分式方程

分式方程的应用
用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题
列方程解应用题的关键是确定等量关系。

那么，解题时应如何寻找等量关系呢？
1．从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。

这个商店原来有多少千克饺子粉？”根据题目叙述顺序我们很容易写出：原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量。

2．紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。

这些公式，是等量关系的具体化。

如“一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。

3．根据常见的数量关系确定等量关系。

常见的数量关系。

如，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。

这些常见的基本数量关系，就是等量关系。

4．抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。

解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数。

根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：桃树的棵数＋杏树的棵树＝180棵。

5．借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。

对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

如“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。

如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。

原来两袋大米各有多少千克？”
根据题意，可以画出下面的线段图。

从图中很容易得出：甲袋重量－乙袋重量＝5千克。

6．抓住“不变量”确定等量关系。

适合用正、反比例解答的应用题，我们可以根据题中的“比值一定”和“积一定”找等量关系。

常见的一些等量关系
1. 销售中的盈亏问题：
　（1）
（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)；
（3）实际售价＝标价×打折率；
（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损。

打
几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

2. 积分问题：
积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，得分也不一样，一般地，球赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分；知识竞赛得分＝对题得分＋错题得分＋不做题得分。

注意：从比赛的规则入手正确找出相等关系是列方程的关键。

3．行程问题：
（1）路程=速度×时间
（2）相遇路程=速度和×相遇时间
（3）追及路程=速度差×追及时间
（4）顺流速度=静水速度+水流速度
（5）逆流速度=静水速度－水流速度
（6）顺水速度－逆水速度＝2×水速。

4．形积变化中的方程
(1)相关公式
①长方体体积＝长×宽×高。

②圆柱体体积＝底面积×高。

③长方形面积＝长×宽；长方形周长＝2×(长＋宽)。

④圆的面积＝π×半径2；圆的周长＝直径×π。

(2)“等积变形”中常见的情况
①形状发生了变化，而体积没变。

②形状、面积发生了变化，而周长没变。

③形状、体积发生了变化，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系。

④形状、周长发生了变化，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。

(3)形积变化问题
形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。

注意：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出不变的，也就是找出等量关系列出方程。

5．工程问题：
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
6．银行存贷款问题：
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
7．数字问题：
已知各数位上的数字。

写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：a，b分别为一个两位数的个位上，十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b+a．
8．调配问题：
从调配后的数量关系中找等量关系，注意弄清调配对象流动的方向和数量．
9．浓度问题：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
浓度=
溶质质量=溶液质量×浓度．
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）分析题意．认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系：
（2）设未知数为x．合理选择未知数是解题的关键步骤之一．一般设题目里所求的未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x；
（3）列方程．根据所设的未知量x和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程；
（4）解方程．求未知数x的值；
（5）检验并答题．对方程的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题作出答案．
练习
1 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

2 . 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽
车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）
A. B. C. D.
3 . 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。

已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
4、（2007广西玉林课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（　Ｄ　）
Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天
5 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
6 某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进
价，利润率）
7、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。

已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。

求步行的速度和骑自行车的速度。

8 、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
9、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

⑴求这种纪念品4月份的销售价格。

⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？
答案
1 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

2 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。

又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为
3 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。

由题意，得
经检验
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。

4 。

D
5 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

6 、解：设这种计算器原来每个的进价为元， 1分
根据题意，得． 5分
解这个方程，得． 8分
经检验，是原方程的根． 9分
答：这种计算器原来每个的进价是40元． 10分
7 解：设步行速度是x千米/时，则
解，得x＝5
经检验：x＝5是原方程的解。

进尔4x＝20（千米/时）
答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。

8 解：⑴设她第一次在供销大厦买了x瓶酸奶，则
解，得x＝5
经检验：x＝5是原方程的解。

答：她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。

9 解：⑴设4月份销售价为每件x元，则
解，得x＝50
经检验：x＝50是原方程的解。

⑵4月份销售件数：2000÷50＝40（件）
每件进价：(2000－800)÷40＝30（元）
5月份销售这种纪念品获利：(2000＋700)－30×(40＋20) ＝900（元）
答：4月份销售价为每件50元，5月份销售这种纪念品获利900元。

回家作业
1、(2010福建宁德课改,10分)我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通
道温（州）福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）．
2、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以
2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．
3、（2010广西南宁课改，10分）南宁市2006年的污水处理量为10万吨/
天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高（污水处理率）．
（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？
（结果保留整数）
（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？
4、（2010广西玉林课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾
场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ）
Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3
天 Ｄ．2天
5、（2010河北课改，2分）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，
乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、（2010吉林长春课改，5分）张明与李强共同清点一批图书，已知张
明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．
7、（2010江苏南通课改，3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬
菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少
300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜kg，根据题意，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
8、（2010辽宁12市课改，8分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加
固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍．
你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的?
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
9、（2010辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区
绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
10、（2010山东济宁课改，3分）南水北调东线工程已经开工，某施工单
位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤m，则得方程为 ．
1、解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为小时． 1分
依题意，得． 5分
解这个方程，得． 8分
经检验是原方程的解． 9分
．
答：通车后火车从福州直达温州所用的时间约为1.64小
时． 10分
2、解：设每盒粽子的进价为x元，由题意得 1分
20%x×50（50）×5350 4分
化简得x210x12000 5分
解方程得x140，x230（不合题意舍去） 6分
经检验，x140，x230都是原方程的解，
但x230不合题意，舍去． 7分 答： 每盒粽子的进价为40元． 8分3、解：（1）设年平均每天的污水排放量为万吨，
则2007年平均每天的污水排放量为1.05x万吨，依题意得： 1分
4分
解得 5分
经检验，是原方程的解 6分 答：2006年平均每天的污水排放量约为56万吨，
2007年平均每天的污水排放量约为59万吨． 7分
（可以设2007年平均每天污水排放量约为x万吨，2007年的平均每天的污水排放量约为万吨）
（2）解： 8分
9分
答：2010年平均每天的污水处理量还需要在2007年的基础上至少增加万吨．
10分
4、Ｄ
5、D
6、解：设张明平均每分钟清点图书本，则李强平均每分钟清点本，
依题意，得． 3分
解得．
经检验是原方程的解．
答：张明平均每分钟清点图书20本． 5分注：此题将方程列为或其变式，同样得分．
7、C
8、解：设原来每天加固x米，根据题意，得 1分
． 3分
去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400） 5分
解得 ． 6分
检验：当时，（或分母不等于0）．
∴是原方程的解． 7分
答：该地驻军原来每天加固300米． 8分
9、解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需x天， ……………………
1分
根据题意，得　＋＝1 (4)
分
解这个方程，得x＝25
………………………………………6分
经检验，x＝25是所列方程的根
……………………………7分
当x＝25时，x＝20 …………………………………………
9分
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．
……………
10分
10、。