二次根式的加减教案 人教版数学
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》教学设计
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》是本节课的主要内容。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和乘除运算，本节课将进一步引导学生学习二次根式的加减运算。
教材通过实例引入二次根式的加减运算，让学生在实际问题中体会和理解二次根式的加减法则。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和乘除运算，具备了一定的数学基础。
但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算法则理解不深。
因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固已学的知识，并通过实例让学生深入理解二次根式的加减法则。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减法则，并能正确进行二次根式的加减运算。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法则，二次根式的加减运算。
2.难点：理解二次根式加减法则是如何得出的，如何运用二次根式加减法则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过实例引入二次根式的加减运算，激发学生的学习兴趣。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论二次根式的加减法则，培养学生相互学习、共同进步的能力。
3.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的加减法则，加深学生对知识的理解。
4.运用练习法，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示二次根式的加减运算实例。
2.准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.准备黑板，用于板书重要的运算过程和结论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行二次根式的加减运算。
例如，问学生：“已知√3 + √5 = a，求a的值。
”让学生尝试解答，从而引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）展示几个二次根式的加减运算实例，让学生观察和分析。
例如：2√5 + 3√5引导学生观察这些实例，发现二次根式加减运算的规律。
八年级下数学人教版《二次根式的加减》优质教案
16．3二次根式的加减第1课时二次根式的加减1.知识与技能掌握同类二次根式的概念;掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.2.过程与方法经历探索二次根式加减法法则的过程,理解掌握二次根式的加减法法则.3.情感、态度与价值观经历探索二次根式加减法法则的过程,类比的数学思想方法.掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.类比合并同类项的法则得出二次根式加减法法则的推导过程.（一）复习引入问题 1 满足什么条件的根式是最简二次根式?1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2.问题:现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?（二）讲授新课1.二次根式的加减运算在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得;当a=时，分别代入左右得; ......你发现了什么？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗?名师归纳：将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.解：列式如下：∴在这块木板上可以截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板．二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.简称：“一化简二判断三合并”依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．例题---学用11页例1【例1】计算：解析：第一步,将二次根式先化为最简二次根式；第二步,将被开方数相同的最简二次根式进行合并．解：总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．练习--学用22页2.二次根式的加减混合运算合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似,把被开方数相同的二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变.在进行二次根式的加减运算时,一定要注意各项系数的符号.例题-----学用12页例2解析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步,将被开方数相同的最简二次根式进行合并．解：3. 二次根式加减运算的应用利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．例题-----学用12页例3解析：根据三角形三边关系分类讨论来确定周长. 答案：名师总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.练习-----学用12页（三）课堂小结（四）板书设计1．被开方数相同的最简二次根式2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．。
人教版初中数学八年级下册《二次根式的加减》教学设计
人教版初中数学八年级下册《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《二次根式的加减》是学生在掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握二次根式的加减法则，并能灵活运用这些法则进行计算。
教材通过具体的例子引导学生探究二次根式的加减法，让学生在自主学习的过程中理解并掌握二次根式的加减法则。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于一些特殊情况，如二次根式不能化简的情况，学生可能还不够了解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对不同学生的情况进行有针对性的讲解和指导。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法法则。
2.培养学生运用二次根式的加减法进行计算的能力。
3.提高学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式的加减法法则。
2.教学难点：二次根式不能化简的情况下的加减计算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的加减法。
2.使用案例分析法，让学生在具体例子中理解并掌握二次根式的加减法。
3.利用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，以便进行课堂练习和巩固。
2.准备多媒体教学设备，以便进行课堂演示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度等，引导学生思考如何运用二次根式的加减法来解决问题。
激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。
2.呈现（10分钟）展示教材中的例子，引导学生分析二次根式的加减法法则。
通过讲解和示范，让学生了解二次根式的加减法的基本步骤，包括化简、合并同类项等。
3.操练（10分钟）让学生进行课堂练习，运用二次根式的加减法进行计算。
教师巡回指导，解答学生的问题，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分析教材中的练习题，运用二次根式的加减法进行计算。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减法》教学设计
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减法》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减法》是学生在学习了二次根式的性质和乘除法的基础上，进一步学习二次根式的加减法运算。
这一节内容不仅巩固了学生对二次根式的基本概念和性质的理解，而且为后续学习更高难度的数学知识打下基础。
教材通过例题和练习题的形式，让学生掌握二次根式加减法的运算方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本概念、性质和乘除法运算。
但部分学生对二次根式的加减法运算可能还存在一定的困惑，特别是在处理含有不同根号的二次根式时。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和练习，帮助他们理解和掌握二次根式加减法的运算方法。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减法运算性质，掌握二次根式加减法的运算方法。
2.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法运算方法。
2.难点：处理含有不同根号的二次根式的加减法运算。
五. 教学方法采用讲解、演示、练习、讨论、反馈的教学方法，以学生为主体，教师为主导，通过实例和练习，引导学生探索和总结二次根式加减法的运算方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学PPT或黑板。
2.教学素材（例题、练习题）。
3.粉笔、黑板擦等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT或黑板，展示一些实际问题，如物体长度、面积等，引导学生思考如何用二次根式表示这些问题。
通过分析，引出二次根式的加减法运算。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减法运算性质，引导学生观察和分析实例，让学生理解并掌握二次根式加减法的运算方法。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和解决问题。
教师巡回指导，关注学生的学习情况，对有困难的学生给予个别辅导。
4.巩固（10分钟）挑选一些练习题让学生独立完成，教师及时批改和反馈，巩固学生对二次根式加减法运算的掌握。
人教版数学八年级下册《二次根式的加减运算》教学设计1
人教版数学八年级下册《二次根式的加减运算》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级下册《二次根式的加减运算》是中学数学中比较重要的一部分，它既是对之前学习的一次复习和巩固，也是为之后学习更复杂数学知识做铺垫。
本节课主要让学生掌握二次根式加减的运算方法，理解并熟练运用二次根式加减的运算规则。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次根式的基本概念和性质，对二次根式的运算有一定的了解。
但学生在实际操作中，可能会对一些特殊情况处理不够准确，如含有同类项的二次根式加减，以及不同类二次根式的加减。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式加减的运算方法。
2.让学生能够正确进行二次根式的加减运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式加减的运算方法。
2.教学难点：理解并熟练运用二次根式加减的运算规则，特别是在处理含有同类项和不同类二次根式的情况。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法、讨论法等，以学生为主体，教师为引导，通过具体的例子和练习题，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算方法。
六. 教学准备1.教材和人教版数学八年级下册相关章节。
2.教学PPT。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习之前学过的二次根式的基本概念和性质，引导学生进入本节课的主题——二次根式的加减运算。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的加减运算规则，让学生初步了解并掌握二次根式的加减方法。
3.操练（10分钟）让学生通过具体的例子，运用二次根式的加减规则进行计算，教师在这个过程中进行个别指导和解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次根式的加减运算方法。
5.拓展（5分钟）引导学生思考二次根式加减运算的推广，如三次根式、四次根式的加减运算。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的二次根式的加减运算方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里进行巩固练习。
八年级数学下册 二次根式的加减 教案新人教版
16.3二次根式的加减第2课时【教学目标】知识与技能:1.会进行二次根式的混合运算.2.会解含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.过程与方法:经历探索二次根式的混合运算方法步骤的过程,进一步培养学生的计算能力.情感态度与价值观:通过对二次根式的混合运算的探索,让学生体会探索学习的乐趣,从而培养学生解决问题的能力.【重点难点】重点:会进行二次根式的混合运算.难点:会进行二次根式的混合运算.【教学过程】一、创设情境,导入新课:复习引入:请同学们完成下列各题:1.计算:(1)(2x+y)·zx;(2)(2x2y+3xy2)÷xy;2.计算:(1)(2x+3y)(2x-3y);(2)(2x+1)2+(2x-1)2教师点评:这些内容是整式运算的再现.主要有(1)单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.提出问题:如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?解:仍成立.整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.这节课我们继续学习二次根式的加减.二、探究归纳活动1:二次根式的混合运算1.填空:(1)(+)×=×+×=3+6………………依据______=9.(2)(+3)(-5)=()2-5+3-15………………依据________法则=-2-13.(3)(+)(-)=()2-()2………………依据______=2-3=-1.(4)(-2)2=()2-2××2+(2)2………………依据______=6-12+12=18-12.答案:(1)乘法分配律(2)多项式乘法(3)平方差公式(4)完全平方公式2.思考:根据(1)(2)(3)(4)的填空,你能得到什么结论?答案:多项式的乘法法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.3.归纳:在二次根式的混合运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.活动2:例题讲解:【例1】计算:(1)(4+3)2;(2)(2+3)(2-3);(3)(2+)(2-)-(1+)2.解:(1)(4+3)2=42+2×4×3+(3)2=16+24+45=61+24.(2)(2+3)(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.(3)(2+)(2-)-(1+)2=22-()2-(1+2+2)=4-3-1-2-2=-2-2.总结:根据题目特点灵活应用运算律、乘法法则和乘法公式进行计算、化简.【例2】计算:(-)÷+(1-)2解:(-)÷+(1-)2=÷-÷+1-2+3=-2+1-2+3=2-.点拨:二次根式的混合运算的方法:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.三、交流反思这节课我们学习了二次根式的混合运算,整式的乘法法则、乘法公式和运算律在二次根式运算中同样适用,二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.四、检测反馈1.计算:(-)(+)的结果是()A.2B.-2C.2D.-22.下列各式正确的是()A.(+)=×=7B.(+)(-)=5-C.(-)(+)=3-2=1D.(-)2=5-3=23.若x=-,y=+,则xy的值为()A.2B.2C.a+bD.a-b4.计算:(9-5)÷2=________.5.计算:(+1)(-1)=________;(+1)2=________.6.已知a=3+2,b=3-2,则ab2-a2b=________.7.计算:(1)·;(2)(2-)(+);(3)(3+2)2;(4)(-)(--);(5)(+)(-)×-()-1.五、布置作业教科书第15页习题16.3第4,6,8题.六、板书设计16.3二次根式的加减第2课时一、整式的乘法法则及公式在二次根式运算中的应用二、二次根式的混合运算三、例题讲解四、板演练习七、教学反思1.整式的乘法法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,可通过对复习引入中的分析,归纳总结二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律.二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.教师出示例题和练习题目,引导学生类比多项式的乘法法则和乘法公式进行计算.体会整式的乘法法则及公式和二次根式运算的联系.教师强调最后结果要化成最简二次根式.2.关于二次根式的混合运算,要引导学生在复习巩固整式运算的基础上,采用类比的方法讲授二次根式的混合运算,强调整式运算的分配律、多项式的乘法法则和乘法公式在二次根式混合运算中同样适用,注意运算顺序,多练习掌握二次根式的混合运算的方法.。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减 教案设计
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
教案设计
二次根式的加减
积的算数算术平方根
商的算术平方根
（二）
课前延伸：
如图，要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为27平方米和48平方米，栅栏的长度为多少米？
这两个正方形的边长分别为_____米和_____米，栅栏的长度为_____________米.
还能进一步化简吗？
化简以后你有什么发现？
几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开方式相同，那么，这几个二次根式称为同类二次根式.
1.以下二次根式哪些是同类二次根式？
2.计算
（1）12+75（2）80-45（3）a
9+a
25
（4）22—32+62
大羊圈
小羊圈。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
人教版九年级二次根式的加减教案(第一课时)
教材，教法；教学实验研究人教版九年级二次根式的加减教案(第一课时)教学内容：二次根式的加减教学目标：掌握二次根式加减的思路和方法．教学重点：二次根式加减教学难点：二次根式的加减计算和化简教学准备：多媒体课件（投影仪）教学过程：一、复习引入上节课我们学习了二次根式乘除法，现在请同学们计算下列各题：（投影仪出示题目）1．（由学生口答）下列各组二次根式中，化简后被开方数相同的一组是（ ）()93和A 5424)(和B 2718)(和C 255)(和D2．计算： =8 =18 =a 9 =a 25 =80 =45 =122 =316 =483 =20（通过学生的计算，复习把二次根式化成最简二次根式，针对学生出现的问题讲评后，接着提出问题， 根据上面计算出来的结果，你能很快说出下面各题的答案吗？）二、导入新课：（投影仪出示题目）根据我们上面计算得到的结果，你能计算下列各题吗？计算：（1）=+2322 （2）=+a a 53 （3）=-5354（4）=+-3123234 （5）=-++)53()5232(（通过学生的计算，明确被开方数相同的最简二次根式可以合并同类项，然后再用投影仪出示题目，把前面三道题的运算符号改变，加法变为减法，减法改成加法再计算）小结：上面的题目我们会做了，同学们再接再厉，看下面几题如何计算：（投影仪出示题目）三、讲授新课：例1 计算：（1）=+a a 259 （2）=-4580例2 计算：（1）483316122+- （2）)53()2012(-++（经过计算，让学生发现二次根式加减的思路和方法，由上面的复习和导入应该说是水到渠成，为教学起到了承上启下之铺垫作用。
）板书课题（投影仪显示）二次根式的加减这就是我们今天要学习的内容，然后启发学生对照上面三个层次的练习，得出二次根式加减法则：（投影仪显示）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
人教版数学八年级下册16
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减教案教学内容：二次根式的加减教学目标：知识与技能目标：学生理解和掌握二次根式加减的方法。
过程与方法目标：教师先提出问题，分析问题，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。
然后总结经验，用它来指导根式的计算和化简。
情感与价值目标：通过本节的研究培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式。
2.难点关键：判定是否是最简二次根式。
教法：1.引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识。
这充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。
2.讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练，培养学生的阅读惯和规范的解题格式。
学法：1.类比的方法：通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的研究策略。
2.阅读的方法：让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3.分组讨论法：将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验研究活动中的交流与合作。
4.练法：采用不同的练法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复引入学生活动：计算下列各式。
1）2x+3x；（2）2x-3x+5x；（3）x+2x+3y；（4）3a-2a+a教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
二、探索新知学生活动：计算下列各式。
1）√2+√3；（2）√2-√3+√53）√7+2√7+3√7；（4）3√3-2√3+√2老师点评：1）如果我们把2看作x，不就转化为上面的问题吗？2+√3=(√2+√3)2+√3)(√2+√3)2+2√6+35+2√62）把8看作y；2-√3+√5=(√2-√3+√5)2-√3+√5)(√2-√3+√5)2-2√6+3+2√10-3√6-51-√6+2√103）把7看作z；7+2√7+3√7=（1+2+3）√76√74）3看作x，2看作y．3√3-2√3+√2=(3-2)√3+√23+√2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如√2和√8表面上看是不相同的，但它们可以合并。
人教版-数学-八年级下册《二次根式的加减》教学详案
《二次根式的加减》教学详案1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.2.培养学生的计算能力.鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.【重点】二次根式的加减运算.【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.第课时理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.体会合作学习的乐趣.【重点】二次根式加减法的运算.【难点】快速准确进行二次根式加减法的运算.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习整式的计算.导入一:(出示教材第12页问题)现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?提问:①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算+的结果呢?引导学生思考,并进行交流.两个小正方形的边长分别为dm和dm,均小于5 dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.怎样计算+呢?下边我们来探究二次根式的加减.设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.导入二:我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗?提问:-=正确吗?本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.1.二次根式的加减法我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢?思路一教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:+=2+3.追问:可以像合并同类项那样合并吗?学生小组讨论回答:相当于x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.思路二(1)合并同类项:①2x+3x=;②2a2-3a2+5a2=.(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.①2+3=;②2-3+5=.学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.追问:第(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢? 学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.引导学生总结:第(2)问中的①和②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.2.例题讲解(教材例1)计算:(1)-;(2)+.引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.解:(1)-=4-3=.(2)+=3+5=8.(教材例2)计算:(1)2-6+3;(2)+.指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗?学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.解:(1)2-6+3=4-2+12=14.(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.二次根式的加减运算,第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.师生共同回顾本节课所学主要内容:二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是()A.+=B.4-3=1C.2×3=6D.÷=3解析:A.不是同类二次根式,不能合并,故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.2.以下二次根式:①,②,③,④中,化简后与被开方数相同的是()A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④解析:①=2;②=2;③=;④=3.故选C.3.(2015·重庆中考)计算3-的值是()A.2B.3C.D.2解析:3-=(3-1)=2.故选D.4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为.解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=解析:由题意得4a2+1=6a2-1,解得a=±1.故填±1.6.计算:(1)2+3-3+;(2)-5+.解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4.(2)-5+=2-5×+==.第1课时1.二次根式的加减法2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.【选做题】教材第15页习题16.3第5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·衡阳中考)计算-=.2.(2014·遵义中考)计算+=.3.若+2+x=10,则x的值等于.【能力提升】4.计算4+3-的结果是()A.+B.C. D.-5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是()A.3-3B.C.1D.36.计算:(1)-2;(2)+;(3)5+5-+;(4)-2.7.如图所示,面积为48 cm2的正方形的四个角都是面积为3 cm2的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.【拓展探究】8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).【答案与解析】1.(解析:原式=2-=.)2.4(解析:+=3+=4.)3.2(解析:+2+x=10化简得=2,故x=2.)4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)6.解:(1)-2=5-2=3.(2)+=+=.(3)5+5-+=5+5-3+3=2+8.(4)-2=--+4=.7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.练习(教材第13页)1.解:(1)不正确.-=2-.(2)不正确.+=2+3=5.(3)正确.3-=(3-1)×=2.2.解:(1)2-6=(2-6)=-4.(2)-+=4-2+=(4-2+1)=3.(3)+(-)=3+(7-3)=10-3.(4)(+)-=2+-+=3+.3.解:d=R-r=-≈-=-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)计算:(1)+3--;(2)--a2+(a>0,b≥0).解:(1)原式=2+2--=0.(2)原式=a-b-a +=(1-b).第课时在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.【重点】能熟练进行二次根式的混合运算.【难点】灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习总结二次根式的加减运算的方法.导入一:教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800 cm2,另一张面积为4500 cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2 m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.导入二:让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?计算:(1)+;(2)×;(3)÷.学生计算交流后,提出问题:(+)应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用思路一下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?(1)怎样计算4(+)?引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.(2)怎样计算(+2)(-2)?引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢?学生讨论,用完全平方公式计算.(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.思路二(1)请同学们完成下列各题:计算:①(2x+y)·zx;②(2x2y+3xy2)÷xy;③(2x+3y)(2x-3y);④(2x+1)2+(2x-1)2.学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.(+)×=(2+3)×=5×=10,(+)×=×+×=4+6=10.引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.小组讨论后,全班交流.(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2==2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.2.二次根式的混合运算怎样计算(-2)(2-)?同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.(-2)(2-)=×2-×-2×2+2×=6--4+4=-5+10.教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.3.例题讲解刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.(教材例3)计算:(1)(+)×;(2)(4-3)÷2.引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.解:(1)(+)×=×+×=+=4+3.(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.(教材例4)计算:(1)(+3)(-5);(2)(+)(-).学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.解:(1)(+3)(-5)=()2+3-5-15=2-2-15=-13-2.(2)(+)(-)=()2-()2=5-3=2.(1)像(+)与(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.1.下列各式计算正确的是()A.-2=-B.=4a(a>0)C.=×D.÷=解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.2.下列计算正确的是()A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3B.(2+)(-)=2x-yC.(3-)2=32-()2=6D.(+)(-)=1解析:(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是()A.0B.C.2+D.2-解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.(1)×;(2)-;(3)÷-×+.解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4.(2)原式=-=3+2--1=2+.(3)原式=-+2=4+.第2课时1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用2.二次根式的混合运算3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.【选做题】教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.二、课后作业【基础巩固】1.化简-(1-)的结果是()A.3B.-3C.D.-2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于()A. B.2 C.3 D.23.计算(-)+的值是.4.计算-(5-)的值为.【能力提升】5.计算:--+|2-|.(1)-2;(2)+-;(3)(5+2)(5-2);(4).7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.8.已知x=-1,y=+1,求+的值.【拓展探究】9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2-的值.10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.斐波那契(约1175~1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.【答案与解析】1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)3.2(解析:原式=2-+=2.)4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)5.解:原式=2--2+2-=.6.解:(1)-2=+1-2=-1=1.(2)+-=+-=+2-10=+2-10=-.(3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13.(4)=12-2××+=12-8+=.7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.9.解:∵4x2+y2-4x-6y+10=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2-x2 +5x=2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=×+6=+3.10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,n-===××1=1.教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.练习(教材第14页)1.解:(1)(+)=+.(2)(+)÷=+=4+2.(3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5.(4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9. (2)(+)(-)=()2-()2=a-b.(3)(+2)2=()2+4+22=7+4.(4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.习题16.3(教材第15页)1.解:计算均不正确.理由如下:(1)(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.2.解:(1)2+=4+3=7.(2)-=3-=.(3)+6=2+3=5.(4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.3.解:(1)-+=3-4+=0.(2)-+-=5-3+4-6=-.(3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+.(4)(+)-(+)=+--=--.4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10.(2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20.(4)+÷=÷+÷=+=+.5.解:5-+=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12.(2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠ACB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.9.提示:(1)x1=,x2=-.(2)x1=-5+2,x2=-5-2.复习题16(教材第19页)1.解:(1)由二次根式的意义,可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义.(2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义.(3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时,在实数范围内有意义.(4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时,在实数范围内有意义.2.解:(1)==10.(2)==2.(3)===.(4)==.(5)=··=xy.(6)==.3.解:(1)-=-=2---=-.(2)2×÷5=(×÷)=×==.(3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6.(4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3 =4-=-.(5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12.(6)===-2××+=-+=5-.4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.6.解:∵x=2-,∴(7+4)x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+= 2+.7.解:由Q=I2Rt,得I=,当R=5,t=1,Q=30时,I==≈2.45(A).8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.9.解:(1)略.(2)由题意可知由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代入③中,得OB=OA,∴OB=OA,OC=OA,OD=OA.10.解:三个式子都成立,举例:=5,=6,=7.规律:=n.证明如下:左边===n=右边,所以结论=n成立.二次根式的大小比较策略二次根式的大小比较,是二次根式内容中的一种题型,如果能根据不同的特点,掌握二次根式比较大小的常用方法、解法技巧,会起到事半功倍的作用.比较二次根式的大小,通常有被开方比较法、平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法、设参比较法、比较整数部分法等.(1)运用被开方法比较4和3的大小.解:∵4==,3==,又32>27,∴4>3.(2)运用平方法比较4和3的大小.解:∵(4)2=42×2=32,(3)2=32×3=27,又32>27,∴4>3.(3)运用作差法比较4和3的大小.解:∵4-3=-=->0,∴4>3.(4)运用作商法比较4和3的大小.解:∵===>1,∴4>3.(5)运用倒数法比较-与-的大小(其中n为正整数).解:∵=+,=+,其中n为正整数,且+>+,∴-<-.(6)运用分子有理化法比较与的大小.解:∵==,==,而<,∴<.(7)运用设参法比较A=与B=的大小.解:设x=54321,则A==,B==, ∵x2+3x<x2+3x+2,∴<,∴A<B.。
二次根式的加减说课稿5篇
二次根式的加减说课稿5篇二次根式的加减说课稿5篇教学教案是教师教学的重要工具，它能够帮助教师有条不紊地组织和实施教学活动，提高教学效果。
下面是小编为大家整理的二次根式的加减说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
二次根式的加减说课稿精选篇1一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．（二）能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．（三）德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．（四）美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．二、学法引导1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点二次根式的加减法运算．2．教学难点二次根式的化简．3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．七、教学步骤（一）明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．二次根式的加减说课稿精选篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式加减》教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：回顾平方根的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式加减》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握二次根式的概念，能够正确书写和识别二次根式。
-学生能够理解二次根式表示的是平方根，掌握二次根式的性质和运算规则。
-学生能够运用二次根式解决实际问题时，能够准确识别问题中的二次根式并进行相应的运算。
2.学会进行二次根式的加减运算，掌握运算步骤和法则。
-学生能够掌握合并同类项的原则，将含有相同根式的代数式进行加减运算。
-学生能够解决含有二次根式的复合运算问题，如加减混合运算，并掌握运算顺序。
3.能够应用二次根式的加减运算解决实际生活中的问题，如面积、体积计算等。
（二）过程与方法
1.通过直观教具和实际例子的展示，引导学生观察、分析二次根式的特点，培养学生从具体到抽象的思维能力。
-学生在解题过程中，教师进行巡回辅导，关注学生的解题方法和技巧，及时纠正错误。
-对学生的练习情况进行点评，强调易错点和关键点，指导学生掌握解题策略。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的内容进行总结，巩固学生的知识体系。
2.教学过程：
-让学生回顾本节课所学的二次根式的定义、性质、加减运算规则，并进行自我总结。
3.采用问题驱动的教学策略，激发学生的探究欲望，鼓励学生主动参与，提高解决实际问题的能力。
-教师设计不同难度的问题，引导学生自主探究二次根式的性质和运算方法。
人教版九年级数学教案-二次根式的加减
第二十一章二次根式21.3 二次根式的加減(一)教學內容二次根式的加減教學目標理解和掌握二次根式加減的方法．先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡．重難點關鍵1．重點：二次根式化簡為最簡根式．2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式．教學過程一、複習引入學生活動：計算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合併．同類項合併就是字母不變，係數相加減．二、探索新知學生活動：計算下列各式．（1）（2）（3（4）老師點評：（1x，不就轉化為上面的問題嗎？=（2+3（2y；=（2-3+5（3z；=（1+2+3（4看為x看為y．=（3-2因此，二次根式的被開方數相同是可以合併的，如面上看是不相同的，但它們可以合併嗎？可以的．（板書）所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，•再將被開方數相同的二次根式進行合併．例1．計算（1+（2分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合併．解：（1=（2+3（2=（4+8例2．計算（1）2））+解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）（2））+三、鞏固練習教材P 16 練習1、2．四、應用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2）-（x ）的值． 分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，•再合併同類二次根式，最後代入求值．解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∴4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=12，y=3原式=23+y當x=12，y=3時，原式=124五、歸納小結本節課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合併．六、佈置作業教材P17習題21．3 1、2、3、5．21.3 二次根式的加減(二)教學內容利用二次根式化簡的數學思想解應用題．教學目標運用二次根式、化簡解應用題．通過複習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合併後解應用題．重難點關鍵講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點．教學過程一、複習引入上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合併，下面我們講三道例題以做鞏固．二、探索新知例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1釐米/•秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2釐米/秒的速度向點C移動．問：幾秒後△PBQ的面積為35平方釐米？PQ的距離是多少釐米？（結果用最簡二次根式表示）ACQ P分析：設x秒後△PBQ的面積為35平方釐米，那麼PB=x，BQ=2x，•根據三角形面積公式就可以求出x的值．解：設x 後△PBQ的面積為35平方釐米．則有PB=x，BQ=2x依題意，得：12x·2x=35 x2=35 3535PBQ的面積為35平方釐米．2222245535PB BQ x x x+=+==⨯7答：35PBQ的面積為35平方釐米，PQ的距離為7釐米．例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，•只需知道這四段的長度．解：由畢氏定理，得22224220AD BD+=+=5222221BD CD++5所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD =2+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m 的鋼材．三、鞏固練習教材P16 練習3四、應用拓展例3．若最簡根式3a 是同類二次根式，求a 、b 的值．（•同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式）分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式後，被開方數相同；•不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由題意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 五、歸納小結本節課應掌握運用最簡二次根式的合併原理解決實際問題．六、佈置作業教材P 17 習題21．3 7．21.3 二次根式的加減(三)教學內容含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用．教學目標含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．複習整式運算知識並將該知識運用於含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．重難點關鍵重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律；難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．教學過程一、複習引入學生活動：請同學們完成下列各題:1．計算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．計算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現．它主要有（1）•單項式×單項式；（2）單項式×多項式；（3）多項式÷單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？•仍成立．整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，•當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用於二次根式．例1．計算:（1）（2）（）÷分析：剛才已經分析，二次根式仍然滿足整式的運算規律，•所以直接可用整式的運算規律．解：略例2．計算（1）+3）-5）（2）））(3)( )2分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立．解：略三、鞏固練習課本P17練習1、2．四、應用拓展例3．求值問題:當,求x2-xy+y2的值練習 1.已知求2的值.2.已知求a3+2a2-a的值五、歸納小結本節課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算．六、佈置作業1．教材P17習題21．3 1、8、9．。
2024年人教版八年数学下册教案(全册)二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减课时目标1.通过合并被开方数相同的二次根式,会进行二次根式的加减法运算.2.会二次根式的加减运算,能通过加减法运算解决实际问题.3.通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较,体会类比思想.4.经历探究二次根式加减法法则的过程,激发学习热情,体验成功的快乐. 学习重点二次根式的加减运算. 学习难点将二次根式化简为最简二次根式,并会进行二次根式的加减运算. 课时活动设计复习引入1.把下列二次根式化为最简二次根式. (1)√8; (2)√18; (3)√12; (4)√27; (5)√13. 解:(1)√8=√4×2=√4×√2=2√2; (2)√18=√9×2=√9×√2=3√2; (3)√12=√1×22×2=√22;(4)√27=√9×3=√9×√3=3√3; (5)√13=√1×33×3=√33. 2.计算:(1)2x +3x = 5x ;(2)2x 2-3x 2+5x 2= 4x 2 ; (3)x +2x +3y = 3x +3y ;(4)3a 2-2a 2+a 3= a 2+a 3 .上述计算都用到了哪些运算规律?你能想到√2+2√2怎么计算吗?设计意图:回顾最简二次根式和同类项的定义,提出问题,引发学生思考二次根式的加减运算.自主探究问题现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?思考:(1)能否截得两个正方形,需要我们算出什么?或者是比较哪两个量之间的大小?(2)面积是8 dm2和18 dm2的正方形的边长分别是多少?师生活动:引导学生思考,问题的关键点在哪里?互相交流说出自己的想法,老师进行总结:因为大、小正方形木板的边长分别为√18dm和√8dm,显然木板够宽,下面考虑木板是否够长.由于两个正方形的边长的和为(√8+√18)dm,这实际上是求√8,√18这两个二次根式的和.我们可以这样来计算:√8+√18=2√2+3√2(化成最简二次根式)=(2+3)√2(分配律)=5√2.由√2<1.5可知5√2<7.5,即两个正方形的边长的和小于木板的长,因此可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板.上面的计算依据是什么?你能在横线上填出来吗?师生活动:老师可让学生自行讨论,关注学生是否能正确进行二次根式的化简,对错误的学生给予纠正和鼓励.(3)从上面的计算中你能得出二次根式的加减运算法则吗?思考一下在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内成立吗?师生活动:引导学生在讨论的基础上总结上述计算过程:分析上面计算√8+√18的过程,可以看到,把√8和√18化成最简二次根式2√2和3√2后,由于被开方数相同(都是2),可以利用分配律将2√2和3√2进行合并.师生进行总结得到加减法的运算步骤: a.将非最简二次根式的二次根式化简; b.找出被开方数相同的二次根式; c.把被开方数相同的二次根式合并.设计意图:以解决贴近生活的问题,来激发学生的学习兴趣,采用分组讨论、自主探究的方式解决问题使学生掌握被开方数相同的二次根式的合并方法,提高学生自主学习的能力.知识归纳一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成 最简二次根式 ,再将 被开方数相同 的二次根式进行合并.强调:1.二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别:二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并,不能合并的保留到结果;整式的加减是合并同类项,不能合并的保留到结果.2.√5与√7不能合并,因为被开方数不同.设计意图:让学生经历类比合并同类项的方法去探究二次根式加减运算的方法,归纳得到二次根式加减运算的法则,培养学生发现问题、解决问题的能力.例题精讲例1 教材第13页例1. 例2 教材第13页例2. 例3 计算:(1)√15+2√20-4√45-√55; (2)√18-√92-√3+√6√3+(√3-2)0+√(1-√2)2.解:(1)原式=√55+4√5-8√55-√55=12√55; (2)原式=3√2-3√22-1-√2+1+√2-1=3√22-1. 例4 已知m =2+√3,求m 2-1m -1-√m 2-2m+1m -m 2的值.解:原式=(m+1)(m -1)m -1-|m -1|m (1-m ).∵m =2+√3,∴m -1=2+√3-1=1+√3>0. ∴原式=m +1+1m .将m =2+√3代入,∴原式=2+√3+1+2+√3=5.设计意图:巩固所学知识,将具体的数字运算推广到含字母的一般二次根式加减运算,经历从特殊到一般,加深学生对二次根式加减运算的理解.学以致用1.教材第13页练习第1,2,3题.2.小明同学在作业本上做了以下4道题:①√7-√4=√3;②3√3-√3=3;③2+3√5=5√5;④√6x -√5x =√x .其中做对的题目的个数是( A )A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列二次根式中,化简后不能与√3合并的是 ②⑤ .(填序号) ①√48;②-√125;③√113;④ √32;⑤√18. 4.计算:(1)√20010-2√0.08-4√0.5+2√725; (2)(3√0.5-5√13)-(2√0.125-√20)-2√12. 解:(1)原式=√2-2√25-2√2+12√25=√2; (2)原式=3√22-5√33-√22+2√5-√2=2√5-5√33. 设计意图:加深对二次根式加减运算的认识.课堂小结1.二次根式的合并.2.二次根式的加减运算.设计意图:共同回顾本节课的知识内容和学习方法,加深知识印象、提高学生对知识的认识,同时让学生养成良好的学习习惯.课堂8分钟.1.教材第15页习题16.3复习巩固第2,3题,综合运用第5题.2.七彩作业.教学反思。
新人教版数学八下优秀教案： 二次根式的加减
16．3二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b ＝3＋(－1)＝2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】二次根式的化简求值先化简，再求值：a2－b2a ÷⎝⎛⎭⎫a－2ab－b2a，其中a＝2＋3，b＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b的值代入计算即可求出．解：原式＝（a＋b）（a－b）a÷a2－2ab＋b2a＝（a＋b）（a－b）a·a（a－b）2＝a＋ba－b.当a＝2＋3，b＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．。
人教版教程二次根式加减教案1
16.3 二次根式的加减（第 1 课时）【授课任务解析】知识能够正确进行简单的二次根式加减法的运算 .教技术学过程 1. 经过整式加减法运算与二次根式加减法运算领悟类比思想.目方法 2. 经过二次根式加减法运算培养学生运算能力 .标感情经过对二次根式加减法的研究 , 激发学生的研究热情 , 让学生充分参加到数态度学学习的过程中来 , 使他们体验到成功的乐趣 .重二次根式加减法的运算 .点难商议二次根式加减法运算的方法 , 快速正确进行二次根式加减法的运算 .点【授课环节安排】环授课识题设计授课活动设计节情一个体育场要修两块长方形草坪 ,第一块境草坪的长是 10米,宽是 5 米,第二块草坪的长引是 20 米 ,宽也是 5 米.你能告诉体育场的负责入人要准备多少面积的草皮吗？【问题 1】10 5 +20 5 是什么运算？你能依照合并同类自项计算以下6个小题吗？主（1） 5+ 5（2）2 2 +3 2探（3）2 8-3 8+5 8 （4） 7+2 7+3 9 7究（5）5-125 ；（6）3 3-2 3+ 2【问题 2】合计算： 5-50 +20作 3 5 - 5 2 还能够连续往下合并吗？交看来二次根式有的能合并,有的不能够合并 ,经过流对以上几个题的观察 ,你能说说什么样的二次根式能合并 ,什么样的不能够合并吗？方法：二次根式加减时 ,先将二次根式化简成最简二次根式 ,再将被开方数相同的二次根式进行合并 .创立问题情况 , 激发学生思虑 .学生回答：这个体育场要准备（10 5 +20 5 ）平方米的草皮 .教师出示课题并说明今天我们就共同来研究该如何进行二次根式的加减法运算 .我们能够利用已学知识或已有经验来分组谈论、交流, 看看5 + 5 终究等于什么？小组显现谈论结果 .教师引导考据：①设 5 = a , 类比合并同类项的方法计算 .②学生思虑 , 得出先化简 , 再合并的解题思路5- 125= 5- 5 5=-45可有这两道题目总结出方法.先化简 , 再合并5- 50+ 20=5-5 2+2 5=35-52学生观察并归纳: 二次根式化为最简二次根式后, 被开方数相同的能合并 .1. 例1计算：（1） 9a25a；（2） 80 45 .尝解析：第一步 , 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步 , 将相同的最简二次根式进试行合并．应2计算（1） 8+18（2） 16x + 64x 用教师出示问题 , 指定学生板演 , 其他学生先独立完成 , 小组内谈论交流 , 教师巡视指点迷津 .计算过程中 , 提示学生二次根式的加减与整式的加减对照较 , 哪3.例 2．计算：（1） 2 1213 48；些重申二次根式能合并, 哪些不6能二次根式合并 .3（2） (1220) (3 5 ) .解：（1） 2 121348学生先自主、对于有困难的同6学能够合作完成 .3= 432312314 3 ；4.计算：（ 1） 212+348；（2）（48+ 20 ）+（12- 5）5.例题 3. 如图 21.3.1-1 要焊接以下列图的钢架,大体需要多少米钢材（结果保留小数点后两位）？图解析：先利用勾股定理求出AB的长度 , 再求出BC的长度 , 尔后相加：AB= 42162 2 5 ,BC= 42125AB+BC+AC+BD=3 5 713.71(m)成经过今天的学习你有何收获 ?果1二次根式加减法的运算方法和步骤是什展么?示 2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式, 以及运算的正确性 .3.在学习过程中运用了类比的学习方法 . 补1．以下二次根式：①12 ；② 22；③ 2 ；偿3④ 27 中,与3是同类二次根式的是（）．提A ．①和②B．②和③C．①和④D．③高和④2．计算 5 a -3 b -7 a +9 b =________．3. 计算 : （1）189827（2）1 6 .8练习 2: 教材第 16 页练习教师巡视及时补教 .小组谈论解析, 养成优异的解析问题 , 解决问题的能力和习惯 .学习小组内互相交流 ,谈论 ,展示 .教师出示题目 .第(1) 题、第 (2) 题由学生独立完成 . 教师巡视 ,个别指导 .请几位学生板练 .师生共同评析 .存在的共性问题共同谈论解决 .第(3) 题激励学生独立思虑后解决 . 感觉有困难的学生能够追求同学的帮助 , 尔后完成 . 小组交流内 .作教材第 12 页 . 习题业复习牢固 2 题,3 题 (3)、(4)设综合运用 4题（2）,6 题 (3)、(4)教师部署作业 , 分层要求 .计学生按要求独立完成作业完成 .16.3 二次根式的加减（第2 课时）【授课任务解析】知识在有理数的混杂运算及整式的混杂运算的基础上 , 使学生认识二次根式的教技术混杂运算与以前所学知识的关系 , 在比较中求得方法 , 并能熟练地进行二次学根式的混杂运算．目过程(1)对二次根式的混杂运算与整式的混杂运算及数的混杂运算作比较, 要标方法注意运算的序次及运算律在计算过程中的作用．(2)经过引导 , 在多解中进行比较 , 追求有效快捷的计算方法 .感情经过独立思虑与小组谈论 , 培养优异的学习态度 , 以及自我意识 , 并且侧重态度培养学生的类比思想 .重混杂运算的法规 , 明确三级运算的序次 , 运算律的合理使用．点难灵便运用因式分解、约分等技巧, 使计算简略．点【授课环节安排】环节授课识题设计情1. 你能说出乘法分配律吗？境2. 利用乘法分配律计算：引入36（125) 2393.你能说出整式的乘法的运算公式吗？你能利用公式计算以下问题吗？（1）（2x+3y） (2x-3y)(2)(2a-b)24. 已知:矩形的长是5 2 2 3,宽是6,求它的面积 .自【问题1】主你能类比单项式与多项式乘除法规计算出探以下各式吗？究（1）2(2 23)；（2）15)5.( 45解析：（ 1）依照多项式乘以单项式的法规,合用 2 乘以括号里的每一项 , 再拔积相加 . (2)依照多项式除以单项式的法规, 用括号作里的每一项除以 5 , 再把商相加 .交【问题 2】你能依照多项式乘以多项式的方授课活动设计教师出示问题 , 引导学生复习整式的乘法运算 , 为下面的学习打下基础 .创立问题情况 ,引出课题 .我们能够利用已学知识或已有经验来分组谈论、交流 , 依照单项式乘以多项式和多项式乘以单项式的方法解决 .（1） 2(223) =46（2） ( 4515)5=45515 5 =33依照多项式相乘的方法进行.流法计算： ( 3 2 2)(2 32)解析：用第一个括号里的每一项与第二个括号里的每一项相乘 , 再把积相加 .【问题 3】你能说出整式的乘法公式吗？你能依照公式计算吗：3.( 3 22)( 3 22)4. (3 22)2解析：紧扣公式进行计算 .1．例 4 计算：(1)( 83)6；（2）36)22.( 4 2尝解析：二次根式依旧满足整式的运算规律,?试所以直接可用整式的运算规律．应解： (1)(83)6= 4818用=43 3 2 ；（2）(4 2 3 6) 2 2=233 . 22.计算：（1）（ 6 + 8 ）×3（2）（4 6 -3 2 ）÷223.例 5．计算：（1）( 23)(25) ；（2）( 53)(53).解：（1） ( 2 3)( 2 5)= 2 52 3 2 15=-13 2 2 ；（2） (53)(53)( 322)(232)= 66464=10 56整式的乘法法规和公式依旧适用(322)(322 )= (3) 2(22) 2 =-5( 3 2 2)2 =3+8- 4 6 =11-4 6教师引导、点拨 , 让两学生到黑板板书师生谈论：（1）应用乘法的分配律计算（2）计算方法与多项式除以单项式近似注意 : 结果要化成最简二次根式学生先独自思虑 , 再小组合作 , 尔后在到黑板板书其他学生分组练习 .与老师一起解析、总结 , 交流 .掌握运算的规律和方法教师点拨：（ 1）用多项式乘以多项式的方法 .成就显现补偿提高=( 5)2( 3)2 2.4.计算：（1）（ 5+6）（ 3- 5 ）（2）（10 +7）（ 10-7 ）（3）(435) 2.经过今天的学习你有何收获？请你提示大家 , 本节课所研究的内容 , 有什么需要特别记住的 , 有哪些地方是特别简单出错的?1.以前学过的运算法规在二次根式的混杂运算中依旧成立；2.计算结果最后必然要化成最简形式1.计算：（1）（3 － 2 ）2×（5+26 ）；(2)用平方差公式计算 .学习小组内互相交流,谈论 ,展示 .教师出示问题 1提示学生注意公式(a+b)2=a2+2ab+b2 的应用,a2+b2=(a+b) 2-2ab. 这样学生便于理解 .2 －3 ）2+（3 + 2 ）2；学生自己在笔录本上独立完成 .对于问题 2. 先化简 a,b在计算代数式的值 .+3 2 )(2 3 －32）.教师巡视、指导,学生完成、交流,师生谈论 .2. 已知a =11,b=1,求a2b2 10 的值．221作业部署作业：教师部署作业,分层要求.设计教材第 18 页第 4、 6 题.学生按要求独立完成作业完成.第5页共5页。
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二次根式的加减教学设计教学思想设计本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并。
二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点。
在本节中，通过类比整式运算的有关内容，比较二次根式的加减与整式的加减的异同，从而得出解二次根式加减法的一般方法。
本节的另一个内容是二次根式的加减混合运算，它主要是运用以前学过的运算律进行计算，如结合律、分配律等。
学习目标知识与技能通过合并同类二次根式，进行二次根式加法与减法运算;能进行二次根式的加减乘除混合运算;过程与方法通过对整式加减运算与二次根式加减运算的比较，进一步体会类比的思想方法;通过二次根式的混合运算，培养运算的能力;通过混合运算知识拓展，培养探索的精神;情感态度价值观从简单的同类二次根式的合并，层层深入，在解题的过程中，体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想;通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美。
教学重点和难点重点：本节的重点是在了解同类二次根式的概念的基础上，能熟练地进行二次根式的加减法计算;难点：在二次根式加减运算中，灵活运用二次根式的有关性质进行混合运算。
命题趋势分析本节的中考热点是考查同类二次根式的定义，考查二次根式的加减法;本节内容在中考题中常以填空、选择题考查同类二次根式的定义，常以解答题考查二次根式的加减法。
教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时一、创设现实情境，引入新课请看下面的问题：现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图21.3-1的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?。