2019年北京市朝阳区二模试题数学【理科】试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数
2018．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =I
（A ）32x x ⎧⎫≥
⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭
（C ）{}
12x x << （D ）322x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是
（A ）33log log a b < （B ）1
1()()4
4
a
b
> （C ）
11
a b
< （D ）22a b < （3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整
数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6
（4）已知函数()π
()sin (0,0,)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><的
部分图象如图所示，则ϕ=
（A ）π6
- （B ）6π
（C ）π
3
- （D ）π3
（5）已知命题p ：复数1i
i
z +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列
（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧
（6）若双曲线22
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线与圆22
(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值
范围是
π
3π122
-2
O y x
开始 i =0 结束
i =i +1
a >13
输出i 是
否
a =2a +3 输入a
（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C
） （D
）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．
若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元
（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向
滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）
83π （B ）163
π
（C ）4π （D ）5π
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5
(12)x -的展开式中3
x 项的系数为___．（用数字表示）
（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M
作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．
（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．
（13）已知数列
{}n a 的前n 项和
为n S ，且满足
24()
n n S a n *=-∈N ，
则
n a = ；
数列2{log }n a 的前n 项和为 ． ()f x M ≤，则称
（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有
函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数
A （第11题图）
2
2俯视图
侧视图
正视图
（第12题图）
B
A
①1()1f x x =
-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x
=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3
A 2π
=
，3b =，△ABC
． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．
（16）（本小题满分13分）
某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，
[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计
从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率；
（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．
（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，
BD 中点，2PA PD AD ===．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使
GF ⊥平面EDF 若存在，指出点G 的
位置；若不存在，说明理由．
（18）（本小题满分13分）
已知函数21
()e
1x f x ax +=-+，a ∈R ．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
服务时间/小时
O F
A
B
C
D
P E
（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
成
立若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分13分）
已知1x ，2x 是函数2
()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设
120
()n
n r r
n r T x x n -*==∈∑N ．
（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；
（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *
∈∈N Z ．
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数
2018．5
三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=
得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．
由2222cos a b c bc A =+-得，2
2
2
35235cos
493
a 2π
=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分
（Ⅱ）由sin sin a b
A B
=3sin B =，
所以sin 14
B =
． 所以2
71
cos 212sin 98
B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，
参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的
概率估计为6020802.2002005
P +=== ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2
.5
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．
所以00332327(0)()()55125
P C ξ==⋅=
； 11
232354(1)()()55125
P C ξ==⋅=
； 22132336
(2)()()55125P C ξ==⋅=
； 33
03238(3)()()55125
P C ξ==⋅=
． 随机变量ξ的分布列为
因为 ξ~2(3)5B ，，所以355
E ξ=⨯
=． ……………13分
17．（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，
所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．
在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．
又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，
所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．
因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD I 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ．
因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，
所以OF AD ⊥．
如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直
角坐标系．
因为2PA PD AD ===，
所以OP =则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -
，
P ，1(,0,)22
E ，(0,1,0)
F ．
于是(0,2,0)AB =u u u r
，3(2DE =u u u r ，(1,1,0)DF =u u u r ． 因为OP ⊥面ABCD
，所以OP =u u u r
是平面FAD 的一个法向量．
设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．
因为0,0,
DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n
所以00000,30,2
x y x z +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =
则=(1,1,-n ．
所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅u u u r
u u u r u u u r
n n n
． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A
的余弦值为5
．…10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，
E P D
C
B
A
F
则111=(,1,)FG x y z -u u u r
． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．
因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λu u u r
n ．
于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．
又因为点G 在棱PC 上，所以GC u u u r 与PC uuu r
共线．
因为(1,2,PC =-u u u r ，111(+1,2,)CG x y z =-u u u r
，
所以
1112
12x y +--==．
所以
11
12λλ+---==
，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知得21
()2e
x f x a +'=-．
因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．
所以e a =． ……………3分
（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21
()2e
x f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，
令()0f x '>，得11ln 222a x >
-，所以()f x 的单调增区间是11
(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11
(,ln )222
a -∞-．
综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；
当0a >时，()f x 的单调增区间是1
1
(ln
,)2
22a -+∞， ()f x 的单调减区间是11
(,ln )222
a -∞-． ……………8分
（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ．
“当(0,1]x ∈时，21
()e
11x f x ax +=-+≥恒成立” 等价于“当(0,1]x ∈时，21
e x a x
+≤恒成立．”
设21
e ()x g x x
+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”
21
2
(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1
(0, )2上为减函数；
令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1
(,1]2上为增函数．
所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且2
1()2e 2
g =．
所以22e a ≤． 又因为a 32e <，
所以实数a 的取值范围2
2(,e ]-∞． ……………13分
（Ⅲ）另解：
（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．
所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．
（2）当02e a <≤时， 可得
11
ln 0222
a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11
(ln ,)222
a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．
（3）当32e 2e a <<时，可得11
0ln 1222a <-<．
由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11
(ln ,1]222
a -为增函数，
所以函数()f x 在11
ln 222a x =-处取最小值，
且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222
a a a a a a a
f a -=-++=-+．
当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122
a a
a -+≥，
解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．
综上所述，实数a 的取值范围2
2(,e ]-∞．
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .
依题意1
2
c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．
解得1c =，2a =．
所以222
3b a c =-=．
所以椭圆C 的标准方程是22
143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
成立.理由如下：
由22,1,4
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．
222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则
122
834km
x x k +=-
+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
成立， 即2222OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，等价于0OA OB ⋅=u u u r u u u r
．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=， 221212(1)()0k x x km x x m ++++=，
22
222
4128(1)03434m km
k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，22
71212m k =+．
将2
27112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12
m m +->，
解得，2
34
m >
． 又由2
2
7121212m k =+≥，2
127
m ≥
， 从而2
127m ≥
，m ≥
m ≤
所以实数m
的取值范围是(,)-∞+∞U ． ……………14分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．
因为120n
n r r
n r T x
x
-==
∑，所以1
11
12120
r r r T x x x x m -===+=-∑．
2222
22212112212120
()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分
（Ⅱ）由12
k
k r r
k r T x
x -==
∑，得
5
4
5455
512
11221420
r r r r r r T x
x x x x x x T x --====+=+∑∑．
即55142T x T x =+，同理，4
4132T x T x =+． 所以5
241232x T x x T x =+．
所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．
（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由12
k
k r r k r T x
x -==
∑，得1
11
112
11220
k k
k r r
k r r k k r r T x
x x x x x ++--++====+∑∑．
即1
112k k k T x T x ++=+．
所以112k k k T x T x -=+，1
21212k k k x T x x T x +-=+．
所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．
由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立． 由（1）（2）可知，对于一切n *
∈N ，1
20
n
n r
r r x
x -=∑的值都是整数． ………13分。