清丰县四中八年级数学上册 第4章 一元一次不等式(组)4.3 一元一次不等式的解法第2课时 在数轴上
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【教材P67]
解 ∵ AC 是∠DAB 的平分线 , ∴点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 AD 的 距离 , 故点 P 到 AB 的距离是 4 cm .
随堂练习
【选自【创优作业]]
1. 如下图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm,
2. 一只甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFGABCD …
3. 的顺序沿菱形的边循环爬行,当甲虫爬行2020 cm
4. 时停下,那么它停下的位置是C 〔 〕
5. A. 点 F
B. 点 E
6. C. 点 A
D. 点 C
【选自【创优作业]]
2. 如下图, 在菱形 ABCD 中, AB 的垂直平分线 EF 交
対角线 AC 于点 F , 垂足为 E , 连接 DF．假设
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
AБайду номын сангаас
D
①菱形的边、角、対角线具有哪些性质 ？
②它是中心対称图形吗 ？
O
➢ 菱形的四条边相等. ➢ 菱形的対角相等.
B
C
➢ 菱形的対角线互相平分.
➢ 菱形是中心対称图形 , 対角线的交点是它的対称中心.
如下图 , 四边形 ABCD 是菱形 , 対角线 AC , DB
相交于点 O. 対角线 AC⊥ DB 吗 ？你的理由是什么 ？ ∵ 四边形 ABCD是菱形 , ∴ DA = DC. ∴ 点 D 在线段 AC 的垂直平分线上. 又点 O 为线段 AC 的中点 , ∴ 直线 DO〔即直线 DB 〕是线段 AC 的垂直平分线 , ∴ AC⊥DB.
(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
〔2〕解: 假设AB ＝12 cm,那么 EF12＝ AB ＝6 cm. 所以菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
课堂小结
菱形的定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 菱形的性质 :
➢ 菱形的四条边相等. ➢ 菱形的対角相等. ➢ 菱形的対角线互相垂直且平分. ➢ 菱形是中心対称图形 , 対角线的交点是它的対称中心. ➢ 菱形是轴対称图形 , 两条対角线所在直线都是它的対称轴.
【教材P67]
所以, A B = O A 2 O B 2 = 2 2 1 . 5 2 = 6 . 2 5 = 2 . 5 ( c m ) .
因此 , 菱形 ABCD 的周长为4×2.5=10〔cm〕.
练习
1. 菱形 ABCD 的两条対角线的交点为 O. 已知 AB=5cm ,
OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的两条対角线的长度以及它
故S菱形ABCD=
1A C B D 18624cm 2.
2
2
所以菱形ABCD的两条対角线的
长度分别是8cm , 6cm , 它的面积
为24 cm2.
2. 如下图 , 点 P 是菱形 ABCD 的対角线 AC 上一点 , PE⊥AD 于点 E , PE = 4 cm , 求点 P 到 AB 的距离.
所以OA=OC , OB=OD , AC⊥BD , AB=AD=BC=CD.
又因为∠BAD ＝60°,所以△ABD 是等边三角形.
因为菱形 ABCD 的边长为2 cm , 所以 BD ＝2 cm ,
所以
OD
＝
1 2
BD
＝
1 2
×2＝1
(cm).
在 Rt△AOD 中,由勾股定理, 得
O A =A D 2-O D 2=2 2-1 2=3 c m
三、解答题(共 35 分) 14．(6 分)解不等式x＋2 1 －1＜x－2x＋3 3 把解集在数轴上表示出来， 并写出它的最大整数解．
解 : 去分母 , 得3x＋3－6＜6x－4x－6 , 移项合并得x＜－3 , 那么不等式的最大整数解为－4
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
如下图 , 菱形 ABCD 的两条対角线 AC , BD
的长度分别为 4 cm , 3 cm , 求菱形 ABCD 的面积和周
长解. 菱形 ABCD 的面积为
S=1 2×4×3=6(cm 2) .
在 Rt△ABO 中 ,
OA=12AC=12× 4=2(cm), OB=12BD=12× 3=1.5(cm),
∠CDF ＝24°, 那么∠DABB等于〔 〕
3. A. 100°
B. 104°
4. C. 105°
D. 110°
3. 如下图 , 四边形 ABCD 是菱形 , 边长为 2 cm , ∠BAD = 60° , 求菱形 ABCD 的两条対角线 的长度以及它的面积. 【教材P70]
解 : 因为四边形ABCD是菱形 ,
7．(3分)假设代数式4x－5的值是负数 , 那么正整数x的值1为___．
8．(6分)(宜宾模拟)求10－4(x－3)≥2(x－1)的非负整数解 , 并在数轴上表示其解集． 解 : 解不等式得x≤4 , 故它的非负整数解为0 , 1 , 2 , 3 , 4. 其解集在数轴上表示略
9．在实数范围内定义新运算：a△b＝a·b－b＋1， 则不等式 3△x≤3 的非负整数解为( D ) A.－1，0 B．1 C．0 D．0，1 10．已知代数式a－3 2 与a＋2 3 的和小于56 a，则 a 的取值范围是( C )
3．(3分)关于x的不等式x－a≤2的解集如以下图 , 那么a＝－_3____．
4．(16 分)解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)(崇左中考)2x－3<x＋3 1 ；
解 : (1)x<2 解集在数轴上表示略 (2)(三明中考)2(x－2)<1－3x；
解 : (2)x<1 解集在数轴上表示略
考试加油!奥利给~
菱形的性质
新课导入
将一张矩形的纸対折 , 然后沿着图中的虚线剪下 , 猜 猜看 , 打开是个什么图形 , 自己动手做一做.
观察图中的平行四边形 , 它们有什么特点 ？ 它们的邻边相等.
A
D
A
D
平行四边形
一组邻边相等
菱形
B
C
B
C
菱形 : 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
菱形是特殊的平行四边形 , 思考 :
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
所以 AC = 2OA = 2 3 cm.
故 S菱形ABCD1A =C B D =1232=23
2
2
(cm2)
【教材P70]
4. 如下图 , 在△ABC 中 , AB =AC , D , E , F 分 别是 AB , BC , AC 边的中点．
5. 〔1〕求证 : 四边形 ADEF 是菱形 ; 6. 〔2〕假设 AB = 12 cm , 求菱形 ADEF 的周
(3)(2019·攀枝花)x－5 2 －x＋2 4 ＞－3； 解 : (3)x＜2 解集在数轴上表示略
(4)(临淄区模拟)3－2 x －(x－1)≤5＋4 x .
解：(4)x≥57 解集在数轴上表示略
5．(3分)不等式2x>－3的最小整数解是(A ) A.－1 B．0 C.2 D．3 6．(3分)(崇州区模拟)不等式3(x－2)<7的正整数解有(C ) A.2个 B．3个 C.4个 D．5个
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
15．(6 分)已知代数式2x＋2 3 的值不大于－x－5＋x＋5 1 的值， 求 x 的最大负整数值．
解：由题意得2x＋ 2 3 ≤－x－5＋x＋5 1 ，解得 x≤－72 ， 故 x 的最大负整数值为－4
16．(7 分)(2019·常德中考改编)先化简，再求值：
长．
〔1〕证明: 因为 D, E, F, 分别是 AB, BC, AC 的中点,
所以 DE, EF 是△ABC 的中位线.
所以 DE∥AC, DE ＝
1 2
AC,
EF∥AB,
EF
＝
1 2
AB.
所以四边形 ADEF 是平行四边形.
又因为AB ＝AC,所以 DE ＝ EF. 所以 □ ADEF 是菱形
如下图 , 你能利用菱形的性质说明菱形 ABCD
的 S = 1 AC· BD
D
面积 2
吗？
∵ S= S + S 菱 形 A B C D A D C A B C
A
C
又 AC⊥DB〔菱形的対角线互相垂直〕 ,
O
∴S菱形ABCD
=
1 2
ACDO+
1 2
ACBO
B
=
1 2
AC(DO+BO)
=
1 2
ACBD.
【素养提升] 18．(8分)已知关于x的不等式x＋8<4x＋m只有三个负整数解 , 求出这三个负整数解 , 并写出一个符合条件的m的值．
解：解不等式得
8－m x> 3
，由题意得，这三个负整数解是－3，－2，－1，
则－4≤8－3 m ＜－3，解得 17＜m≤20，m 的取值不唯一，如 20
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x－1 (x2＋x
－xx2－－31
2x2＋x＋1 )÷( x2－x
－1).请从不等式x－2 2
≤7＋3 x
－3 的
自然数解中选择一个你喜欢的，并代入求值．
解：化简分式得原式＝（x＋11）2 ，解不等式得 x≤2.
∴自然数解 x 值为 0，1，2. ∵当 x＝0，1 时，分式无意义
∴当 x＝2 时，原式＝（2＋11）2 ＝19
把图中的菱形 ABCD 沿直线 DB 対折
〔即作关于直线 DB 的轴反射〕 ,
D
点 A 的像是_点__C__ , 点 C 的像是__点__A_ , A
C
O
点 D 的像是_点__D__ , 点 B 的像是_点___B_ ,
边 AD 的像是_边__C__D__ , 边 CD 的像是__边__A_D_ ,
x＋2y＝5m， 17．(8 分)已知关于 x，y 的二元一次方程组2x＋y＝7m－32 的解
满足 y－2x＞－4m，求正整数 m 的值．
解：解方程组得 x＝3m－1，y＝2m2＋1 ， 代入到 y－2x＞－4m 中， 得2m2＋1 －(6m－2)＞－4m， 解得，m＜2.5. ∴正整数 m 的值为 1 或 2
第4章 一元一次不等式(组)
4．3 一元一次不等式的解法
第2课时 在数轴上表示不等式的解集
1．(3分)用不等式表示如下图的解集 , 准确的选项是C哪一项：( ) A.x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
．(3分)(2019·大连)不等式5x＋1≥3x－1的解集在数轴上表示准确的选项是哪一项B：(
A.a＞－12 C.不存在
B．a＜12 D．一切实数
11．当a＝_1_时 , 关于x的不等式2x－a>－3的解集如下图． 12．假设不等式5(x－2)＋8<6(x－1)＋7的最小整数解是方程2x－ax＝3的解 ,
7 那么a的值为2_____．
13．(易错题)如下图 , 要使输出值y大于100 , 那么输入的最小正整数x是__2_1．
B
边 AB 的像是__边__C_B__ , 边 CB 的像是__边__A__B_.
菱形是轴対称图形 , 两条対角线所在直线都是它的対称轴.
平行四边形的性质 对边相等 对角相等
对角线互相平分
矩形的性质
菱形的性质
対边相等
四边相等
四个角都是直角
対角相等
対角线互相 平分且相等
两条対角线互相垂 直平分 , 并且每 一条対角线平分一 组対角
的面积. 【教材P67] 解 : 如右图所示. ∵四边形ABCD是菱形 , ∴AC⊥BD , ∴∠AOB=60°. ∵OB=3cm , AB=5cm , 在Rt△AOB中 , 由勾股定理 ,
得AO= A B 2 O B 2=5 2 3 2= 4 (c m ).
故AC=2OA=8cm , BD=2OB=6cm.
解 ∵ AC 是∠DAB 的平分线 , ∴点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 AD 的 距离 , 故点 P 到 AB 的距离是 4 cm .
随堂练习
【选自【创优作业]]
1. 如下图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm,
2. 一只甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFGABCD …
3. 的顺序沿菱形的边循环爬行,当甲虫爬行2020 cm
4. 时停下,那么它停下的位置是C 〔 〕
5. A. 点 F
B. 点 E
6. C. 点 A
D. 点 C
【选自【创优作业]]
2. 如下图, 在菱形 ABCD 中, AB 的垂直平分线 EF 交
対角线 AC 于点 F , 垂足为 E , 连接 DF．假设
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
AБайду номын сангаас
D
①菱形的边、角、対角线具有哪些性质 ？
②它是中心対称图形吗 ？
O
➢ 菱形的四条边相等. ➢ 菱形的対角相等.
B
C
➢ 菱形的対角线互相平分.
➢ 菱形是中心対称图形 , 対角线的交点是它的対称中心.
如下图 , 四边形 ABCD 是菱形 , 対角线 AC , DB
相交于点 O. 対角线 AC⊥ DB 吗 ？你的理由是什么 ？ ∵ 四边形 ABCD是菱形 , ∴ DA = DC. ∴ 点 D 在线段 AC 的垂直平分线上. 又点 O 为线段 AC 的中点 , ∴ 直线 DO〔即直线 DB 〕是线段 AC 的垂直平分线 , ∴ AC⊥DB.
(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
〔2〕解: 假设AB ＝12 cm,那么 EF12＝ AB ＝6 cm. 所以菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
课堂小结
菱形的定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 菱形的性质 :
➢ 菱形的四条边相等. ➢ 菱形的対角相等. ➢ 菱形的対角线互相垂直且平分. ➢ 菱形是中心対称图形 , 対角线的交点是它的対称中心. ➢ 菱形是轴対称图形 , 两条対角线所在直线都是它的対称轴.
【教材P67]
所以, A B = O A 2 O B 2 = 2 2 1 . 5 2 = 6 . 2 5 = 2 . 5 ( c m ) .
因此 , 菱形 ABCD 的周长为4×2.5=10〔cm〕.
练习
1. 菱形 ABCD 的两条対角线的交点为 O. 已知 AB=5cm ,
OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的两条対角线的长度以及它
故S菱形ABCD=
1A C B D 18624cm 2.
2
2
所以菱形ABCD的两条対角线的
长度分别是8cm , 6cm , 它的面积
为24 cm2.
2. 如下图 , 点 P 是菱形 ABCD 的対角线 AC 上一点 , PE⊥AD 于点 E , PE = 4 cm , 求点 P 到 AB 的距离.
所以OA=OC , OB=OD , AC⊥BD , AB=AD=BC=CD.
又因为∠BAD ＝60°,所以△ABD 是等边三角形.
因为菱形 ABCD 的边长为2 cm , 所以 BD ＝2 cm ,
所以
OD
＝
1 2
BD
＝
1 2
×2＝1
(cm).
在 Rt△AOD 中,由勾股定理, 得
O A =A D 2-O D 2=2 2-1 2=3 c m
三、解答题(共 35 分) 14．(6 分)解不等式x＋2 1 －1＜x－2x＋3 3 把解集在数轴上表示出来， 并写出它的最大整数解．
解 : 去分母 , 得3x＋3－6＜6x－4x－6 , 移项合并得x＜－3 , 那么不等式的最大整数解为－4
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
如下图 , 菱形 ABCD 的两条対角线 AC , BD
的长度分别为 4 cm , 3 cm , 求菱形 ABCD 的面积和周
长解. 菱形 ABCD 的面积为
S=1 2×4×3=6(cm 2) .
在 Rt△ABO 中 ,
OA=12AC=12× 4=2(cm), OB=12BD=12× 3=1.5(cm),
∠CDF ＝24°, 那么∠DABB等于〔 〕
3. A. 100°
B. 104°
4. C. 105°
D. 110°
3. 如下图 , 四边形 ABCD 是菱形 , 边长为 2 cm , ∠BAD = 60° , 求菱形 ABCD 的两条対角线 的长度以及它的面积. 【教材P70]
解 : 因为四边形ABCD是菱形 ,
7．(3分)假设代数式4x－5的值是负数 , 那么正整数x的值1为___．
8．(6分)(宜宾模拟)求10－4(x－3)≥2(x－1)的非负整数解 , 并在数轴上表示其解集． 解 : 解不等式得x≤4 , 故它的非负整数解为0 , 1 , 2 , 3 , 4. 其解集在数轴上表示略
9．在实数范围内定义新运算：a△b＝a·b－b＋1， 则不等式 3△x≤3 的非负整数解为( D ) A.－1，0 B．1 C．0 D．0，1 10．已知代数式a－3 2 与a＋2 3 的和小于56 a，则 a 的取值范围是( C )
3．(3分)关于x的不等式x－a≤2的解集如以下图 , 那么a＝－_3____．
4．(16 分)解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)(崇左中考)2x－3<x＋3 1 ；
解 : (1)x<2 解集在数轴上表示略 (2)(三明中考)2(x－2)<1－3x；
解 : (2)x<1 解集在数轴上表示略
考试加油!奥利给~
菱形的性质
新课导入
将一张矩形的纸対折 , 然后沿着图中的虚线剪下 , 猜 猜看 , 打开是个什么图形 , 自己动手做一做.
观察图中的平行四边形 , 它们有什么特点 ？ 它们的邻边相等.
A
D
A
D
平行四边形
一组邻边相等
菱形
B
C
B
C
菱形 : 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
菱形是特殊的平行四边形 , 思考 :
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
所以 AC = 2OA = 2 3 cm.
故 S菱形ABCD1A =C B D =1232=23
2
2
(cm2)
【教材P70]
4. 如下图 , 在△ABC 中 , AB =AC , D , E , F 分 别是 AB , BC , AC 边的中点．
5. 〔1〕求证 : 四边形 ADEF 是菱形 ; 6. 〔2〕假设 AB = 12 cm , 求菱形 ADEF 的周
(3)(2019·攀枝花)x－5 2 －x＋2 4 ＞－3； 解 : (3)x＜2 解集在数轴上表示略
(4)(临淄区模拟)3－2 x －(x－1)≤5＋4 x .
解：(4)x≥57 解集在数轴上表示略
5．(3分)不等式2x>－3的最小整数解是(A ) A.－1 B．0 C.2 D．3 6．(3分)(崇州区模拟)不等式3(x－2)<7的正整数解有(C ) A.2个 B．3个 C.4个 D．5个
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
15．(6 分)已知代数式2x＋2 3 的值不大于－x－5＋x＋5 1 的值， 求 x 的最大负整数值．
解：由题意得2x＋ 2 3 ≤－x－5＋x＋5 1 ，解得 x≤－72 ， 故 x 的最大负整数值为－4
16．(7 分)(2019·常德中考改编)先化简，再求值：
长．
〔1〕证明: 因为 D, E, F, 分别是 AB, BC, AC 的中点,
所以 DE, EF 是△ABC 的中位线.
所以 DE∥AC, DE ＝
1 2
AC,
EF∥AB,
EF
＝
1 2
AB.
所以四边形 ADEF 是平行四边形.
又因为AB ＝AC,所以 DE ＝ EF. 所以 □ ADEF 是菱形
如下图 , 你能利用菱形的性质说明菱形 ABCD
的 S = 1 AC· BD
D
面积 2
吗？
∵ S= S + S 菱 形 A B C D A D C A B C
A
C
又 AC⊥DB〔菱形的対角线互相垂直〕 ,
O
∴S菱形ABCD
=
1 2
ACDO+
1 2
ACBO
B
=
1 2
AC(DO+BO)
=
1 2
ACBD.
【素养提升] 18．(8分)已知关于x的不等式x＋8<4x＋m只有三个负整数解 , 求出这三个负整数解 , 并写出一个符合条件的m的值．
解：解不等式得
8－m x> 3
，由题意得，这三个负整数解是－3，－2，－1，
则－4≤8－3 m ＜－3，解得 17＜m≤20，m 的取值不唯一，如 20
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x－1 (x2＋x
－xx2－－31
2x2＋x＋1 )÷( x2－x
－1).请从不等式x－2 2
≤7＋3 x
－3 的
自然数解中选择一个你喜欢的，并代入求值．
解：化简分式得原式＝（x＋11）2 ，解不等式得 x≤2.
∴自然数解 x 值为 0，1，2. ∵当 x＝0，1 时，分式无意义
∴当 x＝2 时，原式＝（2＋11）2 ＝19
把图中的菱形 ABCD 沿直线 DB 対折
〔即作关于直线 DB 的轴反射〕 ,
D
点 A 的像是_点__C__ , 点 C 的像是__点__A_ , A
C
O
点 D 的像是_点__D__ , 点 B 的像是_点___B_ ,
边 AD 的像是_边__C__D__ , 边 CD 的像是__边__A_D_ ,
x＋2y＝5m， 17．(8 分)已知关于 x，y 的二元一次方程组2x＋y＝7m－32 的解
满足 y－2x＞－4m，求正整数 m 的值．
解：解方程组得 x＝3m－1，y＝2m2＋1 ， 代入到 y－2x＞－4m 中， 得2m2＋1 －(6m－2)＞－4m， 解得，m＜2.5. ∴正整数 m 的值为 1 或 2
第4章 一元一次不等式(组)
4．3 一元一次不等式的解法
第2课时 在数轴上表示不等式的解集
1．(3分)用不等式表示如下图的解集 , 准确的选项是C哪一项：( ) A.x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
．(3分)(2019·大连)不等式5x＋1≥3x－1的解集在数轴上表示准确的选项是哪一项B：(
A.a＞－12 C.不存在
B．a＜12 D．一切实数
11．当a＝_1_时 , 关于x的不等式2x－a>－3的解集如下图． 12．假设不等式5(x－2)＋8<6(x－1)＋7的最小整数解是方程2x－ax＝3的解 ,
7 那么a的值为2_____．
13．(易错题)如下图 , 要使输出值y大于100 , 那么输入的最小正整数x是__2_1．
B
边 AB 的像是__边__C_B__ , 边 CB 的像是__边__A__B_.
菱形是轴対称图形 , 两条対角线所在直线都是它的対称轴.
平行四边形的性质 对边相等 对角相等
对角线互相平分
矩形的性质
菱形的性质
対边相等
四边相等
四个角都是直角
対角相等
対角线互相 平分且相等
两条対角线互相垂 直平分 , 并且每 一条対角线平分一 组対角
的面积. 【教材P67] 解 : 如右图所示. ∵四边形ABCD是菱形 , ∴AC⊥BD , ∴∠AOB=60°. ∵OB=3cm , AB=5cm , 在Rt△AOB中 , 由勾股定理 ,
得AO= A B 2 O B 2=5 2 3 2= 4 (c m ).
故AC=2OA=8cm , BD=2OB=6cm.