20100618复变函数论分章总结

复变函数论框图
课程的重点与难点
课程的重点是
（1）解析函数，柯西积分定理和积分公式
（2）级数，泰勒展开和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理（3）残数定理及应用
（4）线性变换，保形映射
课程的难点
（1）多值函数,
（2）保形映射.
CH1 复数与复变函数
内容：复数及其运算、几何表示，复平面上的点集、区域、曲线、集与集之间的距离，区域的连通性，复变函数，极限，连续，复球面与无穷远点。

要求：重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。

建议：对复数理论已有所掌握，这里不求完整，只对它作简要复习。

CH2解析函数
内容：复变函数导数和微分的定义，解析函数的概念和奇点的定义，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件，初等函数：幂函数，根式函数，指数函数，三角函数，反三角函数以及一般幂函数与一般指数函数。

要求：重点是解析函数概念，柯西-黎曼条件，基本初等函数的解析性，难点是初等多值函数，有关支点，支割线等概念，一般只要求理解。

建议：重点是柯西——黎曼定理和基本初等函数的定义和性质。

CH3复积分
内容：复积分的概念及其简单性质，柯西积分定理及其推广（单连通，复连通），原函数概念，柯西积分公式及其推论，解析函数的无穷可微性，一些重要定理，刘维尔定理，莫勒拉定理，调和函数概念，解析函数与调和函数的关系。

要求：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。

建议：本章包含复变解析函数的最精彩的部分。

Cauchy定理与Cauchy公式是本章的重点与难点，也是本课的重要理论基础。

CH4泰勒级数CH5洛朗级数
CH4解析函数的幂级数表示法
内容：复级数的基本性质，幂级数：Abel定理，和函数的解析性，Taylor展开式，解析函数的级数展开（重点是一些初等函数的泰勒展式），解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理。

要求：重点是函数展开成泰勒级数。

建议：要求熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数。

CH5解析函数的罗朗展式与孤立奇点
内容：解析函数的罗朗展式，罗朗级数与泰勒级数之间的关系，解析函数的孤立奇点：可去奇点、极点、本性奇点，席瓦尔兹引理，毕卡定理，三类孤立奇点的判别，解析函数在无穷远点邻域的性质，整函数与亚纯函数概念、简单性质。

要求：重点是解析函数的罗朗展式。

建议：重点是在不同环域内将函数展开成罗朗级数；孤立奇点类型的判别。

CH6留数
内容：留数的概念，留数定理，无穷远点的留数，用留数定理计算实积分（主要是四种类型），辐角原理及其应用：对数留数，辐角原理，儒歇定理。

要求：重点在留数的计算及应用留数计算定积分, 儒歇定理的应用。

建议：本章难点是无穷远点的留数求法及其应用，积分路径上有奇点的实积分。

后者只要求了解。

CH7共形映射
内容：解析变换（映照）的特性：保域性，保角性，保形性，线性变换：概念，特性，保形性，保交比性，保圆周（圆）性，保对称性等，线性变换的应用，某些初等函数所构成的保形变换：幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，两角形区域的保形变换，复合变换，黎曼存在定理，边界对应定理。

要求：本章难点是求一区域到另一区域的保形变换，可能要经过若干中间步骤复合而成，即求复合变换。

建议：要求把每个上述提及的初等函数变换特性弄清楚，以一个图示来揭示各区域之间变换如何实现。