河北省邢台市第一中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(直升班,含解析)

河北省邢台市第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考
试题（直升班，含解析）
一、选择题；（每小题5分，共60分） 1.不等式
02
1
x x ≤-+的解集是 （ ） A. (1)(12]-∞--U ，
， B. [1
2]-， C. (1)[2)-∞-+∞U ，
， D. (12]-， 【答案】D 【解析】 【分析】
将“不等式2
1x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩
”，由一元二次不等式的解法
求解．
【详解】依题意，不等式化为()()120
10x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩
，
解得﹣1＜x≤2， 故选D ．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 2. 在实数范围内，下列命题正确的是（ ） A. 若,a b >则
1b
a
< B. 若,a b c d ><，则a c b d +>+ C. 若a b >，则lg()0a b -> D. 若0,ab a b >>，则
11a b
< 【答案】D 【解析】
解：A 选项中，不符合不等式的性质，因此错误．当a<0不成立． B 选项中，只有同向不等式可以相加，因此结果为a d b c +>+，因此错误 选项C 中，当a-b>1时，对数值大于零，因此错误．只有D 成立． 3.若
，则1x
＋1
y 的最小值为（ ）.
A.
1
20 B.
15
C.
12
D. 2
【解析】 试题分析：
，
，
，
（当且仅当
）.
考点：对数的运算、基本不等式. 4.下列结论正确的是（ ） A. 当0x >且1x ≠时,1
lg 2lg x x
+≥ B. 当0x >时2x x
≥ C. 当2x ≥时,1
x x
+的最小值是2 D. 当02x <≤时,1
x x
-
无最大值 【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出． 【详解】解：A ．当1＞x ＞0时，lgx ＜0，lgx 1
lgx
+
≥2不成立； B ．当0x >时2x x
≥，正确； C ．当x ≥2时，x 1x
+＞2，不成立； D ．当0＜x ≤2时，函数y ＝x 1x -
单调递增，当x ＝2时，有最大值213
22
-=，不正确． 故选B ．
考点：基本不等式.
5.已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且
11
n n n n a a
a a +-+=2，则a 12的值为（ ） A.
16
B. 6
C.
13
D. 3
【答案】A 【解析】
首项将
112n n n n a a a a +-+=变形为11112n n n a a a +-+=，通过等差中项的性质即可判定1{}n
a 是以首项
12，公差1
2
的等差数列.再利用等差数列的通项公式即可得出12a 的值. 【详解】因为112n n n n a a a a +-+=，所以11112
n n n
a a a +-+=. 所以1{
}n a 是以首项111
2=a ，公差211112
a a -=的等差数列. 所以11(1)222
1n n n a =+-=. 即2n a n =
，121
6
a =. 故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，通过等差中项判定数列为等差数列是解题的关键，属于中档题.
6.已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ） A. 50 B. 45
C. 40
D. 35
【答案】B 【解析】
试题分析：284610a a a a +=+=，又4624a a =，0d <，所以466,4a a ==，所以
19,1a d ==-，所以100,10n a n n =-+≥≤，故前9或10项的和最大，
9198
9452
S a d ⨯=+
=. 考点：等差数列.
7.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7＝39，a 2+a 5+a 8＝33，则a 3+a 6+a 9的值为（ ） A. 30 B. 27
C. 24
D. 21
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由等差中项的性质知：413a =，511a =，因为54d a a =-，36963a a a a ++=，再计算6a 带入即可.
【详解】因为1474339a a a a ++==，所以413a =. 因为2585333a a a a ++==，所以511a =. 所以542d a a =-=-.659a d a =+=
3696327a a a a ++==.
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，数列掌握等差中项的性质为解题的关键，属于简单题.
8.在ABC ∆中，a x =2b =，45B ∠=o ．若该三角形有两个解，则x 的取值范围是
A. 2x >
B. 02x <<
C. 2x <<
D.
2x <<【答案】C 【解析】
试题分析：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，
当A=90°时，圆与AB 相切；当A=45°时交于B 点，也就是只有一解，∴45°＜A ＜90°，
sin 1A <<，
由正弦定理以及asinB=bsinA ．可得：a=x=，
∵(A ∈．∴x 的取值范围是2x <<考点：正弦定理解三角形
9.设函数())f n n =，()ln(g n n =，则()f n 与()g n 的大小关系是（ ） A. ()()f n g n >
B. ()()f n g n <
C. ()()f n g n ≥
D.
()()f n g n ≤
【答案】B 【解析】 【分析】
n 和n 不相等，所以()()f n g n ≠，再将1n =带入()f n 和
()g n 即可比较大小.
n 和n ()()f n g n ≠.
令1n =，())1)ln10f n n ==<=，
()ln(ln10g n n ===.
所以()()f n g n <. 故选：B
【点睛】本题主要考查对数函数的性质和应用，利用特值法为解题的关键，属于中档题. 10. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 由增加
的长度决定 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设ABC ∆为直角三角形，90C =o ，则222+=a b c ，设三边增加的长度为
()0m m >，则新三角形A B C '''∆的三边长度分别为,,a m b m c m +++，则
()()()()()
222
cos 2a m b m c m C a m b m '+++-+=
++，而
()()()
()222
220a m b m c m a b c m m +++-+=+-+>，所以cos 0C '>，因此新三角形
为锐角三角形. 考点：余弦定理.
【此处有视频，请去附件查看】
11.已知函数()()633,7;,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨⎩＞，
数列{}n a 满足()()n a f n n N +=∈，且{}n a 是递
增数列.则实数a 的取值范围是（ ）. A. 9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 9,34
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. ()1,3
D. ()2,3
【答案】D 【解析】
【详解】由{}n a 是递增数列得30,
1 3.1a a a ＞＜＜＞-⎧⇒⎨
⎩
又由()()78f f ＜，得
()2733.a a --＜
解得9 2.a a -＜或＞故实数a 的取值范围是()2,3.
12.设数列{a n }满足a 1＝0
且
111n n a a +-=--，b
n ={b n }的前n 项和为
T n ，则T 2019的值是（ ）
A. 1
C. 1
D.
12【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据
111n n
a a +-=--得到数列1{}1n a -是以首项为1，公差为1的等差数列，就可以求出1
n n a n
-=
，再把1n a +带入n b 求出通项公式，最后利用裂项法即可求出2019T .
【详解】因为
111n n
a a +-=--，所以
111111n n a a +-=-- 所以数列
1
{}1n
a -是以首项为1，公差为1的等差数列.
所以
1
1(1)1n
n n a =+-=-. 所以1
n n a n
-=
. n b =
=
=，
2019(1T =++
……1+=-故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列的证明，同时考查了裂项法求和，属于中档题. 二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.
【答案】【解析】
【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=1200,，则由余弦定理，c 2= a 2+ b 2-2abcosC ，
10a ∴=,
∴ 三边长为6,10,14，,b 2= a 2+ c 2-2accosB,即14
（a+c ）2=a 2+c 2-2accosB, cosB=11
14，
可知
S=11sin 61422ac B =⨯⨯=
=考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．
点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算． 14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且
481
3S S =，那么816
S S =_____． 【答案】
3
10
【解析】
【分析】 首先根据
4813
S S =，设4S k =，8=3S k ，再根据等差数列的性质得到4S ，84S S -，128S S -，1612S S -构成等差数列，计算出16S 即可求出答案.
【详解】设4S k =，8=3S k ，由等差数列的性质得：
4S ，84S S -，128S S -，1612S S -构成等差数列.
所以842S S k -=，1283S S k -=，16124S S k -=. 所以126S k =，1610S k =.
816310
S S =. 故答案为：
310
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟练掌握n S ，2n n S S -，32n n S S -，……，构成等差数列为解题的关键，属于中档题.
15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a
2+b 2＝1，c ＝1，
a ﹣
b 的取值范围为_____．
【答案】1（ 【解析】 【分析】
根据221a b +=，1c =，由余弦定理知6
C π
=
，再根据正弦定理得到2sin a A =，
2sin b B =，
2sin()6
b A π
+=-，最后利用三角函数的性质就可求出相应的范围.
【详解】因为221a b +=，1c =，
所以222a b c +-=
.
222cos 222
a b c C ab ab +-===
. 因为02
C <<
π
，所以6
C π
=
.
又因为1
2
sin sin sin 6
a b A B π===， 所以2sin a A =，2sin b B =，5
6B A π=-
.
2sin b A B -=-
5
2sin()6A A π=--
55
2(sin cos cos sin )66A A A ππ=--
cos 2sin()6
A A A π
=-=-.
因为02
5062A A π
π
π⎧<<
⎪⎪⎨
⎪<-<⎪⎩
，所以
3
2
A π
π
<<
.
6
6
3
A π
π
π
<-
<
，
1sin()262
A π<-<
b -∈. 故答案
：
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定义的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足4
bsinA =，若a ，b ，c
成等差数列，且公差大于0，则cosA ﹣cosC 的值为_____．
【解析】 【分析】
首先4sin b A =
，通过正弦定理可求出sin B 的值，又根据a ，b ，c 成等差数列，且
公差大于0，得到3cos 4B =
和sin sin 2
A C +=.设cos cos A C m -=，平方相交化简即可求出答案.
【详解】因为4sin b A =，由正弦定理得：
4sin sin B A A =.
因为sin 0A ≠，所以sin B =
. 又因为a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0， 所以2b a c =+，A B C <<. 所以B 是锐角，.
sin sin 2sin A C B +==
. 设cos cos 0A C m -=>.
2222(cos cos )cos cos 2cos cos A C A C A C m -=+-=①，
2227
(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=
②， ①+②得：2
722cos cos 2sin sin 4
A C A C m -+=+
2722cos()4A C m -+=+，27
22cos 4B m +=+
因为3cos 4B =
，所以2
74m =，m =.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同时考查了三角函数的两角和差公式和同角的三角函数关系，属于中档题.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆2c =，求a 和b 的值． 【答案】（1）3
π
；（2）2,2. 【解析】
本试题主要是考查了解三角形的运用．
解：
（Ⅰ）解：
2sin 2sin sin sin 2(0,)23
b A A B A B B B ππ
==∴=
∈∴=
Q ．
．．．．．．． 4分
（Ⅱ）2221sin 2
22cos 42
S ac B a b a c ac B b =
====∴=+-=∴= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 18.已知不等式ax 2
﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b } （1）求a 、b ；
（2）解关于x 的
不等式ax 2+（ac +b ）x +bc ＜0． 【答案】（1）2，（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由题知1，b 是方程2320ax x -+=的根，利用根系关系即可求出a ，b 的值. （2）由（1）知不等式为2
(2)20x c x c +++>，讨论c -和2-的大小，写出对应的解集即
可.
【详解】（1）由题意知0a >且1，b 是方程2320ax x -+=的根，
所以312b a b a ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得1a =，2b =.
（2）不等式可化为2
(2)20x c x c +++>，即()(2)0x c x ++>. 当2c -<-，即2>c 时，不等式的解集为{|2}x c x -<<-， 当2c -=-，即2c =时，不等式的解集为{|2}x x ≠-， 当2c ->-，即2c <时，不等式的解集为{|2}x x c -<<-.
【点睛】本题第一问考查不等式的解法，第二问考查含参不等式的解法，分类讨论为解题的关键，属于中档题.
19.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 513
=
a 32
，S 7＝56．
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n +1﹣b n ＝a n +1，求数列{b n }的通项公式． 【答案】（1）a n ＝2n ，n ∈N *．（2）b n ＝n 2
+n ，n ∈N *． 【解析】 【分析】
（1）根据已知2
15313
a a a +=，756S =可求出36a =和48a =，再求出公差，即可求出通项公式.
【详解】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列且2
15313
a a a +=， 即2
33123
a a =
， 因为0n a >， 所以36a =. 又因为174
7477275622
a a a S a +⋅=
===（）， 所以48a =，公差432d a a =-=.
所以数列{}n a 的通项公式3(3)62(3)2n a a n d n n =+-=+-=，*n N ∈. （2）根据（1），有112b a ==，112(1)n n n b b a n ++-==+. 所以2122b b -=⨯，
3223b b -=⨯，
……
12n n b b n --=
各式左右分别相加，可得：
12223n b b -=⨯+⨯+……2n +⨯.
所以22223n b =+⨯+⨯+…2n +⨯
2(123=+++……2(1)
)2
2
n n n n n ++==+. 数列{}n b 的通项公式为2
n b n n =+，*n N ∈.
【点睛】本题第一问考查等差数列的性质和求和公式，第二问考查了叠加法求数列通项公式，属于中档题.
20.某投资商到邢台市高开区投资72万元建起一座汽车零件加工厂，第一年各种经费12万元，以后每年增加4万元，每年的产品销售收入50万元．
（Ⅰ）若扣除投资及各种费用，则该投资商从第几年起开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该投资商为投资新项目，需处理该工厂，现有以下两种处理方案：① 年平均利润最大时，以48万元出售该厂； ② 纯利润总和最大时，以16万元出售该厂． 你认为以上哪种方案最合算？并说明理由．
【答案】（1）从第3年起；（2）两种方案获利都是144万元，但方案①只需要6年，而方案②需要10年，所以选择方案①最合算． 【解析】
本试题主要考查了函数在实际生活中的运用．
解：由题意知，每年的经费是以12为首项、4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为()f n ，则
()()215012472240722n n f n n n n n ⎡⎤-=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦
． ………………3分
（Ⅰ）令()0f n >，即2240720n n -+->，解得218n <<．
由*n N ∈可知，该工厂从第3年起开始获得纯利润； …………………………5分
（Ⅱ）按方案①：年平均利润为
()3636
402()402216f n n n n
n n
=-+
≤-⨯⨯=，当且仅当36
n n
=
，即6n =时取等号，故按方案①共获利61648144⨯+=万元，此时6n =； ………………………………8分
按方案②：()()2
224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，，
故按方案②共获利
万元，此时10n =．
比较以上两种方案，两种方案获利都
144万元，
但方案①只需要6年，而方案②需要10年，所以选择方案①最合算． ………………………………12分
21.在锐角△ABC 中，222b a c cos A C ac sinAcosA
--+=
（）
． （1）求角A ；
（2）若
a =sinB +cos （
712
π
-C ）取得最大值时，求B 和b ． 【答案】（1）4π（2）B 3
π
=，
b =【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理化简222cos sin cos b a c A C ac A A
--+=
（）
即可求出sin 21A =，再根据三角函数的性质即可求出角A . （2）首先将7sin cos(
)12
B C π
+-
)6B π+，再根据角B
的
范围即可求出最大
值和角B ，最后利用正弦定理即可求出b 的值.
【详解】（1）因为222cos sin cos b a c A C ac A A --+=
（）
， 所以2222cos 2si c )n os a c b A C ac A A
-++=
-(（）
. 由余弦定理可得cos 2cos sin cos B
B A A
--=
，
因为ABC V 是锐角三角形，所以cos 0B >. 所以2sin cos 1A A =，sin 21A =. 所以22
A π
=
，4
A π
=
.
（2）由（1）知34
B C π+=，34B C π
=-. 所以7sin cos(
)sin cos()126
B C B B ππ
+-=+- sin cos cos sin sin
6
6
B B B π
π
=++
3sin )26
B B B π
=
+=+. 因为3042B ππ<
-<，02B π
<<， 所以42B ππ<<，5212
63B πππ
<+<.
所以当62B ππ
+=，即3
B π=
)6B π+
即3
B π
=
时，7sin cos(
)12
B C π
+-
由正弦定理可得
sin sin b a
B A
=
，sin sin a B b A ===【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同时考查了三角函数的化简和三角函数的最值问题，属于中档题.
22.设正数列{}n a 的前{}n a 项和为n
，且1n a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式.
（2）若数列3
2n n a b +=，设n T 为数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项的和，求n T .
（3）若1n n T b λ+≤对一切*N n ∈恒成立，求实数λ的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）24
n
n +（3）116
【解析】
分析：（1）利用,n n S a 的关系，求解n a （2）裂项相消求解n T
（3）分离变量转化为求1
n
n T b +的最值．
详解：：（1）∵正数列{}n a 的前n 项和为n S
，且1n a =+，
∴111n n n n S S a S --=+=+，
∴)
2
11n S -=
，
1=，
∵11a =，解得11a =，
11n n =+-=，∴2
n S n =，
∴()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，1211n a -==，∴21n a n =-. （2）3213
122
n n a n b n +-+=
==+， ∴()()111111212
n n b b n n n n +==-++++， ∴1111123341n T n =
-+-++-+L 11122224
n n n n =-=+++ （3）1n n T b λ+≤对一切*N n ∈恒成立， ∴
()224
n
n n λ≤++，
∴()
211422444n n n n n λ≥=++++
116≥= 当且仅当2n =时取等号，故实数λ的最小值为
1
16
点睛：11n 1
n 2n n
n S a S S -=⎧=⎨-≥⎩，，，一定要注意，当n 1=时要验证是否满足数列．求分式结构
1
1
n n b b +，数列n b 为等差数列的前n 项和，用裂项相消．。