管理预测5.3 指数平滑法
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趋势比较稳定，这时， 应取小一点，如（0.1～0.3)
，以减少修正幅度，使模型包含较长时间序列信息。
（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统的变化，也
即预测误差是由于系统变化造成的，则 应取大一点
，如（0.6～0.8），使预测模型灵敏度高些。这样就 可以根据当前的预测误差对原预测模型进行较大幅度
Mt
M t 1
yt
yt N N
我们假定样本序列具有水平趋势，以Mt1 作为ytN 的最佳估计，
则有
Mt
M t1
yt
M t1 N
yt N
(1
1 N
)M
t 1
另 1
N
， 以S(t1)
代替 M t ，则得公式（5-12）
S(1) t
yt
(1 )S(t1-1)
yˆt T at btT T 1, 2, （5-18）
at
2St(1)
S (2) t
bt
1
(
S (1) t
St(2) )
下面，我们用增量分析方法来证明（5-19）式。
由（5-14）式知
St1
1 j yt j
j 0
（5-19）
利用误差进行调整。
很明显：
当 趋近于1时，新预测值将包括一个较大的调整；
相反，当 趋近于0时，调整就很小。
因此 的大小对预测效果的影响与在移动平均法中使用
的平均数N对预测效果的影响相同。
另外，我们来看式（5-14）：St(1) 1 j yt j
at
bt
j
1
bt
E(St2) 1 j E(St1j ) j0
j0
1
j
(at
bt
j
1
bt)ຫໍສະໝຸດ at2(1 )
bt
因为随机变量的数学期望值是随机变量的最佳估计值，所
yt 1
1
2
yt 2
1
S (1) t 3
yt 1 yt1 1 2 yt2 1 t1 y1 1 S0(1)
1
0
yt
1
yt 1
1
(5-14)
j 0
以这种平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。预测模型为
yˆt 1
S (1) t
即
yˆt1 yt 1 yˆt
（5-15）
也就是以第 t期指数平滑值作为t+1 期预测值。
从式（5-15）我们可以看到，指数平滑法解决了移动平均 法所存在的一个问题，即不再需要存储过去N期的历史数
2
yt 2
1
t 1
y1
1
t
S
(1) 0
t 1
1 j yt j 1 t S0(1) j0
(5-13)
由于0 1 ，当t 时，(1 )t 0 ，于是（5-13）式变为
St(1)
1 j yt j
个值进行试算，然后选择均方误差最小的 值作为
正式预测时的平滑系数。
3.初始值的确定
初始值 S(01) 是由预测者估计或指定的：
当时间序列的数据较多比如20个以上时，初始值对 以后的预测值影响很小，可选第一期数据为初始值
如果时间序列的数据较少如在20个以下时，初始值 对以后的预测值影响较大，这时必须认真研究如何 正确确定初始值。一般以最初几期的实际值的平均 值作为初始值。
同理 而
St2
S
1
t
(1
)
S
2
t 1
1
j
S
1
t 1
j 0
St1j yt j (1 )St1j1
1
yi t ji
i0
所以
E(St1 ) 1 j E( yt j ) j 0
测值中新数据和原预测值所占的比重。
值愈大，新数据所占比重就愈大，原预测值所占比重愈小
反之亦然。
其次，把（5-15）式改写为：
yˆt1 yˆt ( yt yˆt )
(5-16)
在这个公式中
新预测值 yˆt1 仅仅是原预测值 yˆ t 加上加权系数 与前
次预测值误差 ( yt yˆt ) 的乘积。是在原预测值的基础上
择较大的 值，以减少对早期资料的依赖程度。
在实际中，选取 的一种比较有效的方法是：
如历史数据很多，可将已知时间序列分成两段，选取
一系列 值，用前一段数据建立模型，对后一段进行
事后预测，以事后预测误差为评价标准，从中选取最
优的 值，再建立真正的预测模型。
如观察数据不是太多，可以类似移动平均法，多取几
/
2
51
计算各期预测值，列于表5-4中。
表5-4 某电器销售额及指数平滑预测值计算表 （ 单位：万元）
年份 t
2001 l 2002 2 2003 3 2004 4 2005 5 2006 6 2007 7 2008 8 2009 9 2010 10 2011 11 2012 12
实际销售额
yt
5.3.1 一次指数平滑法
1.预测模型
设：y1, y2, , yt , 为时间序列观察值，一次指数平
滑公式为
S(1) t
yt
1
S（1） t -1
（5-12）
式中：S(t1)为一次指数平滑值；为加权系数，且 0 1。
这个平滑公式是由移动平均公式改进得来的。由（5-2） 式知，移动平均数的递推公式为：
1 j (at bt j) j 0
at
1
bt
其中：
1 j 1, j0
1 j j 1
j0
E(St1j )
1 i E( yt ji )
i0
1 i[at bt ( j i)] i0
的修正，以便模型迅速跟上数据的变化。不过， 取
值过大，容易对随机波动反应过度。
（3）如果原始资料不足，初始值选取比较粗糙， 的
取值也应该大一些。这样，可以使模型加重对以后逐 步得到的近期资料的依赖，以便经过最初几个周期的 校正后，迅速逼近实际过程。
（4）假如有理由相信用以描述时间序列的预测模型仅 在某一段时间内能较好地表达这个时间序列，则应选
, (1 ), (1 )2 , 。权重按几何级数衰减，且权数
之和 1 j 1 。
由于加权系数符合指数规律，又具有平和数据的功能， 故称为指数平滑。
2.加权系数的确定
加权系数 的选择对于预测模型的影响？
首先，由（5-15）式可以看出， 的大小规定了在新预
j 0
的大小实际上控制了时间序列在预测计算中的有效位数
如当 0.3 时，前10期的观察值 yt10的加权系数 1 10 0.008
也就是前10期的观察值对预测的影响已经很小，这时预测模型中
所包含的时间序列的有效位数很短。
当 0.1 时，前10期的加权系数为0.035，说明观察值 yt10 在预
5.3 指数平滑法
移动平均法不足：
1. 存贮数据量较大。每计算一次移动平均值，就需存 储最近Ｎ个观察数据，当需经常预测时就有不便之处
2. 移动平均法对最近的Ｎ期数据等权看待，对t-N期以 前的数据则完全不考虑。但在实际情况中，最新的观 察值往往包含着最多的关于未来情况的信息。所以更 为切合实际的方法是对各期观察值依时间顺序加权。
指数平滑法消除历史统计序列中的随机波动，找出其中的主要发展 趋势。是移动平均法的改进和发展，适合用于进行简单的时间序列 分析和中、短期预测。
不需要存贮很多历史数据 考虑了各期数据的重要性 且使用了全部历史资料
根据平滑次数不同，指数平滑法分为
一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法 高次指数平滑法
测中仍起着一定作用。因此当 值较小时预测模型中所包含的时
间序列的有效位数就比较大。
综合上述分析可知：
较大表示较倚重近期数据所承载的信息，预测修正的幅度也较大，采 用的数据序列也较短；
较小表示近期数据比例较小，预测修正的幅度也较小，采用的数据序 列也较长。
若选取 0 ，则 yˆt1 yt ，即下期预测值就等于本期预测值，在
5.3.2 二次指数平滑法
虽然一次指数平滑法改善了移动平均法两个缺点，但 当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑 法进行预测，仍和一次移动平均法一样存在着明显的 滞后偏差，因此，也必须加以修正。
修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数
平滑，利用滞后偏差的规律来建立直线趋势模型。这
据，而只需最近期观察值yt 、最近期预测值yˆt 和加权系
数 ，用这三个数即可计算出一个新的预测值，在进行连
续预测时，计算量大大减小。
指数平滑法克服了移动平均法的缺点， “厚今薄古”。
在算术平均中，所有数据的权重相等，均为 1/ N ；在简单移动
平均中，最近N期数据的权重均为1/ N，其他为0； 而际在上指是y数t ,平y滑t1中, ，yt一2次, 指数平的滑加值权与平所均有。的加数权据系都数有分关别：S为t(1) 实
50 52 47 51 49 48 51 40 48 52 51 59
预测值 yˆ t ( 0.2)
51 50.8 51.04 50.23 50.39 50.11 49.69 49.95 47.96 47.97 48.77 49.22
预测值 yˆ t ( 0.5)
51 50.5 51.25 49.13 50.06 49.53 48.77 49.88 44.94 46.47 49.24 50.12
为进一步理解指数平滑的实质，把公式（5-12）依次展开，
有：
St(1) yt 1 St11
yt
1
yt 1
1
S (1) t2
yt
1
yt 1
1
2
S (1) t2
yt
1
预测值 yˆ t
( 0.8)
51 50.2 51.64 47.93 50.39 49.28 48.26 50.45 42.09 46.82 50.96 50.99
当 0.2
时： MSE
1 12
12 t 1
yt
yˆt 2
243 .32 12
20.28
当
0.5时：
预测过程中不考虑任何新信息；
1 若选取
，则 yˆt1 yˆt ，即下期预测值就等于本期观察值，完
全不相信过去的信息。
值应根据时间序列的具体性质在0～1之间进行选择。具体如何选
择一般可遵循下列原则：
（1）如果预测误差是由某些随机因素造成的，即预测 目标的时间序列虽有不规则起伏、波动，但基本发展
就是二次指数平滑法。其计算公式为：
S(t 2) St(1) (1 )S(t-21)
S(t1) yt (1 )S(t1-1)
（5-17）
式中：St(2) 为二次指数平滑值；St(1) 为一次指数平滑值。当
时间序列yt 从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移
动平均法，可用如下直线趋势模型预测：
例5-4 某电器2001-2012年销售额如表5-4所示。试用
指数平滑法预测2013年该电器销售额。
解：分别取 0.2， 0.5 和 0.8 进行计算，初
始值yˆ1
S (1) 0
51，即yˆt1 yt
1
yˆt 。按预测模
型
S(1) 0
y1
y2
MSE
1 12
12
yt
t 1
yˆt 2
252 .76 12
21.06
当 0.8 时：
MSE
1 12
12 t 1
yt
yˆt 2
281 .40 12
23.45
计算结果表明： 0.2 时MSE 较小，故选取 0.2 ，预测
2013年该电器销售额为
yˆ2013 0.2 59 0.8 49.22 51.176
，以减少修正幅度，使模型包含较长时间序列信息。
（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统的变化，也
即预测误差是由于系统变化造成的，则 应取大一点
，如（0.6～0.8），使预测模型灵敏度高些。这样就 可以根据当前的预测误差对原预测模型进行较大幅度
Mt
M t 1
yt
yt N N
我们假定样本序列具有水平趋势，以Mt1 作为ytN 的最佳估计，
则有
Mt
M t1
yt
M t1 N
yt N
(1
1 N
)M
t 1
另 1
N
， 以S(t1)
代替 M t ，则得公式（5-12）
S(1) t
yt
(1 )S(t1-1)
yˆt T at btT T 1, 2, （5-18）
at
2St(1)
S (2) t
bt
1
(
S (1) t
St(2) )
下面，我们用增量分析方法来证明（5-19）式。
由（5-14）式知
St1
1 j yt j
j 0
（5-19）
利用误差进行调整。
很明显：
当 趋近于1时，新预测值将包括一个较大的调整；
相反，当 趋近于0时，调整就很小。
因此 的大小对预测效果的影响与在移动平均法中使用
的平均数N对预测效果的影响相同。
另外，我们来看式（5-14）：St(1) 1 j yt j
at
bt
j
1
bt
E(St2) 1 j E(St1j ) j0
j0
1
j
(at
bt
j
1
bt)ຫໍສະໝຸດ at2(1 )
bt
因为随机变量的数学期望值是随机变量的最佳估计值，所
yt 1
1
2
yt 2
1
S (1) t 3
yt 1 yt1 1 2 yt2 1 t1 y1 1 S0(1)
1
0
yt
1
yt 1
1
(5-14)
j 0
以这种平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。预测模型为
yˆt 1
S (1) t
即
yˆt1 yt 1 yˆt
（5-15）
也就是以第 t期指数平滑值作为t+1 期预测值。
从式（5-15）我们可以看到，指数平滑法解决了移动平均 法所存在的一个问题，即不再需要存储过去N期的历史数
2
yt 2
1
t 1
y1
1
t
S
(1) 0
t 1
1 j yt j 1 t S0(1) j0
(5-13)
由于0 1 ，当t 时，(1 )t 0 ，于是（5-13）式变为
St(1)
1 j yt j
个值进行试算，然后选择均方误差最小的 值作为
正式预测时的平滑系数。
3.初始值的确定
初始值 S(01) 是由预测者估计或指定的：
当时间序列的数据较多比如20个以上时，初始值对 以后的预测值影响很小，可选第一期数据为初始值
如果时间序列的数据较少如在20个以下时，初始值 对以后的预测值影响较大，这时必须认真研究如何 正确确定初始值。一般以最初几期的实际值的平均 值作为初始值。
同理 而
St2
S
1
t
(1
)
S
2
t 1
1
j
S
1
t 1
j 0
St1j yt j (1 )St1j1
1
yi t ji
i0
所以
E(St1 ) 1 j E( yt j ) j 0
测值中新数据和原预测值所占的比重。
值愈大，新数据所占比重就愈大，原预测值所占比重愈小
反之亦然。
其次，把（5-15）式改写为：
yˆt1 yˆt ( yt yˆt )
(5-16)
在这个公式中
新预测值 yˆt1 仅仅是原预测值 yˆ t 加上加权系数 与前
次预测值误差 ( yt yˆt ) 的乘积。是在原预测值的基础上
择较大的 值，以减少对早期资料的依赖程度。
在实际中，选取 的一种比较有效的方法是：
如历史数据很多，可将已知时间序列分成两段，选取
一系列 值，用前一段数据建立模型，对后一段进行
事后预测，以事后预测误差为评价标准，从中选取最
优的 值，再建立真正的预测模型。
如观察数据不是太多，可以类似移动平均法，多取几
/
2
51
计算各期预测值，列于表5-4中。
表5-4 某电器销售额及指数平滑预测值计算表 （ 单位：万元）
年份 t
2001 l 2002 2 2003 3 2004 4 2005 5 2006 6 2007 7 2008 8 2009 9 2010 10 2011 11 2012 12
实际销售额
yt
5.3.1 一次指数平滑法
1.预测模型
设：y1, y2, , yt , 为时间序列观察值，一次指数平
滑公式为
S(1) t
yt
1
S（1） t -1
（5-12）
式中：S(t1)为一次指数平滑值；为加权系数，且 0 1。
这个平滑公式是由移动平均公式改进得来的。由（5-2） 式知，移动平均数的递推公式为：
1 j (at bt j) j 0
at
1
bt
其中：
1 j 1, j0
1 j j 1
j0
E(St1j )
1 i E( yt ji )
i0
1 i[at bt ( j i)] i0
的修正，以便模型迅速跟上数据的变化。不过， 取
值过大，容易对随机波动反应过度。
（3）如果原始资料不足，初始值选取比较粗糙， 的
取值也应该大一些。这样，可以使模型加重对以后逐 步得到的近期资料的依赖，以便经过最初几个周期的 校正后，迅速逼近实际过程。
（4）假如有理由相信用以描述时间序列的预测模型仅 在某一段时间内能较好地表达这个时间序列，则应选
, (1 ), (1 )2 , 。权重按几何级数衰减，且权数
之和 1 j 1 。
由于加权系数符合指数规律，又具有平和数据的功能， 故称为指数平滑。
2.加权系数的确定
加权系数 的选择对于预测模型的影响？
首先，由（5-15）式可以看出， 的大小规定了在新预
j 0
的大小实际上控制了时间序列在预测计算中的有效位数
如当 0.3 时，前10期的观察值 yt10的加权系数 1 10 0.008
也就是前10期的观察值对预测的影响已经很小，这时预测模型中
所包含的时间序列的有效位数很短。
当 0.1 时，前10期的加权系数为0.035，说明观察值 yt10 在预
5.3 指数平滑法
移动平均法不足：
1. 存贮数据量较大。每计算一次移动平均值，就需存 储最近Ｎ个观察数据，当需经常预测时就有不便之处
2. 移动平均法对最近的Ｎ期数据等权看待，对t-N期以 前的数据则完全不考虑。但在实际情况中，最新的观 察值往往包含着最多的关于未来情况的信息。所以更 为切合实际的方法是对各期观察值依时间顺序加权。
指数平滑法消除历史统计序列中的随机波动，找出其中的主要发展 趋势。是移动平均法的改进和发展，适合用于进行简单的时间序列 分析和中、短期预测。
不需要存贮很多历史数据 考虑了各期数据的重要性 且使用了全部历史资料
根据平滑次数不同，指数平滑法分为
一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法 高次指数平滑法
测中仍起着一定作用。因此当 值较小时预测模型中所包含的时
间序列的有效位数就比较大。
综合上述分析可知：
较大表示较倚重近期数据所承载的信息，预测修正的幅度也较大，采 用的数据序列也较短；
较小表示近期数据比例较小，预测修正的幅度也较小，采用的数据序 列也较长。
若选取 0 ，则 yˆt1 yt ，即下期预测值就等于本期预测值，在
5.3.2 二次指数平滑法
虽然一次指数平滑法改善了移动平均法两个缺点，但 当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑 法进行预测，仍和一次移动平均法一样存在着明显的 滞后偏差，因此，也必须加以修正。
修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数
平滑，利用滞后偏差的规律来建立直线趋势模型。这
据，而只需最近期观察值yt 、最近期预测值yˆt 和加权系
数 ，用这三个数即可计算出一个新的预测值，在进行连
续预测时，计算量大大减小。
指数平滑法克服了移动平均法的缺点， “厚今薄古”。
在算术平均中，所有数据的权重相等，均为 1/ N ；在简单移动
平均中，最近N期数据的权重均为1/ N，其他为0； 而际在上指是y数t ,平y滑t1中, ，yt一2次, 指数平的滑加值权与平所均有。的加数权据系都数有分关别：S为t(1) 实
50 52 47 51 49 48 51 40 48 52 51 59
预测值 yˆ t ( 0.2)
51 50.8 51.04 50.23 50.39 50.11 49.69 49.95 47.96 47.97 48.77 49.22
预测值 yˆ t ( 0.5)
51 50.5 51.25 49.13 50.06 49.53 48.77 49.88 44.94 46.47 49.24 50.12
为进一步理解指数平滑的实质，把公式（5-12）依次展开，
有：
St(1) yt 1 St11
yt
1
yt 1
1
S (1) t2
yt
1
yt 1
1
2
S (1) t2
yt
1
预测值 yˆ t
( 0.8)
51 50.2 51.64 47.93 50.39 49.28 48.26 50.45 42.09 46.82 50.96 50.99
当 0.2
时： MSE
1 12
12 t 1
yt
yˆt 2
243 .32 12
20.28
当
0.5时：
预测过程中不考虑任何新信息；
1 若选取
，则 yˆt1 yˆt ，即下期预测值就等于本期观察值，完
全不相信过去的信息。
值应根据时间序列的具体性质在0～1之间进行选择。具体如何选
择一般可遵循下列原则：
（1）如果预测误差是由某些随机因素造成的，即预测 目标的时间序列虽有不规则起伏、波动，但基本发展
就是二次指数平滑法。其计算公式为：
S(t 2) St(1) (1 )S(t-21)
S(t1) yt (1 )S(t1-1)
（5-17）
式中：St(2) 为二次指数平滑值；St(1) 为一次指数平滑值。当
时间序列yt 从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移
动平均法，可用如下直线趋势模型预测：
例5-4 某电器2001-2012年销售额如表5-4所示。试用
指数平滑法预测2013年该电器销售额。
解：分别取 0.2， 0.5 和 0.8 进行计算，初
始值yˆ1
S (1) 0
51，即yˆt1 yt
1
yˆt 。按预测模
型
S(1) 0
y1
y2
MSE
1 12
12
yt
t 1
yˆt 2
252 .76 12
21.06
当 0.8 时：
MSE
1 12
12 t 1
yt
yˆt 2
281 .40 12
23.45
计算结果表明： 0.2 时MSE 较小，故选取 0.2 ，预测
2013年该电器销售额为
yˆ2013 0.2 59 0.8 49.22 51.176