【备战2012】高考数学 历届真题专题09 直线和圆 理

历届真题专题
【2011年高考试题】 一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2
2
20x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．(3-
，3
) B ．(3-，0)∪(0，3
) c ．[33-
，33] D ．(-∞，33-)∪(33
，+∞)
解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为
()()22
1310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：210AC =31
210
EF k -=
=-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD 1
13
2
55
-+-=由此得，5
BD =
所以四边形ABCD 的面积为11
2521010222
AC BD =⨯⨯= 二、填空题:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为
整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线
2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线2
2y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为
解析：61-。

为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线3x =相切，
设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为()2
22
3x r y r +-+=，将其与2
2y x =联立得：
()222960x r x r +-+-=，令()()2
224960r r ∆=---=⎡⎤⎣⎦，并由0r >，得：
61r =-
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）
已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=
6
2
,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22
12y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6
2
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
222222
121212222(3)(3)4() 2.333
y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述，2222
12123;2,x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时，
由（I ）知116
|||||2||2,OM x PQ y ==
== 因此6
||||2 6.2
OM PQ ⋅=
= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
123,22x x k
m
+= 222
1212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m
++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以2
2
22111
||||(3)2(2)2OM PQ m m
⋅=
⨯-⨯⨯+ 2222
211
(3)(2)11
3225(
).24
m m
m m =-
+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当2211
32,2m m m
-=+=±即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
解法二：
由（I ）得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
25
,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从中选取只能从中选取
因此D ，E ，G 只能在6
(,1)2
±
±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与6
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.
（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(5)y x =--，将其代入L 的方程得
215325840.x x -+=
解得121265145652514525
,,(,),(,).515551515
x x l L T T =
=-故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==
22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=
故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。

3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2
=4y 是否相切？说明
理由。

244416(1)m m ∆=-⨯=-
（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，
线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中
12,l AB l CD ==，
,,,A B C D 是下列三组点中的一组。

对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①
2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则
22
259
||(1)(4)2()(35)
22
PQ x x x x =-+-=-+≤≤，当
3
x =时，
min (,)||5d P l PQ ==。

③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

{(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤
2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}x y x y x x y x y x =-<≤--=>
D
B=C A
1
2
2.5
y
x
-2
x y
-1
13
A
B
C
D
O O
D C
B A
3
1
-1
y
x
【2010年高考试题】
（2010江西理数）8.直线3y kx =+与圆()()2
2
324x y -+-=相交于M,N 两点，若
23MN ≥，则k 的取值范围是
A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣
⎦，， C. 3333⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦， D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 33cos ,
13sin x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为
12秒旋转一周。

已知时间0t =时，点A 的坐标是13
()2，则当012t ≤≤时，动点A 的
纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12 D 、[]0,1和[]7,12
9.D
【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3
π
α=，每秒钟旋转
6
π，在[]0,1t ∈上[,]32ππ
α∈，在[]7,12上37[,]23
ππ
α∈，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的。

【方法技巧】由动点(),A x y 在圆2
2
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与
三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t 在[0,12]变化时，点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.
（2010全国卷2理数）（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
（2010四川理数）（14）直线250x y -+=与圆22
8x y +=相交于A 、B 两点，则
AB ∣∣= .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2 圆心到直线250x y -+=的距离为d 2
2
51(2)
=+-
故2|AB|2
22(
)+5)=(22
得|AB |＝2 3 答案：2 3
（2010广东理数）12.已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0
相切，则圆O 的方程是
12．22
(5)5x y ++=．设圆心为(,0)(0)a a <，则2
2
|20|512
a r +⨯=
=+，解得5a =-．
（2010山东理数）
【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
2
2(
)+2=(a-1)2
，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。

【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。

（2010湖南理数）
2. （2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42
2
=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||
113
c <，c 的取值范围是（-13，13）。

【2009年高考试题】
4.（2009·辽宁文、理）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为
（A ）2
2
(1)(1)2x y ++-= (B) 2
2
(1)(1)2x y -++= (C) 2
2
(1)(1)2x y -+-= (D) 2
2
(1)(1)2x y +++=
解析：圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 答案：B
16．（2009·18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
221:(3)(1)4
C x y ++-=和
圆222:(4)(5)4
C x y -+-=.
化简得：2
7
2470,0,,24
k k k or k +===- 求直线l 的方程为：0y
=或7
(4)24
y x =-
-，即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：
1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11
0,0kx y n km x y n m k k
-+-=--++=
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

故有：2
2
41|5|
111n m k k k k --++=++，
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨
⎨
--=⎩⎩m-n+8=0
或m+n-5=0
解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。

【2008年高考试题】
15．（2008·江苏18）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 解：（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）
令f (x )=0，得x 2
+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2
+ y 2
+D x +E y +F=0
令y =0，得x 2
+D x +F=0，这与x 2
+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2
+ y 2
+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02
+ 12
+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0
所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．
【2007年高考试题】无。