
=+-为自然对数的底数.
(1)当0
a>时,试求()
f x的单调区间;
(2)若函数()
f x在
1
,2
2
x
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为()
1,∞
+,单调减区间为()
0,1；（2）()
2e,e
--
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行
分析探求. 试题解析：
（1）函数的定义域为
()0,x ∈+∞,()()()()()
()2
22
11111'1x x x
e ax x e x e x ax x
f x a x x x x +---+-⎛⎫=
+-== ⎪⎝⎭
.当0a >时，对于
()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，若()1,'0x f x >>，若()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,
，单调减区间为0,1.
（2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上有两个不同的根，且a e ≠-，令()x
e g x a x
==-，则()()1'x
e x g x x
-=-
，当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
单调递增，
()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,2,222g e g e g e ⎛⎫
=-=-=- ⎪
⎝⎭
，而22
11220,222
e e e e e a e ⎛⎫---
=->∴-<<- ⎪⎝⎭. 考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数
解析式()()ln x
e f x a x x x
=+-为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调
性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数
()()ln x
e f x a x x x =+-的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调
性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数()x
e g x a x
==-,运用求导法则
及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.
21.已知函数()2
ln f x x bx a x =+-．
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求n 的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=
，求证：()00f x '>． 【答案】（1）()()2
6ln 0f x x x x x =-->（2）3n =（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）先求出()2
ln f x x bx a x =+-的导函数，再根据()'15f =且()10f =可以
求得,a b 的值进而得函数()f x 的解析式；（2）先根据导数研究函数()f x 的单调性，再根据零点定理判定出零点0x 所在区间即可求得n 的值；（3）根据()()12,f x f x 做差先将()0'f x 表
示成关于1
2
x t x =的函数()()0'f x h t =，然后证明()0h t >即可． 试题解析： （1）()2a
f x x b x '=+-，所以()()
1251{{1106f b a b f b a =+-=-=-⇒=+=='，
∴函数()f x 的解析式为()()2
6ln 0f x x x x x =-->；
（2）()()22
626
6ln 21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--='，
因为函数()f x 的定义域为0x >， 令()()()2323022
x x f x x x x
+-=
==-'⇒=或，
当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >， 令()()()2323022
x x f x x x x
+-=
==-'⇒=或，
且()0,2x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
且函数()f x 至少有1个零点，而()10f =，不符合要求，
()()()()2
361ln 30,462ln 46ln 04
e f f =-=-=，
∴()03,4x ∈，故3n =．
（3）当1a =时，函数()2
ln f x x bx x =+-，
()()22
11112222ln 0,ln 0f x x bx x f x x bx x =+-==+-=，两式相减可得
()()2212
1212121212
ln ln ln ln 0,x x x x b x x x x b x x x x --+--+==
-+-．
()()000112,2f x x b f x x b x x =+-+-'='，因为1202
x x x +=， 所以()()12120121212
ln ln 2
22x x x x f x x x x x x x +-=⨯
+-+--+' ()212121
21122112212
2211
12ln ln 21ln ln 211ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--=
-=--⎢⎥-+-+⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设()()2
1211,ln 1
t x t h t t x t -=>=-+， ∴()()()()()()
22
222
14114
0111t t t h t t t t t t t +--=-==>+++'， 所以()h t 在()1,+∞上为增函数，且()10h =， ∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以()00f x '>．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式．
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题．涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解
题的思路．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分
22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
1C
的参数方程为2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C
的极坐标方程为
cos sin 50ρθθ--=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．
【答案】（1）曲线1C 的普通方程得22
184
x y +=，曲线2C
的直角坐标方程为50x --=；
（2
【解析】 【分析】
（1
）由2x y sin θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，即可得到曲线1C 的普通方程；利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，代
入即可求解曲线2C 的直角坐标方程；
（2
）设()
,2sin P θθ，利用两点间的距离公式求得点P 到曲线2C
的距离为
54cos d πθ⎛
⎫-+ ⎪
=
. 【详解】（1
）由2x y sin θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22
184x y +=．
将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入曲线2C
的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=，得曲线2C 的直角坐
标方程为50x -=．
（2
）设()
,2sin P θθ，则点P 到曲线2C
的距离为
54cos d πθ⎛⎫-+ ⎪===
． 当cos 14πθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭时，d
有最小值3，所以PQ
的最小值为3
【点睛】本题主要靠考查了参数方程与极坐标方程的互化，其中数据曲线的参数方程和普通方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()()31f x x a x a R =++-∈.
（1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；
（2）设关于x 的不等式()31f x x ≤+的解集为M ，且1,14M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围.
【答案】（1）1
142x x ⎧⎫≤≤⎨⎬
⎩⎭；（2）7
13
a -≤≤. 【解析】
试题分析：（1）当1a =-时，由零点分段法，求不等式()1f x ≤的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得a 的取值范围.
试题解析：（1）当1a =-时，()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤，即
131131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1
131311
x x x ⎧<<⎪
⎨⎪-+-≤⎩或11311x x x ≥⎧⎨
-+-≤⎩ . 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或1
1312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
或134x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或1132x <≤或∅.
∴原不等式的解集为1
14
2x
x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.
（2）∵1,14M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，
∴当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立，即3131x a x x ++-≤+1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
当11,43x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤
∴75x a x -≤≤在11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上恒成立， ∴()()min min 75x a x -≤≤，即7544
a -
≤≤； 当1,13x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤.
∴22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴()()min min 22x a x --≤≤-，即7
13
a -≤≤； 综上，a 的取值范围为7
13
a -≤≤.。