八年级上期中数学试卷含解析

2016-2017学年四川省自贡市富顺县童寺学区八年级（上）
期中数学试卷
一．选择题（每题4分，共40分．）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
3．已知点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为点B，则点B的坐标（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
4．下列运算中，正确的是（）
A．（x2）3=x5B．x2+x3=x5
C．（x﹣y）2（y﹣x）3=（x﹣y）5D．x2•x3=x5
5．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=85°，∠B=65°，则∠CAD度数为（）
A．85°B．65°C．40°D．30°
6．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）
A．68°B．32°C．22°D．16°
7．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是（）
A．45°B．60°C．50°D．55°
8．如图，∠MON=60°，且OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）
A．16 B．12 C．8 D．4
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（）°．
A．60°B．45°C．30°D．15°
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为．
12．若3x=4，3y=5，则3x+2y的值为．
13．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，AB=8cm，
AD=4cm，则图中阴影部分的面积是cm．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．
15．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论正确的是．
①P在∠A的平分线上；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP．
16．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP 的长是．
三、解答题（每小题5分，共10分）
17．a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
18．如图，点B，E，F，C在一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
四、解答题（每小题6分，共24分）
19．电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
20．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．
21．如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
五、解答题（23小题10分，24小题12分，共22分）
23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD，过点D作DH⊥AB于H．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：点H是AE的中点．
24．如图，已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EF⊥BC交AB于D，交CA 的延长线于F，问：
（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；
（2）若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．
2016-2017学年四川省自贡市富顺县童寺学区八年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题4分，共40分．）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4=5，9+4=13．
∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
3．已知点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为点B，则点B的坐标（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：∵点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为点B，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣3）．
故选B．
4．下列运算中，正确的是（）
A．（x2）3=x5B．x2+x3=x5
C．（x﹣y）2（y﹣x）3=（x﹣y）5D．x2•x3=x5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、（x2）3=x6≠x5，本选项错误；
B、x2+x3≠x5，本选项错误；
C、（x﹣y）2（y﹣x）3=﹣（x﹣y）5≠（x﹣y）5，本选项错误；
D、x2•x3=x5，本选项正确．
故选D．
5．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=85°，∠B=65°，则∠CAD度数为（）
A．85°B．65°C．40°D．30°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵∠BAC=85°，∠B=65°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，
=180°﹣85°﹣65°，
=180°﹣150°，
=30°．
故选D．
6．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）
A．68°B．32°C．22°D．16°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵CD=CE，
∴∠D=∠DEC，
∵∠D=74°，
∴∠C=180°﹣74°×2=32°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=32°．
故选B．
7．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是（）
A．45°B．60°C．50°D．55°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∵AB=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB=2∠E，
∵∠A=105°，
∴∠B+∠E=75°，
∴∠B=50°，
故选：C．
8．如图，∠MON=60°，且OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．
【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=4，
∴PQ=PA=4，
故选D．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）
A．16 B．12 C．8 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=
∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S
△AEB =S
△AFD
，那么它们都加上四边形ABCF
的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S
△AEB =S
△AFD
，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．
故选：A．
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（）°．
A．60°B．45°C．30°D．15°
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【分析】连接BD交MN于P′，如图，利用两点之间线段最短可得到此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，然后根据正方形的性质求出∠P′CD的度数即可．【解答】解：连接BD交MN于P′，如图，
∵MN是正方形ABCD的一条对称轴，
∴P′B=P′C，
∴P ′C +P ′D=P ′B +P ′D=BD ，
∴此时P ′C +P ′D 最短，即点P 运动到P ′位置时，PC +PD 最小，
∵点P ′为正方形的对角线的交点，
∴∠P ′CD=45°．
故选B ．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷45=8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
12．若3x =4，3y =5，则3x +2y 的值为 100 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】将3x +2y 变形为3x ×（3y ）2，然后代入求解即可．
【解答】解：原式=3x ×（3y ）2
=4×52
=100．
故答案为：100．
13．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、
F 是AD 上的 两点，AB=8cm ，
AD=4cm ，则图中阴影部分的面积是 8 cm ．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形性质求出BD=DC ，AD ⊥BC ，推出△CEF 和△BEF 关于直线AD
对称，得出S △BEF =S △CEF ，根据图中阴影部分的面积是S △ABC 求出即可．
【解答】解：∵AB=AC ，BC=4，AD 是△ABC 的中线，
∴BD=DC=BC=4，AD ⊥BC ，
∴△ABC 关于直线AD 对称，
∴B 、C 关于直线AD 对称，
∴△CEF 和△BEF 关于直线AD 对称，
∴S △BEF =S △CEF ，
∵△ABC 的面积是：×BC ×AD=×8×4
=16，
∴图中阴影部分的面积是S △ABC =8．
故答案为：8
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 65°或25° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD ⊥CD ，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
15．如图，△ABC 为等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论正确的是 ①②③ ．
①P 在∠A 的平分线上；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，再根据AQ=PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA=∠QAR，即可推出②正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B，便可推出结论③．
【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∵P在∠A的平分线上，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠PAR
∴QP∥AR，故②正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，
∵，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③都正确，
故答案为：①②③．
16．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP 的长是6．
【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．
【分析】根据∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
【解答】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD，
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），
即AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6．
故答案为6．
三、解答题（每小题5分，共10分）
17．a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算a3•a4•a，再根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算（a2）4，再根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算（﹣2a4）2．最后算加减即可．
【解答】解：原式=a3+4+1+a2×4+4a8，
=a8+a8+4a8，
=6a8．
18．如图，点B，E，F，C在一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE，
∴∠A=∠D．
四、解答题（每小题6分，共24分）
19．电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】由条件可知发射塔要再两条高速公路的夹角的角平分线和线段AB的中垂线的交点上，分别作出夹角的角平分线和线段AB的中垂线，找到其交点就是发射塔修建位置．【解答】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置．
20．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质可得∠BAF=∠B=30°，进而可得∠FAC=90°，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=90°，
∵BF=5cm，
∴AF=5cm，
∴FC=10cm．
21．如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线．
【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE=CE，OE=OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
五、解答题（23小题10分，24小题12分，共22分）
23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD，过点D作DH⊥AB于H．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：点H是AE的中点．
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一，可得∠DAB=30°，根据∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．
（2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
【解答】（1）解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DAB=∠BAC=×60°=30°，∠ABC=60°，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠E，
∵∠ABC=∠BDE+∠E，
∴∠BDE=∠E=30°，
∴∠BAD=30°，∠BDE=30°．
（2）证明：由（1）可知，∠DAB=∠E=30°
∴AD=ED，△ADE为等腰三角形，
又∵DH⊥AE，
∴H是AE的中点．
24．如图，已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EF⊥BC交AB于D，交CA 的延长线于F，问：
（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；
（2）若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两锐角互余的性质不难推出∠F 与∠ADF的关系．
【解答】解：（1）∠F=∠ADF
理由：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵EF⊥BC
∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°
∴∠BDE=∠F
∵∠ADF=∠BDE
∴∠ADF=∠F；
（2）成立
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵∠ACB=∠ECF
∴∠B=∠ECF
∵EF⊥BC
∴∠B+∠BDE=90°，∠ECF+∠F=90°
∴∠BDE=∠F
即∠ADF=∠F．
2016年11月19日。