2017中考复习-圆综合题

2017中考复习圆综合题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
2．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM2=BE•AB；
（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．
3．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．
（1）比较与的大小；
（2）若OH=2，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．
4．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH 的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
6．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC2=OE•OP；
（3）求线段EG的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
10．已知：△ABC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5，BN=3，
tan∠ABC=，求BF的长．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
12．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．
13．已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
14．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点
E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．
15．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．
17．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥
m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设
AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O 于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面积．
19．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．
（1）求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．
20．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．
21．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、
CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
22．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
23．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；
（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．
24．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．
25．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
26．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，
设OP=x，△CPF的面积为y．
（1）求证：AP=OQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
27．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
28．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；
（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．
29．在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣
点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．（1）如图1，求⊙O的半径；
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．
答案
1．（2016•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E 是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得
到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，
∵EB=2，BF=1，
∴EF==，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴cos∠DEF=，
∵EF=，
∴DE=×=，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴=，即GE•ED=AE•EB，
∴•GE=2，即GE=，
则GD=GE+ED=．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
2．（2016•青海）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM2=BE•AB；
（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．
【分析】（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；
（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图，连接OM，
∵直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD=90°，
∴∠BME+∠OMB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠BME=∠AMO，
∵OA=OM，
∴∠MAB=∠AMO，
∴∠BME=∠MAB；
（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEM=∠AMB=90°，
∴△BME∽△BAM，
∴，
∴BM2=BE•AB；
（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵sin∠BAM=，
∴sin∠BME=，
在Rt△BEM中，BE=，
∴sin∠BME==，
∴BM=6，
在Rt△ABM中，sin∠BAM=，
∴sin∠BAM==，
∴AB=BM=10，
根据勾股定理得，AM=8．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，△BME∽△BAM．
3．（2016•泉州）我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．
（1）比较与的大小；
（2）若OH=2，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆周角定理得
到=；
（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2，则可判断△OPH为等腰直角三角
形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由=得到
OQ⊥CD，
则根据平行线的判定方法得OP∥CD；
（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定义计算出PH即可．
【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，
∴PH平分∠FPE，
∴∠DPQ=∠CPQ，
∴=；
（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，
∵OH=2，OP=4，
∴PH==2，
∴△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
而OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵=，
∴OQ⊥CD，
（3）解：直线CD交MN于A，如图，
∵cosα=，
∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，
而OB⊥CD，
∴∠AOB=60°，
∵OH⊥PQ，
∴∠POH=60°，
在Rt△POH中，∵sin∠POH=，
∴PH=4sin60°=2，
即点P到MN的距离为2．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．
4．（2016•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH 的值．
【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得=求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF•BD求出BF，CF，CG，
GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE是⊙O切线．
（2）解：∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴=，即BC2=BG•BA=48，
∴BC=4，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC2=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF==4，
∴CG=CF+FG=5，
在RT△BFG中，BG==3，
∵BG•BA=48，
∴即AG=5，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，
∴CH=CB=4，
∵△ABC∽△CBG，
∴=，
∴AC==，
∴AH=AC﹣CH=．
【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．
5．（2016•赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；
（2）根据圆周角定理由=，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾
股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标．
【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点，
∴P（4，﹣3）；
（2）∵M点是劣弧OB的中点，
∴=，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，
∵=，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，
在Rt△PBQ中，PQ===3，
∴MQ=2，
∴M点的坐标为（4，2）；
∵MQ∥ON，
而OQ=BQ，
∴MQ为△BON的中位线，
∴ON=2MQ=4，
∴N点的坐标为（0，4）．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长．此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形．
6．（2016•恩施州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF 的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC2=OE•OP；
（3）求线段EG的长．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；
（2）由射影定理得出OD2=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC2=OE•OP；
（3）由垂径定理得出DE=CE=4，∠OEC=90°，由相交弦定理得出DE2=AE×BE，求出BE=2，得出直径
CG=AB=AE+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC==，在△CEG中，由余弦定理
求出EG2，即可得出EG的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵∠DAF=∠DAB，
∴∠ADO=∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，
∴∠ODF=90°，
∵AB⊥CD，
∴由射影定理得：OD2=OE•OP，
∵OC=OD，
∴OC2=OE•OP；
（3）解：∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，∠OEC=90°，
由相交弦定理得：DE2=AE×BE，
即42=8×BE，
解得：BE=2，
∴CG=AB=AE+BE=8+2=10，
∴OC=CG=5，
∴cosC==，
在△CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE2﹣2×CG×CE×cosC=102+42﹣2×10×4×=52，
∴EG==2．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果．
7．（2016•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF 即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，
∴，
∵tan∠D=，
∴=，
∴=；
（3）由（2）可知：=，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2=AE•AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
由（1）可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴=，
设BF=a，∴BC=，
∴BO=BC﹣OC=﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2=OF2+BF2，
∴（﹣3）2=32+a2，
∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），
∴AB=AF+BF=．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．
8．（2016•德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E 做直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
【分析】（1）连接OE、OB、OC．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合
一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；
（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；
（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF 的长．
【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．
理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴．
∴∠BOE=∠COE．
又∵OB=OC，
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴，即，解得；AE=．
∴AF=AE﹣EF=﹣7=．
【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF=∠EFB是解题的关键．
9．（2016•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC 的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，
从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
【解答】解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC=MH=，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO=，
∵AC•OC=AO•CI，
∴CI=，
∴由垂径定理可求得：CN=，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，
∴﹣（2+x）2=4﹣x2，
∴x=，
∴OE=，
由勾股定理可求得：EN=，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN=．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
10．（2016•哈尔滨）已知：△ABC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5，BN=3，
tan∠ABC=，求BF的长．
【分析】（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；
（2）由垂径定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥
OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED
的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．
【解答】解：（1）∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH；
（2）∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知：，
∴∠BAD=∠CAD，
∵，
∴∠ABC=∠ADC，
∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，
∴∠ACD=∠APB，
（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，
∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND，
∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，
∴∠AND=180°﹣∠AND，
∴∠AND=90°，
∵tan∠ABC=，BN=3，
∴NQ=，
∴由勾股定理可求得：BQ=，
∵∠BNQ=∠QHD=90°，
∴∠ABC=∠QDH，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，
∵∠ERG=90°，
∴∠OED=∠GBN，
∴∠GBN=∠ABC，
∵AB⊥ED，
∴BG=BQ=，GN=NQ=，
∵AI是⊙O直径，
∴∠ACI=90°，
∵tan∠AIC=tan∠ABC=，
∴=，
∴IC=10，
∴由勾股定理可求得：AI=25，
连接OB，
设QH=x，
∵tan∠ABC=tan∠ODE=，
∴，
∴HD=2x，
∴OH=OD﹣HD=﹣2x，
BH=BQ+QH=+x，
由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，
∴（）2=（+x）2+（﹣2x）2，解得：x=或x=，
当QH=时，
∴QD=QH=，
∴ND=QD+NQ=6，
∴MN=3，MD=15
∵MD＞，
∴QH=不符合题意，舍去，
当QH=时，
∴QD=QH=
∴ND=NQ+QD=4，
由垂径定理可求得：ED=10，
∴GD=GN+ND=
∴EG=ED﹣GD=，
∵tan∠OED=，
∴，
∴EG=RG，
∴RG=，
∴BR=RG+BG=12
∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
11．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即
可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．
【解答】（1）证明：连接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴=即=，
解得R=3，
∴⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四边形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．
12．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH
∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出
BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2=EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，
∴EA===8，
∵，
∴BE=CE=6，
∵CE2=EH•EA，
∴EH==，
在Rt△BEH中，BH===．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
13．（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
【分析】（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．
（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．
（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．
【解答】解：（1）如图①，连接OQ．
∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，
∴OQ⊥OP．
又∵BP=OB=OQ=2，
∴PQ===2，即PQ=2；
（2）OQ⊥AC．理由如下：
如图②，连接BC．
∵BP=OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC=CQ，
∴点C是PQ的中点，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ．
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC．
（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，
解得PQ=2．
【点评】本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．
14．（2015•宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点
E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且
AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；
（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．
【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴，
∴EA•EC=EB•ED；
（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F
∵B是弧AC的中点，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．
又∵AD为⊙O直径，
∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△ABD．
∴，故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•BC；
（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，
∴AF为⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
过O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴，
∴BC=DF=4．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15．（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
【分析】（1）由点A（，0）与点B（0，﹣），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB 是直径，继而求得⊙M的半径；
（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；
（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC 是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），
∴OA=，OB=，
∴AB==2，。