《三元一次方程组的解法》示范教学设计【初中数学人教版七年级下册】

第八章 二元一次方程组
《三元一次方程组的解法》教学设计
一、教学目标
1．能通过自主预习了解三元一次方程组的定义.
2．能熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会解简单的三元一次方程组.
3．加深对“消元 ”思想的认识.
二、教学重点及难点
重点：用代入法或加减法解三元一次方程组.
难点：消元转化为二元一次方程组.
三、教学用具
多媒体课件.
四、相关资源
《三元一次方程组》微课等.
五、教学过程
【课堂导入】
前面我们学习了二元一次方程组及解法，有些有两个未知数的问题可以列二元一次方程组来解决，其实，在我们生活中有很多的问题是有更多的未知数，下面我们来一起看下.
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元和5元的纸币各多少张？
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x 张、y 张、z 张，
根据题意，得方程组⎪⎩
⎪⎨⎧y x z y x z y x 4225212＝＝＋＋＝＋＋。

这样的方程组我们叫它什么呢，该怎样解呢？这节课我们来一起学习下.
设计意图：通过创设情境，希望学生能找出等量关系，设出未知数建立方程，此环节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习，也通过类比引出本节课的要解决的问题——解三元一次方程组．引入新课.
【新知讲解】
1．三元一次方程组.
观察方程组⎪⎩
⎪⎨⎧y x z y x z y x 4225212＝＝＋＋＝＋＋的特点，归纳三元一次方程组的定义.
特点：（1）方程组中含有三个未知数；
（2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1；
（3）方程组中一共有三个方程.
由此可得：
三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
设计意图：通过观察方程组，引出三元一次方程组的概念．
2．三元一次方程组的解.
解方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧③＝②＝＋＋①＝＋＋y x z y x z y x 4225212
（1）用代入消元法解：
将③代入①、②，得⎩
⎨⎧22524124＝＋＋＝＋＋z y y z y y . 即⎩
⎨⎧2256125＝＋＝＋z y z y 得出：⎩
⎨⎧22＝＝z y 代入①得出x ＝8.
由此可得出方程组的解为：⎪⎩
⎪⎨⎧228＝＝＝z y x
（2）如何用加减消元法解这个方程组？
⎪⎩
⎪⎨⎧③＝②＝＋＋①＝＋＋y x z y x z y x 4225212
解：①×5-②，得4x ＋3y ＝38.④
③与④组成方程组
⎩
⎨⎧38344＝＋＝y x y x
解这个方程组，得
⎩⎨⎧8
2＝＝x y 代入①式得z ＝2，
由此可得出方程组的解为：⎪⎩
⎪⎨⎧228＝＝＝z y x
探究：
三元一次方程组.
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
设计意图：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找出相应的消元方法．
【典型例题】
例1 解方程组：
34145217223x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩
解析：观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解.
解：34145217223x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩
①②③
由①＋③，②＋2×③消去z 得56175923
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得12
x y =⎧⎨=⎩ 代入①得z ＝3.
即原方程组的解为123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
.
设计意图：进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力．
例2 解下列三元一次方程组：2325213z y x x y z x y z =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
＋①－②＋③
解析：观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z 可得到关于x 、y 的二元一次方程组.
解：将①代入②、③，消去z ，得452313
x y x y =⎧⎨+=⎩－，
解得23x y =⎧⎨=⎩
. 把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5.
所以原方程组的解为⎪⎩
⎪⎨⎧532＝＝＝z y x 。

设计意图：本题使学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想．
例3 若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值.
解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0. 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组⎪⎩
⎪⎨⎧020201＝－＝＋－＝－－b c c a b b a ，
解得⎪⎩
⎪⎨⎧2-4-3-＝＝＝c b a
所以a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2。

【随堂练习】
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A ． 2102x y y z xz ⎧=⎪+=⎨⎪=⎩－
B ．111216x
z y
x z
⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩＋1＋
C ．⎪⎩⎪⎨⎧321＝－＝－＝＋＋＋d b c a d c b a
D ．⎪⎩
⎪⎨⎧01218＝＋＝
＋＝＋m t t n n m
答案：D .
2．解方程组：231103-2x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩
①②－③
解：①－②，得x ＋2y ＝11.④
①＋③，得5x ＋2y ＝9.⑤
④与⑤组成方程组11529
x y x y =⎧⎨+=⎩＋2， 解得1-223
4
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
把x ＝－
21，y ＝423代入②，得z ＝－4
21. 所以原方程组的解是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧421
-42321-＝＝＝z y x 。

3．已知有理数x 、y 、z 满足条件|x －z －2|+|3x －6y －7|＋（3y ＋3z －4）2＝0，求xyz 的值.
解：依题意有2036703340x z x y y z --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩
， 解得3131
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 所以xyz ＝3×
13
×1＝1.
4．某区中学足球赛共赛8轮，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？
解：设猛虎足球队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，依题意得
82317x y z y z
x y ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
解得521x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
即猛虎足球队胜了5场.
答：该队胜了5场.
设计意图：通过练习，巩固加深学生会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想．
【课堂小结】
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
设计意图：通过小结，帮助学生理清本节课的知识，加强理解和记忆.
【板书设计】
三元一次方程组的解法。