辽宁省部分重点中学协作体2018年高三模拟考试理科数学试题(解析版)

2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：检验集合中元素是否为集合中的元素，即可得到结果.
详解：因为成立，所以属于集合，属于集合，又因为不成立，不成立，所以不属于集合，不属于集合，综上可得，故选C.
点睛：本题主要考查集合与元素的关系以及集合交集的定义，意在考查对基本概念的掌握，属于简单题.
2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】分析：先利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求出的坐标，进而可得结果.
详解：，
在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和
以及运算的准确性，否则很容易出现错误.
3. 中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意知斜边为,设内切圆半径为,由三角形面积公式得,解得,故落在
圆外的概率为,所以选.
4. 在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（）
A. 圆面
B. 矩形面
C. 梯形面
D. 椭圆面或部分椭圆面
【答案】C
【解析】分析：分别将圆桶柱竖放、斜放、平放观察(想象)圆柱桶内的水平面的几何形状，即可得结果.
详解：将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.
点睛：本题主要考查空间想象能力与抽象思维能力，属于简单题.
5. 若实数满足，则的最大值为（）
A. -3
B. -4
C. -6
D. -8
【答案】B
【解析】分析：由约束条件作出可行域，令，化为，
，平移直线，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得的最大值为.
详解：
作出表示的可行域，如图，
由，得，
令，化为，
平移直线由，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为，故选B.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点
（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6. 已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.
详解：以为原点，以为轴，建立坐标系，
为边长为的正三角形，，
，
，
，故选C.
点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.
7. 下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，其中底面，
底面直角三角形，线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质可得结论.
详解：
由三视图可知，该几何体为一个如图所示的三棱锥，其中底面，
底面是一个三边分别为的三角形，，
由，可得，
又底面，，
平面，，
因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为，故选D.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8. 已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的图象恒在直线的上方,即恒成立，
当k=0时，的取值范围是.
故答案为：C.
9. 如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据所给程序框图，求出每次执行循环体后得到的的值，当时退出循环体，此时就可以得出判断框中的条件.
详解：第一次循环，不输出，的值不满足判断框的条件；
第二次循环，不输出，即的值不满足判断框的条件；
第三次循环，输出，即的值满足判断框的条件，故判断框中的条件是，故选A.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 10. 函数，若，，，则有（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，
时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出
大小关系.
详解：，在上为减函数，
且时，时，，
且，，
且，
且，，
在上单调递减，
，
即，故选D.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用
11. 直线与圆有公共点，则的最大值为（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】分析：由可得，换元、配方后利用二次函数求解即可.
详解：因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于半径，可得，
由，
，
，，
设，则，
由二次函数的性质可得时，，故选B.
点睛：本题主要考查曲直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.
12. 已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于
有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..
详解：因为
所以函数，
若有且仅有两个整数，使得，
等价于有两个整数解，
设，
令，
令恒成立，单调递减，
又，存在，
使递增，递减，
若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，
故只需，故选B.
点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为
有解（即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
（1）高一学生人数多于高二学生人数；
（2）高二学生人数多于高三学生人数；
（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为__________．
【答案】18
【解析】分析：设高二学生人数为，高三学生人数为，根据题意列不等式，根据不等式的解为整数，可得符合条件的有六组解，逐一验证，即可得结果.
详解：设高二学生人数为，高三学生人数为，
则
由②可知，，
结合①可知，，共有种，
取法，
逐一代入②验证，可得只有满足，，
该志愿者服务队总人数为人，故答案为.
点睛：本题主要考查分类讨论思想、不等式的应用以及整数解的问题，求解整数解得的问题，往往根据不等关系初步判断出有限个（组）解，然后逐一验证排除即可.
14. 若，则__________．
【答案】
【解析】分析：根据展开式的通项，求出、的值，从而可得结果.
详解：展开式通项为，
时，，
时，，
，故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15. 在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为
__________．
【答案】
【解析】分析：由，两边平方可求的值，进而可求角的值，然后利用正弦定理，可求，进而可求.
详解：由，两边平方可得，
，，即，
，
又，
在中，由正弦定理得，
，解得，
又。

，故答案为.
点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
16. 已知是双曲线的左焦点，过点倾斜角为30°的直线与的两条渐近线依次交于
两点，若，则的离心率为__________．
【答案】2
【解析】分析：直线方程为，与渐近线方程联立可求得，，由可得
，从而可得结果.
详解：直线过左焦点，倾斜角为30°，
直线方程为，
由，得，
由，得，
由，得，
即，
，故答案为.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知等差数列满足，数列的前项和记为，且.
（1）分别求出的通项公式；
（2）记，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）由可得，时，也适合，故，先求出公差，即可可得；（2）由（1）知即，利用裂项相消法可求得的前项和. 详解：（1）因为所以当时，；
当时，
所以，故
设，则
所以，则
所以
因此，即
（2）由（1）知即
所以
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是
根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）
；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18. 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：
（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入；
（2）在2011年至2017年中随机选取三年，记表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数，求的分布列和.
【答案】(1) ,时，;(2)见解析.
【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，将样本中心点
的坐标代入线性回归方程为，可得，从而可得回归方程，将代入回归方程可得结果；(2)，
的可能取值为，利用组合知识，根据古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
详解：（1）由题，，
，
代入得，
当时，（千元）
(2)可取0，1，2，3.
，
则的分布列为：
则
点睛：本题主要考查回归方程的性质以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解分布列与数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，底面，分别是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）设二面角为30°，且，，求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】分析：（1）取中点，连结，由三角形中位线定理可得，且，再结合平
行四边形的性质可得四边形是平行四边形，于是，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）由
底面，结合勾股定理可得两两互相垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，求出两平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程求得，利用棱锥体积公式可得结果. 详解：（1）取中点，连结.
因为是中点，所以且
又因为且，且是的中点，
所以且.所以四边形是平行四边形.
于是.又平面，平面
因此平面.
（2）四棱锥底面是平行四边形，且，
所以，又因为，
所以两两互相垂直
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
连结，由.是中点.
又平面.又平面.
即平面的法向量.设，所以.
设平面的法向量为.
由，
.
令.由二面角为
所以，即，解得
所以四棱锥的体积
.
点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、二面角、棱锥体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证
明的.
20. 已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.
【解析】分析：(1)由，可得，根据椭圆定义，可得，从而可得，进而可得椭圆的方程；(2)设直线，，由消去y得
，由，可得，结合韦达定理可得
.
详解：（1）由题意，，根据椭圆定义，
所以
所以，
因此，椭圆 .
（用待定系数法，列方程组求解同样给分）
（2）设直线，，由
消去y得
因为，所以
即，解得
所以，
点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21. 设函数在开区间内有极值.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，.求证：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】分析：函数在开区间内有极值，等价于在内有解，令
，因为，只需即可的结果；（2）问题转化为
，因为，，，所以
，利用导数研究函数的单调性求其最值，即可得结论.
详解：(1)或时，
由在内有解．令
不妨设，则，，
所以解得
(2)解:由或，
得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．
由，得，
由得，
所以.
因为，，
所以
因为（）
令
则
所以在上单调递增，
所以
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线的极坐标方程为
，曲线.
（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设点是曲线上的动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标.
【答案】（1）曲线参数方程为（为参数）；（2）点的直角坐标为.
【解析】分析：（1）由得，利用可得直线的直角坐标方程，
利用圆的几何性质可得曲线的参数方程；（2）利用参数方程可设，则点到直线的距离
为，利用三角函数的有界性可得结果.
详解：（1）由得，
所以直线，
由得，
曲线参数方程为（为参数）
（2）由（1）在上任取一点，
则点到直线的距离为
当，即时，
所以，点的直角坐标为．
点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：.
【答案】(1) 不等式的解集为;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）当时，求不等式即，再分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2），利用基本不等式可得结论. 试题解析：（1）当时，，原不等式等价于
或或
解得：或或，
所以不等式的解集为或.
（2）
.。