可压缩流体Navier-Slip边界条件问题解的存在性研究

可压缩流体Navier-Slip边界条件问题解的存在性研究
王雪娜;雍燕
【摘要】证明了在有界区域Ω??3中带Navier-Slip边界条件的可压缩Navier-Stokes方程的解的局部存在性.在证明过程中,首先利用线性化方法将方程转化为线性方程,再利用Galerkin逼近方法得到线性方程组的弱解,通过能量估计方法,得到关于逼近解的一致先验估计,取极限得到方程的解的局部存在性.%The study shows that there exist local-in-time solutions of the compressible Navier-Stoke equations with Navier-Slip boundary conditions in a bounded domainΩ??3 .To this end,the linearization approach,Galerkin
method,standard energy method,aprior estimates and uniform convergence theorem have been used.
【期刊名称】《上海理工大学学报》
【年(卷),期】2017(039)001
【总页数】10页(P17-26)
【关键词】可压缩Navier-Stokes方程;Navier-Slip边界条件;解的存在性
【作者】王雪娜;雍燕
【作者单位】上海理工大学理学院,上海 200093;上海理工大学理学院,上海200093
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
研究可压缩Navier-Stokes方程在t>0上的初边值问题的解的存在性已经有了很长的历史,并且划分了三类解,现将逐一介绍这三类解.
第一类解是光滑小解,最早由Matsumura等[1]提出,这种解的初始值和解在H3(Ω)中都近似等于一个常数.后来,Danchin[2-3]将这个解推广到齐次Besov空间.具体做法是将方程组线性化,然后对线性方程组进行迭代,得到一组逼近解,证明逼近解的渐近衰减速率,最后将逼近解取极限得到原方程组解的存在性.这类光滑小解是连续可微的,缺点是不能体现出Navier-Stokes方程组自身的奇性.
第二类解是一般的“大能量”弱解,该解由文献[4-5]引入,并由Feireisl推广.这类解的好处是对任意大的初始能量和非负密度都容易证明解的存在性.但是,这一类解的集合比较大,通常还包含了非物理解.由于这类解的光滑性不够,因此,对解的性质分析起来比较困难.
第三类解是Hoff解.对于Hoff解而言,优点是它保持了解的非线性性和物理上关心的一些有意义的特性.另一方面,这类解当初值具有足够的正则性时,解一般也具有较好的正则性,一般可以根据相关定理来证明解的唯一性和连续性.关于全空间的Cauchy问题,Hoff解的研究已经非常完备了.但是,对于有界区域,由于多了边界,处理起来要相对困难一些.对有界区域,边界条件有很多种提法,如Direchlet边界、No-Slip边界和Navier-Slip边界等.
前人关于Navier-Stokes方程组Direchlet边值问题解的存在性的研究结果比较丰富.例如,对于Direchlet边界条件,文献[6]给出了等熵Navier-Stokes方程
的解的局部存在性.
但是,关于Slip边值问题的解的局部存在性研究起来更加困难.最近文献[7]证明了等熵的Navier-Stokes方程组带有Slip边值问题的解的局部存在性.而本文研究了非等熵的Navier-Stokes方程组带有Slip边值问题的解的局部存在性.因为，非等熵Navier-Stokes方程组比等熵的Navier-Stokes方程组多了一个能量方程,在研究
时除了要估计密度和速度,还要估计温度,而温度和速度是耦合在一起的,方程组更加复杂,因此,研究起来更加困难.
本文研究了带有Navier-Slip边界条件的非等熵Navier-Stokes方程
式中:t表示时间,t≥0; Ω是R3有界区域;ρ表示密度;u表示速度,且
u=(u1,u2,u3)t;θ表示流体的绝对温度; P表示压力,P=Rρθ(R>0); h和f是已知函数,且h表示单位质量的热源,f表示单位质量上所受到的外力;div是空间散度;Δ是Laplace算子; 正数cυ和κ分别代表热容量和热传导系数与热容量之比.S(u)表示形变张量,且(u+(u)t);μ和λ均为粘性系数,且满足μ>0,2μ+3λ≥0.
初始值条件为
Navier-Slip边界条件为
式中,n(x)为∂Ω上的单位外法向量;(·)τ为(·)的切向分量;α为正常数;B为对称矩阵,并且区域Ω和矩阵B满足下列条件：
a. Ω是三维空间中的有界开集,且∂Ω∈C3;
b. B在(ρ,u,θ)的邻域内是C1光滑的.
在本文中,如果不加特别说明,用字母C表示常数.为了方便后面的叙述,构造一个函数空间W.
其中,W是具有H1内积的Hilbert空间,参见文献[7].
现给出解的定义.
定义1 对一个固定的时间T,在内,若下列条件成立:
a. ρ∈C([0,T]; W1,q(Ω)),(u,θ)∈C([0,T];
H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω))
ρt∈C([0,T]; Lq(Ω)),(ut,θt)∈C([0,T];
L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))
b. 对任意时间,有
其中,φ,ψ,φ在Ω×[0,T]上是Lipschitz连续的.则对于任意t,φ,ψ∈W,有(ρ,u,θ)是
式(2)～(4)的解.
现介绍本文的主要结果(定理1).
定理1 令q∈(3,6],且q是常数,如果初始值(ρ0,u0,θ0)以及h,f满足下列条件:
和相容性条件:
则存在时间T*>0和唯一解(ρ,u,θ)满足带有条件式(3)和式(4)的初边值问题,使得
u,θ满足边界条件(4).
引理1 设Ω是3中的有界区域,∂Ω∈C1(Ω),则对于u∈W1,1(Ω),存在有界迹算子：W1,1(Ω)→L1(∂Ω),常数C=C(Ω),有
对于u∈H1(Ω),有
引理2 对于p∈[2,6],u∈H1(Ω),存在一个常数C=C(Ω),使得
引理3 对于u∈H1(Ω),存在常数C=C(Ω),使得
讨论Lame算子L和特征函数的正则性.设式(2)和式(4)成立,
考虑问题：求解→3,使得
式中:β为常数;g为已知函数.
问题等价为：存在u∈W,使得对所有w∈W,有
S(w)+λdiv udiv w+βuw]dx
由Lax-Milgram定理,存在有界解算子Sβ∶L2(Ω)→W,使得对所有w∈W,满足
引理4 设Ω⊂3是有界开集,∂Ω∈C3(Ω),μ>0,2μ+3λ>0,B∈L(∂Ω),且B是对称矩阵,则对足够大的β,存在紧自伴算子Sβ∶L2(Ω)→L2(Ω),Sβ∈W,使得式(10)成立.对所
有g∈L2(Ω)和w∈W,存在一组标准正交基{wk}k∈L2(Ω),且L2(Ω)⊂W∩C(Ω),使得Sβwk=λk-1wk,λk→.
引理5 设μ>0,2μ+3λ≥0,m≥0,Ω是有界开集,∂Ω∈Cm+1(Ω),B∈Cm+1(Ω),其中,Cm=C(μ,λ,Ω,B,m)依赖于μ,λ,Ω,B,m.若u是式(9)的解,β,g∈Hm(Ω),则
u∈Hm+2(Ω),且
对于算子-Δ,考虑问题：存在→3,使得
其中,是已知函数,令Bγ(θ,φ)=-α∫∂ΩθφdS+∫Ω(κθ·φ+γθ·φ)dx,则式(12)对应的弱形式为
与Lame算子类似,存在有界解算子,满足
对所有φ∈H1(Ω),γ足够大且与κ,α,Ω有关.
引理6 设Ω是R3上的有界开集,∂Ω∈Cm+1(Ω),对于足够大的γ,存在紧自伴算子Tγ∶L2(Ω)→L2(Ω),L2(Ω)⊂H1(Ω),使得对所有,上式都成立,并且存在一组L2(Ω)中的标准正交基{φk}k使得.
引理7 令m≥0,设Ω是有界开集,∂Ω∈Cm+1(Ω).若θ是式(12)的解,,则,且
其中,是依赖于κ,α,Ω,m的常数.
现推导式(2)的解的先验估计,在本文中假设存在常数c0,使得
然后作如下先验假设：存在c1和T*,使得
其中,1≤c0≤c1,0<T*≤T.
本文中如果不加说明,C是依赖于μ,λ,κ,α,B,Ω以及f和h的范数的正常数.
4.1 密度的估计
关于密度ρ的存在唯一性,Diperna等[10]得到式(16).
其中,是初边值问题
的解.
由式(16)可知,
令,则当0≤t≤min (T*,T1)时,上式变为
首先在方程(2)的第2个等式两边同乘以ρq-1,并在Ω上积分,有
然后对方程(2)的第2个等式关于xj求偏导,乘以q-2,1≤j≤3,并在Ω上积分,有
联合式(18)和式(19),利用Gronwall不等式,有
令T1=c1-1,则对,由式(20)可知,
4.2 热能估计
用θ乘以方程(2)的第3个等式,在Ω上积分,有
由引理1可知,
令T2=c1-4<-1,则当时,将式(23)～(26)代入式(22),利用Gronwall不等式,得到用θt乘以方程(2)的第3个等式,在Ω上积分,有
其中,.
然后对上述方程在上积分,有
根据引理1,可得
当时,将式(28)～(32)代入式(27),利用Gronwall不等式,有
对方程(2)的第3个等式关于t求偏导,乘以θt,在Ω上积分,有
根据引理1,可得
当时,将式(34)～(41)代入式(33),在上积分,由式(15)可知,有
由上面2个式子,并且利用Gronwall不等式,有
由椭圆的正则性,对,有
4.3 速度估计
用u来乘以方程(2)的第2个等式,在Ω上积分,有
对上式两端在上积分,由引理1和引理3可得
对上式利用Gronwall不等式,则对,有
用ut乘以方程(2)的第2个等式,在Ω上积分,有
对上式在上积分,由引理2和引理3可得
根据引理1,可得
令,则当时,将式(43)～(46)代入式(42),有
对方程(2)的第2个等式关于t求导,乘以ut,在Ω上积分,有
根据引理1,可得
令,则当0≤t≤min (T*,T4)时,在上积分,并且将式(48)～(53)代入式(47),利用Korn
不等式,可得
令<1,由动量方程可以估计.
由式(54)和式(55)可知,对0≤t≤min (T*,T5),利用Gronwall不等式,有
令,由椭圆的正则性,则对0≤t≤min(T*,T6),有
由Cauchy不等式可得
同时,有
由前面的推异过程可得先验估计.
定义是常数.∀T*,当时,有
考虑方程(2)的线性化方程组
其中,是速度矢量.
现证明该线性化方程组在Navier-Slip边界条件下解的局部存在性.
引理8 令q∈(3,6],设v∈L([0,T];H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω)),Ω是R3中的有界区域,vt∈L([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω)),(ρ0,u0,θ0),f,h是已知函数,且满足正则条件: 边界条件为
则带有条件式(3)和式(4)的初边值问题(56)存在唯一解(ρ,u,θ),使得
其中,(u,θ)满足边界条件式(4).
证明可由文献[8]中的定理4得到方程(56)的第1个等式的唯一解的存在性和正则性,现在用v代u,类似于式(20),可得到唯一解ρ，并且
线性动量方程和能量方程可以写成如下形式：
现用Galerkin方法得到式(57)中(θ,u)的存在性.令
则对θ,φ∈H1(Ω),u,ψ∈W,式(57)和式(58)的弱形式为
首先,构造逼近解(um,θm),其中,的前m个特征向量},为L的前m个特征向量},令
取um(·,0)∈Wm,θm(·,0)∈Vm,则有引理9.
引理9 存在一组序列,使得当m→时,,且
其中,M1与B,L和Ω有关.
证明令η=Lβu0=(L+β)u0,则,取ηm∈L2(Ω),ηm是η到Wm的正交映射,定义,则,且满足边界条件式(4),由引理5和Sβ∶L2(Ω)H1(Ω)的连续性,有
且在H1(Ω)和H2(Ω)是Cauchy序列,由于ηm→η,所以,在H2中强收敛于,令,则对∀w∈W,有
由Aβ的强制性可得，,所以,).
类似于引理9的证明,可以证明引理10.
引理10 存在一组序列,使得当m→时,,且
其中,常数M2与κ,α和Ω有关.
选取系数,使得如下方程组成立:
其中,(,)是L2(Ω)的内积,将θm(t)和um(t)代入式(59),则式(63)转为如下线性常微分方程组：
并具有初始值和,其中,≜≜ρkl(t),D[φl,wk;t]≜dkl(t),(ρ-1Q(v)+h,φk)(t)≜≜fk(t).
根据常微分方程解的存在性定理,存在唯一的连续函数,满足式(64)和初始条件.对于0≤t≤T,则θm,um是式(63)的解.由前面的能量估计可知,
其中,是通用正常数,且只与引理8中v的范数有关.所以,有下列结论成立:
现通过迭代方法构造初边值问题(2)～(4)的近似解.
a. 定义u0=0;
b. 设uk-1,k≥1,则(ρk,uk,θk)是下面的初边值问题：
的解,且满足初始条件和边界条件：
由引理8可知强解(ρk,uk,θk)的整体解的存在性.
由前面估计可知,
其中,C是仅依赖于α,μ,κ,B,Ω和f,h的范数的正常数.由Aubin-Lions引理可得
因此,可得
类似于文献[8]中的连续性讨论,可证u∈C([0,T*];H1(Ω))∩C([0,T*];H2(Ω)),并由标准嵌入定理可得,ρ∈C([0,T*];W1,q(Ω)).定理1证毕.
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