初三上册数学直升班培优讲义学生版第16讲四点共圆(二)(学生)

四点共圆（二）
模块一四点共圆的判定（二）
模块二四点共圆的应用
模块三四点共圆的构造
模块一：四点共圆的判定（二）
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆.
D
.............. *c
A、、/B
%. J 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H ,
若AH CH BH DH，则A、B、C、D四点共圆•
B ----- '四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P, 若PA PB PD PC，则A、B C、D四点共圆•
模块二：四点共圆的应用
模块三：四点共圆的构造
（1）如图1-1,若过相交两圆的公共弦上一点P作一个圆的弦CD，另一圆的弦EF.求证：C、D、E、F四点共圆.
（2）如图1-2, AD为△ ABC中BC边上的高线，DE AB于点E, DF AC于点F .求证：B、C、F、
图1-1
C
例题2
如图，P 是O O 外一点，PA 和PB 是O O 的切线，A 、B 为切点，PO 与AB 交于点 M ，过M 任作O O (1)如图3-1 ,四边形ABCD
是正方形，M 是BC 上一点，ME AM 交 BCD 的外角平分线于 E , 求证：AM EM . 模块二
四点共圆的应用
的弦CD .求证：C 、O 、D 、P 四点共圆. C
M O
B
P
C
M O
D B
P
(2)如图3-2,正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2, P为正方形内一点，且OPB 45 , PA: PB
图3-1
(1)如图 6-1，在四边形 ABCD 中，DAC 98 , DBC 82 , BCD 70 , BC AD ，则 ACD
(2)如图&2,在厶ABC 的边AB 、AC 上分别取点Q 、P,使得 PBC
例题4
(1)如图 4-1,在五边形 ABCDE 中， ABC ADE , AEC
ADB .求证： BAC DAE .
(2)如图4-2，锐角△ ABC ，BD 、CE 分别是边 AC 、AB 上的高线, 证：
FG//BC .
DG CE 于 G , EF BD 于 F.求
如图，已知△ ABC CH
CE .
中，AH 是高，AT
是角平分线，且TD AB , TE AC .求证：(1) AHD AHE ;
、模块三 四点共圆的构造
II
QCB - A .求证：BQ CP . 2
图6-1
A 图6-2
例题7 f\
在四边形ABCD 中，BAC 25 , BCA 20 ,BDC 50 , BDA 40，求DBA .
B
E
如图, 于卩、ABCD是圆内接四边形, AB、DC的延长线交于E, AD、BC的延长线交于 F , EP、FQ 切圆Q两点，求证: EF2.
EP2FQ2
Q
P
F
如图，P 是O O 外一点，FA 切O O 于点A , PBC D 四点共圆.
如图，圆01、02相交于点A 、B , P 是BA 延长线上一点，割线 圆O 2于
E 、
F .求证：C 、D 、F 、E 四点共圆.
PCD 交圆O 1于C 、D , 割线PEF 交
E
O 2
O
1
■模块二四点共圆的应用
(1)如图3-1, AB 2 , AC 平分DAB, DAB DCB 180 , DCB 120 ,当时，贝H AC .ABD CBF
(2)如图3-2,正方形ABCD的中心为O,面积为2009, P为正方形内的一点，且
PA:PB 4:5，则PB _____________ .
OPB 45 ,
(2013年成都中考)如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧, C 90 , BD BE ,
AD 3 , CE 5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ DP，交直线BE与BC .若AD
点Q,
如图，已知在五边形ABCDE中, 证：
BAC CAD DAE .
BAE 3 , BC CD DE，且BCD CDE 180 2 .求
如图所示，在梯形 ABCD 中，AD//BC , BC 求
CD 的长.
A
A
C D
E
BD 1 , AB AC , CD 1，且 BAC BDC 180 ,。