2021-2022学年浙江省温州市新力量联合体高一(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年浙江省温州市新力量联合体高一（上）期中数学
试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.
1．设集合A＝{x|x＞3}，则（）
A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A
2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．无法判断
3．下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A．f（x）＝|x|，
B．f（x）＝x，
C．f（x）＝x2，
D．f（x）＝x，
4．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+1＜0B．∀x∈R，x2+1≤0
C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＜0
5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
6．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y＝2|x|﹣x2（x∈R）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．若实数x、y满足2020x﹣2020y＜2021﹣x﹣2021﹣y，则（）
A．x﹣y＜0B．x﹣y＞0C．＜1D．＞1
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。

9．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，则（）A．A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}B．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}
C．A∩B＝{﹣1，0，1}D．A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}
10．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
11．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）
A．B．f（x）＝2x﹣2﹣x
C．D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（）
A．g（x）是偶函数B．f（x）是奇函数
C．f（x）在R上是增函数D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．函数f（x）＝+的定义域是．
14．已知幂函数的图象经过点（2，），则这个幂函数的解析式为．15．在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某城区在自查过程中各项指标显示为0＜x3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）
16．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。

请在答题卡指定区域内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．化简或求值：
（1）；
（2）已知5m＝2，5n＝3，求54m﹣3n的值．
18．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．
（1）当m＝1时，求∁R（A∩B）；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
19．已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），求实数a，b的值；
（2）当b＝0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
20．已知函数f（x）＝2x﹣a•2﹣x（x∈R，a是实常数）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明函数f（x）的单调性，并求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．21．由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8+（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143﹣|x﹣22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；
（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？
22．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k的定义域是[﹣1，+∞），令y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．
（1）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；
（2）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，kg（x5）＞g（x1）+g （x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x＞3}，则（）
A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A
【分析】根据集合A的元素的范围对应各个选项即可判断求解．
解：因为集合A＝{x|x＞3}，
则∅⊆A，且0∉A，2∉A，4∈A，
故选：D．
2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．无法判断
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
解：若a＝1，则|a|＝1，是充分条件，
若|a|＝1，则a＝±1，不是必要条件，
故选：A．
3．下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A．f（x）＝|x|，
B．f（x）＝x，
C．f（x）＝x2，
D．f（x）＝x，
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数f（x）＝|x|＝，x∈R，与函数g（x）＝，x∈R
的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，函数f（x）＝x，x∈R，与函数g（x）＝＝x，x∈[0，+∞）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，函数f（x）＝x2，x∈R，与函数g（x）＝＝x2，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，函数f（x）＝x，x∈R，与函数g（x）＝＝|x|，x∈R的对应关系不同，不是同一函数．
故选：A．
4．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+1＜0B．∀x∈R，x2+1≤0
C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＜0
【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定“∃x∈R，x2+1≤0”，
故选：C．
5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．
解：由题意＝
故选：C．
6．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
【分析】选项A，B、D都正确，但都不能用该图来解释，对于选项C，利用几何意义证明即可．
解：选项A，B、D都正确，但都不能用该图来解释，
对于选项C，∵直角三角形两直角边为a，b，∴其斜边为，
故a2+b2的几何意义是图中大正方形的面积，
2ab＝4×ab，表示了4个全等的直角三角形的面积之和，
由图可知，2ab≤a2+b2，
又∵对任意实数a和b，有2ab≤2|a||b|，
∴对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立，
故选项C可由该图解释．
故选：C．
7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y＝2|x|﹣x2（x∈R）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的值变化趋势即可求出．
解：令y＝f（x）＝y＝2|x|﹣x2，
f（﹣x）＝2|﹣x|﹣（﹣x）2＝2|x|﹣x2＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴称，故排除BD，
∵f（0）＝20﹣0＝1，故排除C，
故选：A．
8．若实数x、y满足2020x﹣2020y＜2021﹣x﹣2021﹣y，则（）
A．x﹣y＜0B．x﹣y＞0C．＜1D．＞1
【分析】条件即2020x﹣2021﹣x＜2021y﹣2021﹣y，由于f（t）＝2020t﹣2021﹣t＝2020t﹣是R上的增函数，f（x）＜f（y），可得结论．
解：实数x、y满足2020x﹣2020y＜2021﹣x﹣2021﹣y，
∴2020x﹣2021﹣x＜2021y﹣2021﹣y，
由于f（t）＝2020t﹣2021﹣t＝2020t﹣是R上的增函数，f（x）＜f（y），
∴x＜y，
故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。

9．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，则（）A．A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}B．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}
C．A∩B＝{﹣1，0，1}D．A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}
【分析】可求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可．
解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}．
故选：AD．
10．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
解：A．不一定成立；
B．由ac2＞bc2，则c2＞0，可得：a＞b．
C．不一定成立，例如a＝2，b＝﹣1．
D．a＞b，c＞d，即﹣d＞﹣c，则a﹣d＞b﹣c，成立．
故选：BD．
11．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）
A．B．f（x）＝2x﹣2﹣x
C．D．
【分析】根据“同族函数”分别进行判断即可．
解：A．f（x）是偶函数，当x∈[1，2]与x∈[﹣2，﹣1]时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，
B．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，且f（x）为增函数，不可能是“同族函数”，
C．f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，且当x＞0或x＜0时，分别为减函数，不可能是“同族函数”，
D．由对勾函数的性质知当0＜x＜1时f（x）为减函数，当x＞1时，f（x）为增函数，当x∈[1，2]与x∈[，1]时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，
故选：AD．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（）
A．g（x）是偶函数B．f（x）是奇函数
C．f（x）在R上是增函数D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝﹣＝﹣，则g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[﹣]＝﹣1，
g（1）≠g（﹣1），g（x）不是偶函数，A错误，
对于B，f（x）＝﹣，f（﹣x）＝﹣＝﹣，
有f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，B正确，
对于C，f（x）＝﹣＝﹣，
设t＝2x+1，y＝﹣，t＝2x+1在R上是增函数，y＝﹣在（1，+∞）也是增函数，则f（x）在R上是增函数，C正确，
对于D，设y＝f（x）＝﹣，变形可得2x＝＞0，解可得﹣＜y＜，即f（x）的值域为（﹣，），
g（x）＝[f（x）]，其值域为{﹣1，0}，D错误，
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．函数f（x）＝+的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．【分析】求出使函数式中无理式和分式有意义的x的取值集合，然后取交集．
解：要使原函数有意义，则，解得：x≥﹣1且x≠1．
所以，原函数的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．
故答案为[﹣1，1）∪（1，+∞）．
14．已知幂函数的图象经过点（2，），则这个幂函数的解析式为．【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．
解：设幂函数为y＝x a，因为幂函数图象过点（2，），
所以＝2a，解得a＝，
所以幂函数的解析式为．
故答案为：
15．在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价
指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越
好．若某城区在自查过程中各项指标显示为0＜x3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为x3．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）
【分析】从分式的性质中，寻找S值的变化规律．
解：∵，
∴要使S增加，则应该增加分子x1或x3，减小分母x2或x4，
又0＜x3＜x4＜x2＜x1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增加越多，∴要使S的值增加最多，则应该增加x3．
故答案为：x3．
16．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．
【分析】将等式x+3y﹣xy＝1，转化得，代入3x+4y中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题
解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，
，
当y＞1时，；
当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，
综上可得3x+4y取得最小值，
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。

请在答题卡指定区域内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．化简或求值：
（1）；
（2）已知5m＝2，5n＝3，求54m﹣3n的值．
【分析】（1）（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．
解：（1）原式＝×+＝+4＝2+4＝6．
（2）∵5m＝2，5n＝3，
∴54m﹣3n＝＝＝＝．
18．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．
（1）当m＝1时，求∁R（A∩B）；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出集合B，由此能求出∁R（A∩B）；
（2）由A∪B＝A，得B⊆A，分类讨论即可求出．
解：（1）当m＝1时，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}＝{x|2≤x≤5}，
∵A＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，
∴∁R（A∩B）＝{x|x＜2或x＞3}；
（2）∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
当B＝∅时，即m+1＞2m+3，解得m＜﹣2时，满足A∪B＝A，
当B≠∅时，，解得﹣2≤m≤0，
综上所述m的取值范围为（﹣∞，0]．
19．已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），求实数a，b的值；
（2）当b＝0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
【分析】（1）结合题意得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）代入b的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
解：（1）由题意得：
﹣1，2是方程x2﹣ax+b＝0的根，
故，解得：；
（2）b＝0时，f（x）＝x2﹣ax，
f（x）≤0即x（x﹣a）≤0，
a＞0时，解得：0≤x≤a，故不等式的解集是[0，a]，
a＝0时，解得：x＝0，故不等式的解集是{0}，
a＜0时，解得：a≤x≤0，故不等式的解集是[a，0]．
20．已知函数f（x）＝2x﹣a•2﹣x（x∈R，a是实常数）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明函数f（x）的单调性，并求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．【分析】（1）利用奇函数性质f（0）＝0求解即可；（2）定义法证明单调性步骤：1、任意取值，2、作差化简，3、判断符号，4、答．
解：（1）∵函数是奇函数，且定义域为Rf（0）＝0；∴0＝20﹣a•20，a＝1．
当a＝1时，f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（﹣x），符合题意，∴a＝1．（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝2x1﹣2﹣x1﹣2x2+2﹣x2＝＝
＝（）•，
∵x1＜x2，∴＜0，又∵2x1＞0，2x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f （x2），
∴f（x）在R上单调递增．
由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0，得f（x2+2x）＞﹣f（x﹣4），
∵f（x）是奇函数，∴f（x2+2x）＞f（4﹣x），
∵函数在R上递增，∴x2+2x＞4﹣x，解得x＞1或x＜﹣4，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．
21．由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8+（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143﹣|x﹣22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；
（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？
【分析】（1）直接利用题意得到p（x）＝f（x）g（x），然后去掉绝对值化为分段函数表示即可；
（2）分类讨论，分别利用基本不等式和函数的单调性求解分段函数两段的最值，分别比较即可得到答案．
解：（1）根据题意可得，p（x）＝f（x）•g（x）＝＝
；
（2）①当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）＝，当且仅当x＝11时取等号，所以p（x）min＝p（11）＝1152，
②当22＜x≤30，x∈N*时，在（22，30]上单调递减，
所以p（x）min＝p（30）＝1116，
又1152＞1116，
所以日最低收入为m＝1116千元，
又0.3m＝33.48千元＞30千元，
所以该园区能收回投资成本．
22．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k的定义域是[﹣1，+∞），令y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．
（1）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；
（2）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，kg（x5）＞g（x1）+g （x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（2）依题意，由x≥﹣1且﹣x≥﹣1，可求得g（x）的定义域，利用换元法和配方法可求得二次函数h（t）＝（t﹣1）2+2k﹣3（2≤t≤）的值域，从而可得g（x）的最小值；
（3）由题意可得kg（x）min＞4g（x）max，解关于k的不等式可得实数k的取值范围．解：（1）∵x∈[﹣1，+∞），y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k，
∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2k，
由x≥﹣1且﹣x≥﹣1，得﹣1≤x≤1，∴g（x）的定义域为[﹣1，1]；
设t＝2x+2﹣x，则2≤t≤，
则h（t）＝t2﹣2t+2k﹣2＝（t﹣1）2+2k﹣3（2≤t≤），易知h（t）在[2，]上单调递增，
∴h（t）min＝h（2）＝2k﹣2，即g（x）min＝2k﹣2，其定义域为[﹣1，1]；
（2）对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，
kg（x5）＞g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（x4）恒成立⇔kg（x）min＞4g（x）max，
由（1）可得g（x）min＝g（0）＝2k﹣2，g（x）max＝g（1）＝2k﹣，
所以k（2k﹣2）＞4（2k﹣）＝8k﹣3，解得k＜，或k＞
所以k的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．。