学案7：1.3 算法案例 第一课时

1.3 第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶
算法
学习目标
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．
基础知识
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法．
①算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步．
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL____
PRINT__
END
(2)更相减损术．
算法分析：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．
2．秦九韶算法
(1)概念：求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0
＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0
＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设v1＝__________，
v2＝v1x＋a n－2，
v3＝v2x＋a n－3，
…，
v n＝____________.
(2)算法步骤：
第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和x的值．
第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.
第三步，输入i次项的系数a i.
第四步，v＝vx＋a i，i＝____.
第五步，判断i是否大于或等于__．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值__．
(3)程序框图如图所示．
(4)程序：
INPUT“n＝”；n
INPUT“an＝”；a
INPUT“x＝”；x
v＝a
i＝n－1
WHILE______
PRINT“i＝”；i
INPUT“ai＝”；a
v＝________
i＝i－1
WEND
PRINT__
END
【做一做2】设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是()
A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都有
重点难点
1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系
剖析：如表所示．
辗转相除法更相减损术
区别①以除法为主．
②两个整数差值较大时运算次数
较少．
③相除余数为零时得结果.
①以减法为主．
②两个整数的差值较大时，运算次数较多．
③相减，差与减数相等得结果．
④相减前要做是否都是偶数的判断.
联系①都是求最大公约数的方法．
②二者的实质都是递归的过程．
③二者都要用循环结构来实现.
2．秦九韶算法是比较先进的算法
剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快.2003年2月26日，以色列科学家宣布研制出一台依靠DNA运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．
求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，通常是先计算a n x n，进行n次乘法运算；再计算a n－1x n－1，进行n－1次乘法运算；这样继续下去共进行n＋n－1＋…＋2＋1
＝n（n＋1）
2(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n次加法运算，总共进行
n（n＋1）
2＋n次运算．
但是用秦九韶算法时，改写多项式为
f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0
＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0
＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
…
＝(…((a n x＋a n－1)x＋…＋a2)x＋a1)x＋a0.
先计算v1＝a n x＋a n－1，需1次乘法运算，1次加法运算；
v2＝v1x＋a n－2，需1次乘法运算，1次加法运算；
…
v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．
所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算． 由于⎣⎡
⎦
⎤
n （n ＋1）2＋n －2n ＝
n （n －1）2≥0，则n （n ＋1）2＋n ≥2n . 因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法． 典型例题
题型一求最大公约数
【例题1】 (1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数； (2)用更相减损术求612与468的最大公约数．
跟踪训练1.分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．
题型二求多项式的值
【例题2】用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．
跟踪训练2.已知一个5次多项式为f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法 求这个多项式当x ＝5时的值． 题型三易错辨析
【例题3】已知f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，利用秦九韶算法求f (－2)的值．
跟踪训练3.用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．
当堂检测
1．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是()
A．24 B．18 C．12 D．6
2．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为()
A．6,6 B．5,6 C．6,5 D．6,12
3．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________．
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值为________．5．用辗转相除法求242与154的最大公约数．
参考答案
基础知识
【答案】1．(1)①0二③r＝0m(2)偶数2减大小
【做一做1】用2约简由于294和84都是偶数，先用2约简．
【答案】2．(1)一次n n a n x＋a n－1v n－1x＋a0(2)i－10v(4)i＞＝0v x＋a v 【做一做2】【答案】D
【例题1】解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．
1 785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，但它们还都是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得
153－117＝36，
117－36＝81，
81－36＝45，
45－36＝9，
36－9＝27，
27－9＝18，
18－9＝9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36.
跟踪训练1.解：辗转相除法：
319÷261＝1(余58)，
261÷58＝4(余29)，
58÷29＝2(余0)，
所以319与261的最大公约数为29.
更相减损术：
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
【例题2】解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以有
v0＝7；
v1＝7×3＋6＝27；
v2＝27×3＋5＝86；
v3＝86×3＋4＝262；
v4＝262×3＋3＝789；
v5＝789×3＋2＝2 369；
v6＝2 369×3＋1＝7 108；
v7＝7 108×3＝21 324.
故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324. 跟踪训练2.解：将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：
v0＝4；
v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
∴当x＝5时，多项式的值等于14 130.2.
【例题3】解：f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；
v2＝－6×(－2)＋2＝14；
v3＝14×(－2)＋4＝－24；
v4＝－24×(－2)＋2＝50.
故f(－2)＝50.
跟踪训练3.解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x
所以有
v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324.
故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
当堂检测
1．【解析】先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.
【答案】D
2．【解析】改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．
【答案】A
3．【解析】3 869＝2 628×1＋1 241第一步：6 497＝3 869×1＋2 628，
第二步：3 869＝2 628×1＋1 241.
【答案】3 869＝2 628×1＋1 241
4．【解析】改写多项式为f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝1×(－2)＋1＝－1；
故f(－2)＝－1.
【答案】－1
5．解：242＝154×1＋88，
154＝88×1＋66，
88＝66×1＋22，
66＝22×3.
所以242与154的最大公约数是22.。