苏科版八年级数学上册导学案：3.2 勾股定理(第2课时)

苏教版八年级上册
第三章 3.1勾股定理（2）教学设计
---勾股定理的验证
一、学情分析：
学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经利用网格图计算面积的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.
二、教学任务分析：
本节课是苏教版八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：知识目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
能力目标：在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
情感目标：在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
学习重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。

学习难点：拼图验证勾股定理，体会数形结合、整体与部分的数学思想。

四、课前准备：
1、全班分8个学习小组，每组4-5人。

2、每组在课前准备好8个全等的直角三角形，3个边长分别为直角三角形三边长的正方形。

五、教学过程
本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二） 追溯历史，激发情感；（三）小组活动，拼图验证；（四）议一议，能力提升 （五） 例题讲解，初步应用；（六） 回顾反思，提炼升华；（七） 布置作业，课堂延伸.
第一环节： 复习设疑，激趣引入
内容：教师提出问题：
1、勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
2、巩固检测：
（1）求下列直角三角形中未知边的长:
(2)如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是____ 。

(3)已知：甲乙两人从同一地出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距多少千米？
设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）进一步熟悉勾股定理并能简单应用，体会勾股定理的作用：在直角三角形中，已知两条边，可以求出第三条边。

第二环节：追溯历史，激发情感
上节课我们仅仅是通过网格图测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，介绍古今中外研究勾股定理的历史，这节课我们也将去验证勾股定理.
意图：（1）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学12 20 6 x 8 y 15 12 z 16
400 64 A
生严谨的科学态度；（2）介绍古今中外世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣. 效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望. 第三环节：小组活动，拼图验证.
内容： 活动一： 教师导入，小组拼图.
教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形和1号正方形（边长为c ）拼出一个新的的正方形.（请每位同学用2
分钟时间独立拼图，然后小组讨论.）
教师：巡视，并选择一个小组上黑板进行拼图示范。

教师：请你再利用自己准备的四个全等的直角三角形和2号、
3号正方形（边长分别为为a ，b ）拼出一个新的的正方形.
（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后小组讨论.）
教师：巡视，并选择一个小组上黑板进行拼图示范。

在此基础上教师提问：
(1)拼出的两个大正方形的面积相等吗？为什么？
（2）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；
在学生回答的基础上板书=s 大正方形 (a+b)2=4×2
1ab+c 2
（3）如图2你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）； 在学生回答的基础上板书2221=(a+b)=a 42
s b ab ++⨯大正方形 你能由此得到怎样的等式？在学生回答的基础上板书
222
114422
ab c ab a b ⨯+=⨯++.并得到222c b a =+） 从而验证了勾股定理。

设计意图：设计活动一的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容. 此活动设计，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合、整体与部分的思
想并体会成功的快乐.
效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.
内容： 活动二：
教师：上面我们通过拼图法利用面积验证了勾股定理，勾股定理有多种验证方法，相信同学们还有不同的思路，发挥你们的聪明才智吧！
请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2 在此基础上教师提问： （1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×2
1ab+c 2.并得到222c b a =+） 从而利用图1验证了勾股定理.
延伸 ： 自主探究，完成验证二.
教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二） 意图：设计活动二的目的是为了让学生在活动一的基础上进一步体会勾股定理验证方法的多样性。

拼出了著名的“赵爽弦图”。

让学生再次体会数形结合的思想、整体与部分并体会成功的快乐.
效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.
图1
第四环节议一议，能力提升
给出如下问题：
把一个直立的火柴盒放倒，你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？
设计意图：在前面两个活动的基础上，让学生再次感受勾股定理验证方法的多样性，数形结合、整体与部分面积关系的数学思想得到升华！
这种验证方法也是美国第二十任总统伽菲尔德的证法，在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。

同学们的身份达到了“总统级别”！！学生兴趣盎然！
第五环节：例题讲解初步应用
勾股定理的证明的核心是以面积为桥梁将数与几何图形结合在一起，充分体现了数学数形结合的思想，勾股定理是一座联系数与形的桥梁．勾股定理的应用也非常广泛．
内容：例题.等腰△ABC中，AB=AC=10,BC=16
（1）求高AD长;
（2）求△ABC的面积;
（3）求腰AB上的高BE长.
设计意图：（1）运用勾股定理解决等腰三角形中面积问题，联系“三线合一”性质；（2）利用面积法求一腰上的高，体现面积法解题的灵活性和重要性；（3）培养学生应用数学的意识和能力，体会勾股定理的应用价值.
第六环节：回顾反思提炼升华
内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.
目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法、面积法解题思路，抓住整体与部分的关系；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的
归纳概括能力.
效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.
第七环节：布置作业，课堂延伸
内容：教师布置作业
1．习题3.1 1，2，3
2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.
意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.
教学设计反思：
勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵．特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2．这样学生较容易地突破了本节课的难点．选择本教学设计关键在于学情，根据学生基础的不同适当作调整！。