2020-2021初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案解析

2020-2021初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案解析
一、选择题
1．下列不等式变形中，一定正确的是（ ）
A ．若ac bc >，则a b >
B ．若a b >，则22ac bc >
C ．若22a b c c >，则a b >
D ．若0a >，0b >，且11a b >，则a b > 【答案】C
【解析】
【分析】 根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
【详解】 A ．当c ＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；
B ．当c=0时，符号为等号，故此选项错误；
C ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确；
D ．分母越大，分数值越小，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩
的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩
①②， 解不等式①得，x ≤3
解不等式②得，x ＞﹣2
在数轴上表示为：
.
故选D ．
【点睛】
本题考查在数轴上表示不等式组的解集．
3．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）
A ．21090(18)2100x x +-≥
B ．90210(18)2100x x +-≤
C ．21090(18) 2.1x x +-≤
D ．21090(18) 2.1x x +->
【答案】A
【解析】
设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．
4．下列不等式的变形正确的是（ ）
A ．若,am bm >则a b >
B ．若22am bm >，则a b >
C ．若,a b >则22am bm >
D ．若a b >且0,ab >则11a b > 【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；
若22am bm >，则a b >，故B 正确；
当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；
若0a b >>，则
11a b
<，故D 错误； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．
5．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨
-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-
B ．21m -<<
C ．1m <-
D ．2m ≥-
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．
【详解】
解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩
解不等式①，得：x m >，
解不等式②，得：3x ≤，
∴不等式组的解集为：3m x <≤，
∵不等式组恰有五个整数解，
∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；
∴m 的取值范围为21m -≤<-；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．
6．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016
x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=--
∴83a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803
a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
7．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩
的解集在数轴上可以表示为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分．
【详解】
由-x≤1，得x≥-1，
则不等式组的解集为-1≤x ＜3．
故选：B ．
【点睛】
此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．
8．不等式组21512
x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
分析：
根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可.
详解：
解不等式①，得：x1
<;
解不等式②，得：x3
≥-；
∴原不等式组的解集为：3x1
-≤<，
将解集表示在数轴上为：
故选C.
点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.
9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况．
【详解】
∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，
∴a+c＝﹣2b，
∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，
∴b＞0，
∴b2﹣ac＝
222
2
22
a c a ac c
ac
+++
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
＝
2
22
2
42
a ac c a c
-+-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
…，
即b＞0，b2﹣ac≥0，
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac 的正负情况．
10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）
A．6折B．7折
C．8折D．9折
【答案】B
【详解】
设可打x 折，则有1200×
10
x -800≥800×5%， 解得x≥7．
即最多打7折．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
11．在直角坐标系中，若点P(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( )
A ．3＜x ＜5
B ．－5＜x ＜3
C ．－3＜x ＜5
D ．－5＜x ＜－3
【答案】A
【解析】
【分析】
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【详解】
解：∵点P （2x-6，x-5）在第四象限， ∴260{50
x x －＞－＜， 解得：3＜x ＜5．
故选：A ．
【点睛】
主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．
12．若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨-<⎩
…的整数解只有3个，则a 的取值范围是( ) A ．6≤a ＜7
B ．5≤a ＜6
C ．4＜a ≤5
D ．5＜a ≤6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解不等式可得，2＜x ≤a ，然后根据题意只有3个整数解，可得a 的范围.
【详解】
解不等式x ﹣a ≤0，得：x ≤a ，
解不等式5﹣2x ＜1，得：x ＞2，
则不等式组的解集为2＜x ≤a ．
∵不等式组的整数解只有3个，∴5≤a ＜6．
【点睛】
本题主要考查不等式的解法，根据题意得出a的取值范围是解题的关键.
13．不等式组34
33
1
22
x
x x
-≥
⎧
⎪
⎨
-<+
⎪⎩
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
【详解】
34
33
1
22
x
x x
-≥
⎧
⎪
⎨
-<+
⎪⎩
①
②
解①，得1
x≤-
解②，得5
x>-
所以不等式组的解集是51
x
-<≤-
在数轴表示为
故选：A
【点睛】
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
14．不等式组
321
x a
x
-<
⎧
⎨
-≤-
⎩
的整数解共有3个，则a的取值范围是（）
A ．45a <<
B ．45a <≤
C ．45a ≤<
D ．45a ≤≤
【答案】B
【解析】
【分析】 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到a 的范围．
【详解】
0321x a x -<⎧⎨-≤-⎩
①②， 由①解得：x ＜a ，
由②解得：x≥2，
故不等式组的解集为2≤x ＜a ，
由不等式组的整数解有3个，得到整数解为2，3，4，
则a 的范围为4＜a≤5．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
15．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．a c b +>
B ．a c b c +>-
C ．11ac bc ->-
D ．()()11a c b c -<- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：∵0c <，
∴11c -<-，
∵a b >，
∴()()11a c b c -<-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．
16．如果不等式组26x x x m
-+<-⎧⎨>⎩的解集为x ＞4，m 的取值范围为（ ）
A ．m ＜4
B ．m ≥4
C ．m ≤4
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】 表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m 的范围即可．
【详解】
解不等式﹣x+2＜x ﹣6得：x ＞4，
由不等式组26x x x m -+<-⎧⎨
>⎩
的解集为x ＞4，得到m≤4， 故选：C ．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．m ﹣2＜n ﹣2
B ．44m n >
C ．6m ＜6n
D ．﹣8m ＞﹣8n
【答案】B
【解析】
【分析】
将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【详解】
A 、将m ＞n 两边都减2得：m ﹣2＞n ﹣2，此选项错误；
B 、将m ＞n 两边都除以4得：
m n 44
> ，此选项正确； C 、将m ＞n 两边都乘以6得：6m ＞6n ，此选项错误； D 、将m ＞n 两边都乘以﹣8，得：﹣8m ＜﹣8n ，此选项错误，
故选B ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．已知点P （a +1，12a -
+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102
a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
19．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1
B ．a≤2
C ．1＜a≤2
D ．1≤a≤2
【答案】C
【解析】
∵x=2是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0的解，∴(2−5)(2a −3a+2)⩽0，解得：a ⩽2，
∵x=1不是这个不等式的解，∴(1−5)(a −3a+2)>0，解得：a>1，
∴1<a ⩽2，
故选C.
20．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A ．0x y +>
B ．0x y ->
C ．0x y +<
D ．0x y -<
【答案】A
【解析】
两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x +y ＞0，
故选A ．。