上海建平实验学校2022年高三数学理联考试卷含解析

上海建平实验学校2022年高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为R上的连续函数，其导函数为，则关于x的函数
的零点个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.0或2
参考答案：
A
略
2. 已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
3. 将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】先求出将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人的基本事件总数，再求出甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙被分到同一个班概率．
【解答】解：将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，
基本事件总数n=，
甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数m=，∴甲、乙被分到同一个班概率p===．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
4. 设集合，则＝（）
A． B． C． D．R
参考答案：
B
5. 下列命题中的真命题是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
B
6. 已知函数和的图像的对称轴完全相同，若
，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
7. 若的展开式中常数项为20，则实数a的值是（）
A．1 B．-1
C．6 D．-6
参考答案：
A
8. 函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】所求面积由三角形面积加上一曲边梯形面积，利用定积分可求得结论．
【解答】解：由题意，函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积
为三角形面积加上一曲边梯形面积+=2+2sinx=2+2=4
故选D．
9. 定义在R上的偶函数在是增函数，且，则x的取值范围是
A. B.
C. D. 参考答案：
B
10. 复数的共轭复数是（）
A．B．C．﹣i D．i
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．
【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．
故选C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在矩形中，，，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率
是
▲
．
参考答案：
答案：
12. 若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=．参考答案：
2
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f （x ）=sinωx，再根据y=Asin （ωx+φ）的周期等于
，得出结论．
【解答】解：由于函数f （x ）=sin =sin
?cos
=sinωx 的最小正周
期为π，
则=π，∴ω=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题．
13. 已知数列
满足
，
则
的值为
▲
参考答案：
略
14. 若定义域为R 的奇函数f （x ）满足f （1+x ）=﹣f （x ），则下列结论：
①f（x ）的图象关于点
对称；
②f（x ）的图象关于直线
对称；
③f（x ）是周期函数，且2个它的一个周期； ④f（x ）在区间（﹣1，1）上是单调函数．
其中正确结论的序号是 ．（填上你认为所有正确结论的序号）
参考答案：
②③
【考点】奇偶性与单调性的综合；奇偶函数图象的对称性．
【分析】根据f （2+x ）=﹣f （x+1）=f （x ）可断定函数f （x ）为周期函数，故可知③正确；根据f （x ）为奇函数，可知函数关于原点对称
根据周期性及f （1+x ）=﹣f （x ）可知函数关于（k ，0）对称，排除①；根据f （1+x ）=﹣f （x ）可推知f （x+）=f （﹣x ）进而推知f （x ）的图象关于直线
对称；f （x ）在区间（﹣1，0）上
和在（0，1）上均为单调函数，但在（﹣1，1）不是单调函数，故④不正确． 【解答】解：f （2+x ）=﹣f （x+1）=f （x ）， ∴函数是以2为周期的周期函数，故③是正确的． ∵f（x ）为定义域为R 的奇函数，
∴f（x ）函数图象关于原点对称，
∵f（x ）为周期函数，周期为2且f （1+x ）=﹣f （x ）， ∴f（x ）函数图象关于点（k ，0）（k∈Z）对称，故①不对． ∵f（1+x ）=﹣f （x ）
∴f（x+）=f （x ﹣+1）=﹣f （x ﹣）=f （﹣x ） ∴f（x ）的图象关于直线
对称，故②正确．
f （x ）在区间（﹣1，0）上和在（0，1）上均为单调函数，但在（﹣1，1）不是单调函数，故④不正
确．
15. 若实数x ，y 满足
，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为 ．
参考答案：
﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x ﹣y 对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x ﹣y 取得最小值．
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，1），B （7，1），C （3，5） 设z=F （x ，y ）=x ﹣y ，将直线l ：z=x ﹣y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （3，5）=﹣2 故答案为：﹣2
16. 一渔民从池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带有标记的鱼完全混合于鱼群中，十天
后在从池塘里捞出50条，发现其中带有标记的鱼有2条，据此可以估计改池塘里约有_________条鱼；
参考答案：
750
略
17. 已知曲线平行，则。

参考答案： 2
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.
年中秋、国庆长假期间，由于国家实行座及以下小型车辆高速公路免费政策，导
致在长假期间高速公路出现拥堵现象。

长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午点到中午
点，车辆通过该收费站的用时（分钟）与车辆到达该收费站的时刻之间的函
数关系式可近似地用以下函数给出：
y=
求从上午点到中午
点，通过该收费站用时最多的时刻。

参考答案：
解：当时，
得：
故：在
单调递增，在
单调递减，
因此，
；
当
时，。

当且仅当
即：。

因此
在
单调递减，
所以，。

当时，
，对称轴为，
故。

综上所述：。

故：通过收费站用时最多的时刻为上午点。

略
19. （本小题满分10分）选修4-—4：坐标系与参数方程 已知坐标系中的极点
与直角坐标系
中的坐标原点
重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐
标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出曲线
的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；
（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即
与只有一个交点）时，求．
参考答案：
解：（Ⅰ）由
．
即曲线的直角坐标方程为，它是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆．
……5分
（Ⅱ）将代入得①
依题意①式的判别式
而或．……10分
20. （本小题满分12分）
已知函数. ks5u
（I）讨论函数的单调性；ks5u
（II）设，证明：对任意，.
参考答案：
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，……2分
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少…………6分
(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. ……………………9分
令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，ks5u
即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，
.………12分
21. 已知函数，其中a，b∈R
(1)当a＝3，b＝－1时，求函数f(x)的最小值；
(2)当a＞0，且a为常数时，若函数h(x)＝x[f(x)＋lnx]对任意的x1＞x2≥4，总有
成立，试用a表示出b的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）当时，，时，解析：(1)当a＝3，b＝－1时，
∴
∵x＞0，∴0＜x＜时f '(x)＜0，x＞时，f '(x)＞0
即在上单调递减，在上单调递增
∴在处取得最小值
即
(2)由题意，对任意的x1＞x2≥4，总有成立
令
则函数p(x)在上单调递增
∴在上恒成立
∴在上恒成立
构造函数
则
∴F(x)在上单调递减，在上单调递增
(i)当，即时，F(x)在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，从而
(ii)当，即时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增
，从而
综上，当时，，时，
略
22. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,,，D是棱AA1的中点.
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 参考答案：
证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得=，
又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，∴（V-V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．。