江苏省扬州中学高三最后一模

某某省某某中学高三模拟考试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1.复数2+i i 在复平面上对应的点在第象限．
2.已知集合{}{}12,1A x x B x x =-=<≤≤,则(C )A B R =．
3.已知直线1l ：210ax y a -++=和2l ：2(1)20x a y --+=
()a ∈R ，则12l l ⊥的充要条件是a =．
4.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是．
5.若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的X 围．
6.已知圆锥的母线长为cm 5，侧面积为215cm π，则此圆锥的体积为___________2
cm ．
7.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数
列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前20项和为． ()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则(9)f -＝．
9.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为． 10.已知O 为ABC △的外心，若345OA OB OC +-=0，则C ∠等于．
11.已知A ，B ，P 是双曲线22
221x y a b -=上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，
PB 的斜率乘积1
2
PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为．
12.已知,,a b c 成等差数列，点(1,0)M -在直线0ax by c ++=上的射影点为N ，点(1,1)P ，则PN 的最大值为_____________ ． 13.对于实数x ，将满足“01y ≤
<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号
{}x 表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①{}1
a a =；②11(0)0(0)
n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎨⎬
⎪=⎨⎩⎭⎪=⎩
．当
（第4题）
1
3
a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为．
14.已知函数2
13
()(0)24
f x ax x a =-->，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点12,x x ，使得121
()()4
f x f x -≥
成立，则a 的最小值为_____________． 二、解答题：（15、16为14分，17、18为15分19、20为16分） 15.己知在锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222
tan .ab
C a b c
=+- （1）求角C 大小；
（2）当1c =时，求22a b +的取值X 围．
16.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.
(1)求证:∥PD
面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .
17．在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对
称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料
弯折而成,BC 边的长为2t 分米(3
12t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种
曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为9
8
,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；
C A
B
D
P
E
第16题
第17题
(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
18．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四
边形B AF F 21是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；
（2）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点
P ．证明：OM OP ⋅为定值；
（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
19.已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++,且()10f '-=
(1) 试用含a 的代数式表示b ，并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,若线段MP 与曲线f(x)有异于M ，P 的公共点，试确定m 的取值X 围。

20.已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ，满足a b c ≤<
（1）在,a b 之间插入2011个数，使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，且它们的和为2013，求c 的最小值；
（2）已知,,a b c 均为正整数，且,,a b c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321 ，且n n n S S S S T )1(321-++-+-= ，求满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值；
（3）已知,,a b c 成等比数列，若数列{}n X
()n n
n c a n N a c *
⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且n X 是正整数.
附加题部分
21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲） 如图，
O 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长
线交O 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P . 求证：2
PD PA PC =⋅.
B ．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵1101,20201⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.
A
B
C
P
O
·
E
D
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆C 的方程为)4
π
ρθ=-
，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半
轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），求直线l 被C 截得的
弦AB 的长度.
D.（选修4—5：不等式选讲）
已知x y z 、、111()x y z ++≤.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.由数字1，2，3，4组成五位数12345a a a a a ，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数()15j j ≤≤，至少存在另一个正整数(15k k ≤≤，且)k j ≠，使得j k a a =”的概率；
（2）记ξ为组成该数的相同数字的个数的最大值，求ξ的概率分布列和数学期望． 23.记)2
1()21)(21(2n x
x x +⋅⋅⋅++的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*N n ∈ (1)求n a
（2）是否存在常数p,q(p<q),使)2
1)(21(31n n n q
p b ++=，对*N n ∈，2≥n 恒成立？证明你的结论.
5月20日高三数学试卷答案
一、填空题
1. 四
2.{|12}x x ≤≤
3.13
4.4
5.(1,3)-
6.π12
7.55
8.2-9.
2 10.
3π
4 11.62
12.52+ 13.21-或512
- 14.1
4
二、解答题
15.（1）由已知及余弦定理，得
sin 1
,sin .cos 2cos 2
C ab C C ab C =∴=……………4分 因为C 为锐角，所以30.C =︒…………………………………6分
16.（1）证明:设AC
BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD
EO ………
4分
而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD
面AEC …………………………………………………7分
(2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以
AC BD ⊥…………10分
而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO
BD O =,所以AC ⊥面
PBD …………………………13分
又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面
PBD ………………………………………………………14分
17.解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为
(,cos 1)t t -…2分
所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则
13
()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤……………4分
对于曲线2C ,因为抛物线的方程为2
94x y =-,即249
y x =-,所以点D 的坐标为
24
(,)9
t t -……6分
所以点O 到AD 的距离为2
49
t ,而3AB DC t ==-,所以2243
()3(1)92
h t t t t =-+≤≤…………8分
(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3
[1,]2
上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最
大值为3cos1-……………………………………………10分 又224939()()9816h t t =
-+,而312t ≤≤,所以当32
t =时,2()h t 取得最大值为5
2
…………………12分 因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=, 故选用曲线2C ,当3
2
t =时,点E 到
BC 边的距离最大,最大值为5
2
分米……………………………15分
18.解：（1）2
22,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12
422=+y x ．…4分 （2）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→
→
．
直线CM ：
42y y y x -=
-，即00214y x y y +=，……………………………5分 代入椭圆422
2
=+y x 得042
121)81(2
02022
0=-+++y x y x y ．…………………………6分
8
)
8(2,8)8(4)2(2
02
0120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y ． )88,8)8(2(200
202
0++--=∴→
y y y y OP ，………………………………………………8分
48
32
4888)8(4202020202020=++=+++--=⋅∴→
→
y y y y y y OM OP （定值）
．………………………10分 （3）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥．
),2(0y m MQ --=→，)8
8,84(2002020++-=→y y
y y DP ，…………………………13分
则由0=⋅→
→
DP MQ 得 08
8)2(842020
2020=+--+-y y m y y ，从而得0=m ．
∴存在)0,0(Q 满足条件．…………………………………………………………15分
19.解：(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++，由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.
从而321
()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故
令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时,121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数
()f x 的单调增区间为R
③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --
综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为
(12,1)a --；
当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --. （2）由1a =-得3
21()33
f x x x x =
--，2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，故
M(51,3
-).N(3,9-)。

直线MP 的方程为22454.33m m m m y x ---=+
由223245433133m m m m
y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
得32223(44)40x x m m x m m ---+-+=
线段MP 与曲线()f x 有异于M ，P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.
因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.
又(1)()0g g m -==.因此,()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根. 等价于222
22
3612440
3(1)6(44)036(44)0
1
m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪
⎨---+>⎪⎪>⎩
＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<⎧⎪><-<<⎨⎪>⎩或解得
又因为13m -<≤,所以m 的取值X 围为(]2,3 20.解：（1）{}n a 是等差数列，∴
20132
)
(2013=+⋅b a ，即2=+b a .………2分
所以22
2
2
≥=+= b a c ，c 的最小值为2；……………………………4分
（2）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=……5分 设三角形的三边长为3,4,5d d d ，面积21
346()2
d S d d d d Z =
⨯⨯=∈，26n S n =，]
)2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=
n n n 612)24321(62+=++++++= .………………………………7分
由1226+⋅>n n T 得n n n 22
1
2
>+
，当5≥n 时， n n n n n n n n n 2
1
)(222)1(1222+>-++≥+-+
+= ，经检验当4,3,2=n 时，n n n 2212>+，当1=n 时，n n n 22
1
2<+.………9分
综上所述，满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4.……………10分 （3）证明：因为,,a b c 成等比数列，ac b =2
. 由于,,a b c 为直角三角形的三边长，知2
2c ac a =+，
2
5
1+=
a c ，………11分
()n
n
n c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得n
n
n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515， 于是1
1
125125125125155+++⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n
n
n n X X
22
2
5251251+++=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n X .…………12分
12+n n n X X X ++∴=
，则有
)2
2
2
+
∴
=
.
故数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分
因为
111=1X ⎫⎪-⎬⎪⎭
，222=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭
*∈=+=⇒N X X X 2213，……………………………………………………15分
由21++=+n n n X X X ，同理可得*
+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,，
故对于任意的n N *
∈都有n X 是正整数.………………………………………16分
数学附加题部分
21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900
，所以∠OEB+∠BEP=900
，因为
OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900
……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2
=PA·PC，
故
PD 2
=PA·PC………………………………………………………………………………………10分
B.易得11101
122020
102AB ⎡
⎤⎡
⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦
，∴
122x x y y y ⎧
''
=+⎪⎨
⎪'
=⎩，即14
2
x x y y y ⎧'
=-⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩……………8分 代入
20x y ''+-=中得12042
y
x y -
+-=,∴直线
l '
的方程为
480x y +-=…………………10分
C. 解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+
由2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得2
2
440x y x y +--=……………5分 其圆心C 坐标为(2,2)
，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=, ∴圆心C 到直线l
的距离d =
=
∴弦长AB ==…………10分 D. 证明:由柯西不等式得22
2
2
222111111(111)(
)()x y z x y z
++++≥++…………………5分
则111x y z ++,
即111()3x y z ++≤……10分 22．解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数12345a a a a a 共有54个数，满足条件的数分为
两类：①只有一个数组成共有4个；②由两个数字组成，共有2
2452120C C ⋅⋅=个，
∴所求的概率为512431
4256
p ==. ……………4分
（2）ξ的可能取值为2,3,4,5，则1332124543545150
(2)4256
C A C C C C P ξ⋅+⋅⋅⋅===，
312545390
(3)4256C C P ξ⋅⋅===，
411
543515
(4)4256C C C P ξ⋅⋅===
，
541
(5)4256
P ξ===
. ………6分 ∴ξ的分布为：
635
2(2)3(3)4(4)5(5)256
E P P P P ξξξξξ=⋅=+⋅=+⋅=+⋅==. ……9分 答：ξ的数学期望为
635
256
．…………10分 ξ
2 3 4 5
P
150
256 90256 15
256 1256。