等周问题

2 (t ) 2 (t ) dt (t ) (t ) dt .

2


由于 C 是分段光滑曲线， 所以 (t ) 满足引理的条件， 因此 2 (t ) 2 (t ) dt 0 ，




(t ) (t ) dt 0 ，所以 又显然
x (t ) ， y (t ) ， t [ , ] ，
且成立 ( ) ( ) ， ( ) ( ) 。
~ 不妨假设 (t )dt 0 。若 (t )dt k 0 ，则闭曲线 C ：

k k ~ x x = (t ) ，~ y y (t ) （ t [ , ] ） 2 2
等周问题
在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这 就是著名的 “等周问题” 。 早在古希腊时期， 人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。 但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下： 定理 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度， A 是曲线 C 所围图形的面积，则 L2 ， A 4 且等号成立时， C 必须是圆周。 L2 注 就是周长为 L 的圆所围的面积。 4 我们现在仅限于对平面上光滑的简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在 1902 年给出的。 为了证明以上结论，需要以下结论，有兴趣的同学可以将证明补上。 引理（ Wirtinger ） 设 函数 f 的导数 f 在 [ , ] 上连续 , 且 f ( ) f ( ) ，
这时 C 的参数方程为
x (t ) a cos t b sin t , t [ , ] ， y (t ) a sin t b cos t c ,
即 C 是一个圆周。
~ 是 C 的一个平移，其所围图形的面积与 C 所围图形的面积相同，于是考虑 C 即可。
由于 s
L L ds L t ，所以 ，再由弧长的微分公式得 2 2 dt 2
L2 ds 2 (t ) 2 (t ) ， t [ , ] 。 2 4 dt
2
对上式在 [ , ] 上取定积分得
L2 2 (t ) 2 (t ) dt 。 2


其次， C 所围图形的面积 A 可用曲线积分表示为
A xdy (t ) (t )dt ，
C

因此
L2 2 A 2 (t ) 2 (t ) 2 (，则


f


2
( x)dx f 2 ( x)dx ，


且等号成立当且仅当 f ( x) a cos x b sin x （ a, b 为常数） 。 定理的证明 设曲线 C 以弧长为参数的方程为 x x(s) ， y y(s) ， s [0, L] ， 且参数 s 从 0 变到 L 时，点 ( x(s), y(s)) 沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C 是闭曲线， L L t ，可将该曲线的方程改写为 所以 x(0) x( L) ， y(0) y( L) 。作变量代换 s 2 2

2
L2 ， A 4
且等号成立当且仅当
(t ) (t )dt 0 ， (t ) (t ) dt 0 ，

2 2

2


等价地，就是
(t ) a cos t b sin t ， (t ) (t ) ， t [ , ] ，