广东省深圳市松岗中学2022年高三数学理联考试题含解析

广东省深圳市松岗中学2022年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）
A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0
C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0
参考答案：
C
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．
若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．
故选：C．
2. 设集合，，若，则
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
B
略
3. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是( )
A.B.C. D.
参考答案：
D
略
4. 已知数列满足，则=
A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log340
参考答案：
C
5. 已知x>0，y>0，且＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
参考答案：
【知识点】基本不等式E5
【答案解析】D ∵=1，∴x+2y=（x+2y）()=4+≥4+2=8
∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2故答案为D．
【思路点拨】先把x+2y转化为（x+2y）( )展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．
6. 一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为
A．48 B．48+8 C．32+8 D．80
参考答案：
B
7. 设,其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）
（注:若，则, ）
A.. 7539
B. 6038
C. 7028
D. 6587
参考答案：
D
8. 已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；
④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确
【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误
②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确
③过直线m作平面γ交平面β与直线c，
∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，
∵m∥β，m?γ，γ∩β=c∴m∥c，
∵m?α，c?α，∴c∥α，
∵n?β，c?β，n∩c=O，c∥α，n∥α
∴α∥β；故③正确
④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确
故正确命题有三个，
故选C
【点评】本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识
9. 已知x∈R，i是虚数单位,若(1―2i)(x+i)=，则x的值等于
A -6
B -2 C
2 D 6
参考答案：
C
10. 函数为增函数的区间是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由曲线，直线轴所围成的图形的面积为__________.
参考答案：
12. 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点至少向右平行移
动
个单位长度．
参考答案：
【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin （2x ﹣）的图象，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
13. 已知函数f（x ）=cosx?sin （x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．
参考答案：
、﹣
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．
解答：解：∵f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+
=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+
=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+
=sin2x﹣×+
=sin（2x﹣），
又∵x∈[﹣，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，
当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，
故答案为：、﹣．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．
14. 已知
是单位向量，
，若向量满足
，则
的最大值
是
.
参考答案：
∵||=||=1，且
，
∴可设，
，
．
∴． ∵
，
∴
，即（x ﹣
1）2+（y ﹣1）2=1．
∴的最大值==
．
故答案为：．
15. 已知随机变量ξ的分布列如表：
p= ；= ．
参考答案：
，
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】由随机变量ξ的分布列中概率之和为1，求出p=
，由此利用离散型随机变量的分布列、
数学期望的性质能求出结果．
【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：
，
解得p=
．
E （ξ）=
=．
故答案为：，．
16. 已知是虚数单位，复数，则虚部为 ▲ ．
参考答案： -1
17. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该
县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ．
参考答案：
1200
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）＝sin2x ﹣|ln （x +1）|，g （x ）＝sin2x ﹣x ．
（1）求证：g （x ）在区间(0,
]上无零点；
（2）求证：f （x ）有且仅有两个零点．
参考答案：
证明：（1）g′（x）＝2cos2x﹣1，
当时，，此时函数g（x）单调递增，
当时，，此时函数g（x）单调递减，
又，，
∴函数g（x）在区间上无零点；
（2）要证函数f（x）有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln（x+1）|＝0有且仅有两个解，
设m（x）＝sin2x，n（x）＝|ln（x+1）|，则只需证明函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，
在同一坐标系中作出两函数图象如下，
由图象可知，函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．
19. （本题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若
，求证：为定值，并求出此定值.
参考答案：
(1)椭圆的标准方程为：；…………4分(2)设，由得
所以
，
…………7分
，
因为上，所以得到，
得到；…………9分
同理，由可得
所以m,n可看作是关于x的方程的两个根，
所以为定值.……12分
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.
（Ⅰ）求轨迹为C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点.求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）设点，依题意得，即，
化简整理得.
故点M的轨迹C的方程为
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.
依题意，可设直线的方程为
由方程组可得①
（1）当时，此时把代入轨迹C的方程，得.
故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.
（2）当时，方程①的判别式为. ②
设直线与轴的交点为，则
由，令，得. ③
（ⅰ）若由②③解得，或.
即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.
（ⅱ）若或由②③解得，或.
即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.
当时，直线与有两个公共点，与没有公共点.
故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点.
（ⅲ）若由②③解得，或.
即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.
综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与
轨迹恰好有三个公共点.
21. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
参考答案：
解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为
0.1×100=10. …………3分
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽
取的人数分别为:第3组:×6=3; 第4组:×6=2; 第5组:×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9
种, …………10分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为…………12分
略
22. 如图所示，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆在第一象限上的点，且
轴，
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若线段与轴垂直，且满足，证明：直线与椭圆只有一个交点.
参考答案：
（1）因为，又，则，所以由勾股定理得，即，所以离心率
（2）把代入椭圆得，即,所以，又所以，即，故，则直线AB的斜率
，则直线AB方程为，整理得
联立消去y得：，易得△
故直线AB与椭圆只有一个交点.。