高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案(含解析)

2．2.3向量数乘运算及其几何意义
向量的数乘运算
[提出问题]
问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？
提示:按三角形法则，｜a＋a|＝2|a｜。

问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？
提示：可以．
问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？
提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．
［导入新知］
1．向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)｜λa|＝|λ｜|a｜;
(2)λa(a≠0)的方向
错误!
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0错误!0。

2．向量数乘的运算律
设λ,μ为实数，则
（1）λ(μ a)＝(λμ)a；
（2）(λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b)＝λa＋λb.
特别地,（－λ)a＝－（λa)＝λ(－a），
λ(a－b）＝λa－λb。

[化解疑难］
从两个角度看数乘向量
(1）代数角度：
λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量;另外,λa＝0的条件是λ＝0或a＝0。

（2）几何角度：
对于向量的长度而言,
①当|λ|〉1时，有|λa|>｜a｜,这意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ>1)或反
方向(λ〈－1）上伸长到｜a|的|λ|倍；
②当0〈|λ｜〈1时，有|λa|<｜a｜，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1〈λ<0）上缩短到|a｜的|λ|倍.
共线向量定理
[提出问题］
问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况?
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．
问题2:根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0）的方向有何关系？
提示:相同或相反．
问题3：向量a与λa（λ为常数）共线吗？
提示：共线．
［导入新知］
1．共线向量定理
向量a（a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使b＝λa。

2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ,μ1，μ2,恒有λ(μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.
[化解疑难]
共线向量定理中规定a≠0的原因
(1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）若b≠0，则不存在实数λ,使b＝λa;
(3）若b＝0,则对任意实数λ，都有b＝λa。

向量的线性运算
［例1]
（1)3(6a＋b)－9错误!；
（2）错误!错误!－2错误!；
（3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c）－7a.
[解］（1）原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a。

（2）原式＝错误!错误!－a－错误!b＝a＋错误!b－a－错误!b＝0。

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
［类题通法］
向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式"指的是向量．
［活学活用］
化简下列各式:
(1）2(3a－2b)＋3（a＋5b）－5（4b－a)；
(2）错误!错误!.
答案：(1)14a－9b（2）－2a＋4b
在几何图形中用已知向量表示未知向量［例2] 如图所示,D，E分别是△ABC的边AB,AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC＝a，BD＝b，试用a,b分别表示DE,CE，MN.
［解］由三角形中位线定理，知DE綊错误!BC，
故DE＝错误!BC，即DE＝错误!a,
CE＝CB＋BD＋DE＝－a＋b＋错误!a＝－错误!a＋b，
MN＝MD＋DB＋BN＝错误!ED＋DB＋错误!BC
＝－错误!a－b＋错误!a＝错误!a－b。

［类题通法]
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
［活学活用］
1.如图所示，下列结论正确的是( ）
①错误!＝错误!a＋错误!b；②错误!＝错误!a－b；③错误!＝错误!a
－错误!b；④错误!＝错误!a＋b。

A．①②B．③④
C．①③D．②④
答案：C
2．如图所示,四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形．又BM＝错误! BC,CN＝错误!CD，试用a，b表示OM,ON,MN.
答案:OM＝错误!a＋错误!b；ON＝错误!(a＋b)；MN＝错误!a－错误!b
共线向量定理的应用
［例3］(1）已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB＝2e1－8e2,CB＝e1＋3e2，CD ＝2e1－e2，求证:A，B,D三点共线．
（2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝x OA＋y OB，求x＋y 的值．
[解] （1)证明:∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2,
∴BD＝CD－CB＝e1－4e2.
又∵AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2）,
∴AB＝2BD，∴AB∥BD.
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
(2）∵A,B，P三点共线,∴向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使AP＝λAB，即OP－OA＝λ（OB－OA)，∴OP＝（1－λ)OA＋λOB,故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
［类题通法］
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
（1）若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
（2）若b＝λa（a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC，则AB，AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
［活学活用]
1．已知e1，e2是两个不共线的向量,a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2。

若a与b是共线向量，则实数k的值为________．
答案：－2
2．如图所示,已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长
BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴AB＝AM＋AC，∴AM＝AB－AC＝CB。

同理可证明AN＝AC－AB＝BC。

∴AM＝－AN。

∴AM，AN共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．
，，4.向量线性运算的应用
［典例] (12分)已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B 的三等分点．
（1)用a，b表示向量MC,NC；
(2）求证：M，N，C三点共线．
［解题流程］
[规范解答]
（1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝a.（1分）
∵M为AB的中点,∴MB＝错误!AB＝
[名师批注］
平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到。

错误!b，（2分)
∴MC＝MB＋BC＝错误!b＋a.(4分）
∵N为BD上靠近B的三等分点，∴NB＝错误!DB，(6分）
∴NC＝NB＋BC＝1
3
DB＋BC＝1
3
（AB－AD）＋BC
＝1
3
（b－a)＋a＝错误!a＋错误!b。

(8分）
(2)证明:由（1）知NC＝错误!MC，（10分)
又NC与MC有公共点C，
∴M，N，C三点共线．(12分)
先将MC用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点,此点也极易出错。

将向量NB转化为错误!错误!是解决此题的难点,很多同学因不会转化而无法解题.
在证出NC∥MC后，只有再说明NC与MC有公共点C，才能说明M，N，C三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．
［活学活用]
如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b。

（1）用a，b表示向量OC，DC;
(2)若OE＝λOA，求λ的值．
答案：（1)OC＝2a－b；DC＝2a－5
3
b（2)错误!
[随堂即时演练]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相同
B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同
D ．|λa |＝λ|a | 答案：C
2。

1
3错误!等于（ ） A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b
答案：B
3．下列向量中a ，b 共线的有________（填序号)． ①a ＝2e ,b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－错误!e 2，b ＝e 1－错误!e 2; ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2。

答案：①②③
4．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m ）b 共线,则实数m 的值为________．
答案:－1或3
5。

如图所示,已知▱ABCD 的边BC ,CD 的中点分别为K ，L ,且AK ＝e 1，
AL ＝e 2，试用e 1,e 2表示BC ,CD 。

答案：BC ＝错误!e 2－错误!e 1；CD ＝－错误!e 1＋错误!e 2
［课时达标检测]
一、选择题
1．若a ＝b ＋c ,化简3（a ＋2b ）－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝（ ) A ．－a B ．－b C ．－c D ．以上都不对
答案：A
2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中,一定能使a ，b 共线的是（ ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；
②存在相异实数λ,μ，使λa －μb ＝0； ③xa ＋yb ＝0（其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0); ④已知梯形ABCD ，其中AB ＝a ,CD ＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案：A
3.如图,向量OA ，OB ，OC 的终点在同一直线上，且AC ＝－3CB ，
设OA ＝p ，OB ＝q ，OC ＝r ，则下列等式中成立的是( )
A ．r ＝－错误!p ＋错误!q
B ．r ＝－p ＋2q
C ．r ＝3
2p －错误!q
D ．r ＝－q ＋2p
答案：A
4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝错误!CA ＋错误!CB ，又AP ＝t AB ，则
t 的值为( ）
A.错误!
B.错误!
C.1
2 D 。

错误! 答案：A
5．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ,AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC （ ）
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直 答案：A 二、填空题
6.如图所示，在▱ABCD 中,AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ,M 为BC 的中点，则MN ＝________（用a ，b 表示）．
答案:错误!(b －a )
7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝错误!CA ＋λCB ，则
λ等于________．
答案：2
3
8．已知两个不共线向量e 1，e 2，且AB ＝e 1＋λe 2,BC ＝3e 1＋4e 2，CD ＝2e 1－7e 2,若A ，
B ，D 三点共线，则λ的值为________．
答案：－错误! 三、解答题
9．如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ,AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ,试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，
DN ＋CN .
解：BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋c。

∵MN＝MD＋DA＋AN，MN＝MC＋CB＋BN，
∴2MN＝MD＋MC＋DA＋CB＋AN＋BN
＝－AD－BC＝－b－(－a＋b＋c)
＝a－2b－c。

∴MN＝错误!a－b－错误!c.
DN＋CN＝DM＋MN＋CM＋MN＝2MN＝a－2b－c。

10．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－3OB,求△AOB与△AOC的面积之比．
解:如图，由平行四边形法则，知OA＋OC＝OD，其中E为AC的中点．
所以OA＋OC＝2OE＝－3OB。

所以OB＝－错误!OE,|OB｜＝错误!｜OE｜。

设点A到BD的距离为h,
则S△AOB＝错误!｜OB｜·h，S△AOC＝2S△AOE＝|OE｜·h，所以错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!.
11．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ）OA（λ∈R,λ≠0且λ≠1）．
（1)求证：A，B，M三点共线;
（2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解：(1）证明:∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，
∴OM＝λOB＋OA－λOA，
OM－OA＝λOB－λOA，
∴AM＝λAB (λ∈R，λ≠0且λ≠1）．
又∵AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．
（2)（1，＋∞）
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄,也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。