2019_2020学年九年级数学下册第2章圆2.4过不共线三点作圆作业设计(新版)湘教版

2.4 过不共线三点作圆
一、选择题
1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．40° B．80° C．120° D．160°
2．下列说法错误的是( )
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上
D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心
3．下列命题中正确的有( )
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而
且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )
A．2 3 cm B．4 3 cm
C．6 3cm D．8 3 cm
6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上
B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内
C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外
D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内
7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )
图K －15－1
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 二、填空题
8．在联欢晚会上，有A ，B ，C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC 的三条________线的交点最适当. 9．若AB ＝4 cm ，则过点A ，B 且半径为3 cm 的圆有________个．
10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．
11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________． 12．如图K －15－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，分别以点A ，C 为圆心，以大于1
2AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA ＝2，则
△ABC 的外接圆的面积为________．
图K －15－2
13．2017·宁夏如图K －15－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过点A ，B ，C
的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为________．
图K －15－3
三、解答题
14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．
图K－15－4
15．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．
图K－15－5 16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
图K－15－6
17．如图K －15－7，四边形ABCD 为圆内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，延长DA ，CB
交于点F ，且∠CAD ＝60°，DC ＝DE . 求证：(1)AB ＝AF ；
(2)点A 为△BEF 的外心(即△BEF 外接圆的圆心)．
图K －15－7
素养提升
联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心(如图K －15－8①)． (1)如图②，CD 为等边三角形ABC 的边AB 上的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝1
2AB ，求∠APB
的度数；
(2)如图③，若△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，准外心P 在AC 边上，试求PA 的长．
图K －15－8
参考答案
1．[解析] D ∵O 为△ABC 的外心，∠A ＝80°，∴∠BOC ＝2∠A ＝160°.故选D .
2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等． 3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形． 4．B 5.B
6．[解析] D ∵A ，B ，C 是平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，∴AB ＋BC ＝AC ，∴可以画一个圆，使点A ，C 在圆上，点B 在圆内． 7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)， ∴△ABC 的外心在直线x ＝1
2上．
∵∠BAC ＝100°，
∴△ABC 的外心在三角形的外部， ∴△ABC 的外心在第四象限． 8．垂直平分
9．[答案] 2
[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3 cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3 cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求圆． 10．5
11．[答案] 0.5
[解析] 如图，连接OC.
∵△ABC 是圆的内接正三角形，∴∠OCD ＝30°. 又∵OD ⊥BC ，OC ＝1， ∴OD ＝1
2OC ＝0.5.
12．[答案] 4π
[解析] ∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD 垂直平分BC.
∵分别以点A ，C 为圆心，以大于1
2AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，
∴EF 垂直平分AC.
∵直线EF 与AD 相交于点O ， ∴点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴AO 为△ABC 外接圆的半径， ∴△ABC 的外接圆的面积为4π. 13．[答案] 5
[解析] 如图，分别作AB ，AC 的中垂线，两直线的交点为O ，
以O 为圆心、OA 长为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆． 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.
14．解：连接AB ，AC ，分别作AB ，AC 的垂直平分线MN ，FD ，交点G 即为运动员公寓所建立
的位置．图略．
15．解：如图，过点A 作直径AD ，交BC 于点E ，连接OC.
∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵
， ∴AD 垂直平分BC ， ∴EC ＝1
2BC ＝6 cm .
∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，
∴△OAC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°.
在Rt △OEC 中，sin ∠EOC ＝EC
OC ，
∴OC ＝
632
＝4 3(cm )，
∴它的外接圆的直径为8 3 cm .
16．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，AD 平分∠BAC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，∠BAE ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴∠DBC ＝∠BAE.
∵∠DBE ＝∠CBE ＋∠DBC ，∠DEB ＝∠ABE ＋∠BAE ， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DE ＝DB.
(2)连接CD ，如图所示．
由(1)得BD ︵＝CD ︵
， ∴CD ＝BD ＝4. ∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，
∴BC ＝BD 2
＋CD 2
＝4 2，
∴△ABC 外接圆的半径＝1
2×4 2＝2 2.
17．证明：(1)因为DC ＝DE ， 所以∠DEC ＝∠ACD ，
则∠ABF ＝∠ADC ＝120°－∠ACD ＝120°－∠DEC ＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE ，
而∠F ＝60°－∠ACF. 因为∠ACF ＝∠ADE ，
所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF. (2)四边形ABCD 内接于⊙O ， 所以∠ABD ＝∠ACD.
又DE ＝DC ，所以∠ACD ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ，所以AB ＝AE. 又因为AB ＝AF ，所以AB ＝AF ＝AE ， 即点A 是△BEF 的外心． [素养提升]
解：(1)①若PB ＝PC ，连接PB ， 则∠PCB ＝∠PBC.
∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°， ∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°， ∴PD ＝
33DB ＝3
6
AB. 与已知PD ＝1
2
AB 矛盾，
∴PB ≠PC.
②若PA ＝PC ，连接PA ，则∠PCA ＝∠PAC. ∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCA ＝30°， ∴∠PAD ＝∠PAC ＝30°， ∴PD ＝
33DA ＝3
6
AB. 与已知PD ＝1
2AB 矛盾，
∴PA ≠PC.
③若PA ＝PB ，由PD ＝1
2AB ，得PD ＝BD ，
∴∠BPD ＝45°，故∠APB ＝90°. (2)①若PB ＝PA ，设PA ＝x. ∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5， ∴AC ＝12，则CP ＝12－x ， ∴x 2
＝(12－x)2
＋52
， 解得x ＝16924，即PA ＝169
24.
②若PA ＝PC ，则PA ＝6.
③若PC ＝PB ，由图知，在Rt △PBC 中，不可能存在此种情况． 综上所述，PA ＝169
24或PA ＝6.。