全国通用近年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业二十八4.4数系的扩充与

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十八4.4 数系的扩充与复数的引入文
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课时分层作业二十八数系的扩充与复数的引入
一、选择题（每小题5分,共35分）
1.若复数（a2-3a+2)+（a—1)i是纯虚数，则实数a的值为( ）
A.1 B。

2 C。

1或2 D.—1
【解析】选B。

因为复数（a2—3a+2）+(a-1)i是纯虚数,
所以解得a=2。

2.设z1，z2∈C,则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1—z2是虚数”的（)
A。

充分不必要条件
B。

必要不充分条件
C。

充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B。

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1,b1，a2，b2∈R，则z1—z2=—=+i，若z1-z2是虚数,则b1—b2≠0，所以b1，b2不能都为零，即“z1，z2中至少有一个数是虚数”；若“z1,z2中至少有一个数是虚数"，则b1，b2至少有一个不为零，但是有可能b1-b2=0，比如1+i,2+i都是虚数,但是它们的差为实数,所以“z1，z2中至少有一个数是虚数"是“z1-z2是虚数”的必要不充分条件。

3。

（2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是（)
A.i(1+i)2
B.i2(1—i)
C.(1+i)2
D.i（1+i)
【解析】选C.由（1+i）2=2i为纯虚数知选C.
4。

设m∈R，m2+m—2+(m2—1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ( )
A.—1
B.1 C。

-2 D。

2
【解析】选C.因为m2+m-2+（m2—1)i是纯虚数，
所以m2+m-2=0,m2—1≠0,
所以m=-2。

5。

已知集合M={1，2,zi},i为虚数单位,N={3,4}，M∩N=｛4}，则复数z= ( ）
A.—2i B。

2i C。

—4i D.4i
【解析】选C。

由已知可得zi=4，所以z==-4i.
6.若z=1+2i，则= （）
A。

1 B.-1 C.i D。

-i
【解析】选C。

因为z=1+2i,所以=1-2i,
所以z·=(1+2i)（1-2i）=5,
所以==i.
7。

若i是虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点在( ）
A。

第一象限 B.第二象限
C.第三象限D。

第四象限
【解析】选A。

由题意得，z===1+i,则复数在复平面内的点在第一象限。

二、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知0<a〈2,复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________.
【解析】由已知|z|=，因为0<a<2，所以1〈｜z|=<,故|z｜∈(1，)。

答案：（1，）
9.已知复数z1=m+2i，z2=3—4i，若为实数,则实数m的值为________.
【解析】=
=为实数，则6+4m=0⇒m=—。

答案：—
10.复数z=cos 75°+isin75°(i是虚数单位)，则在复平面内z 2对应的点位于第________
象限.
【解析】z 2=(cos 75°+isin 75°）2=cos275°—sin275°+2isin 75°cos 75°=cos 150°+isin
150°=-+i，其对应点的坐标为，在第二象限。

答案：二
1。

(3分）已知复数=2+i(i为虚数单位）,则复数z= ( ）
A。

-1+3i B。

1-3i
C.-1—3i D。

1+3i
【解析】选B。

由题意得,=（1+i）（2+i）=1+3i，所以z=1—3i.
2.（3分）若复数z=i(3-2i）(i是虚数单位),则= （)
A.3-2i
B.3+2i C。

2+3i D。

2-3i
【解析】选D。

因为z=i(3-2i)=2+3i,所以=2—3i。

3。

(3分)设a∈R，且（a+i)2i为正实数(i为虚数单位),则a= （）
A。

2 B.1 C。

0 D。

—1
【解析】选D.因为（a+i）2i=（a2+2ai+i2）i
=—2a+i是正实数，
所以-2a〉0,a2—1=0，解得a=—1.
【一题多解】选D.因为(a+i）2i为正实数，所以（a+i)2是纯虚数，且虚部为负数，所以a=—1.
4。

（3分)若集合A={i，i2，i3,i4}(i是虚数单位)，B=｛1,-1}，则A∩B等于( ）
A.｛-1｝B。

｛1} C。

｛1,—1} D。

∅
【解析】选C.由已知得A=｛i，—1，—i，1}，故A∩B=｛1,—1}.
5。

(3分)已知a,b∈R,i是虚数单位，若a—i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=
（）A。

5-4i B.5+4i C。

3-4i D.3+4i
【解析】选D。

因为a-i与2+bi互为共轭复数，所以a=2,b=1,所以= =3+4i.
6。

(3分）（2018·西安模拟)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0（a∈R）有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 ( ）
A。

2—2i B.2+2i
C。

-2+2i D。

—2—2i
【解析】选A。

由已知得b2+b（4+i)+4+ai=0，
即b2+4b+4+（a+b）i=0，
所以解得a=2,b=-2，所以z=2—2i.
7。

（3分)已知复数z=sin 2+icos 2,则在复平面内复数z2对应的点位于（）
A。

第一象限 B.第二象限
C.第三象限D。

第四象限
【解析】选D。

因为z2=
=sin22—cos22+i
=+i，cos 4〈0,sin 4<0,所以z2对应的点位于第四象限。

8。

(3分)已知复数z1=2+ai，z2=2-i,其中i为虚数单位，若｜z1|〈｜z2|，则实数a的取值范围为________。

【解析】由题意可得,〈,即—1〈a<1.故实数a的取值范围为（—1,1）。

答案：（-1，1)
9.（3分)(2018·葫芦岛模拟）若复数z的共轭复数满足（1+i）·=3+i，则复数z在复平面内对应的点位于第________象限.
【解析】由(1+i）·=3+i,得===2-i,所以z=2+i,其对应的点位于第一象限.
答案:一
10。

（3分)已知a,b∈R,i是虚数单位，若(1+i)（1-bi)=a，则的值为________。

世纪金榜导学号37680514
【解题指南】利用复数乘法法则以及复数相等的定义求出a,b的值，然后计算.
【解析】=1+b+（1—b）i=a，所以解得所以=2.
答案：2
11.(10分)若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数。

这样的虚数是否存在?若存在，求出z；若不存在,请说明理由.【解析】这样的虚数存在，z=-1-2i或z=—2—i.
设z=a+bi（a,b∈R且b≠0)，
z+=a+bi+=a+bi+
=+i。

因为z+是实数,所以b—=0。

又因为b≠0，所以a2+b2=5。

①
又因为z+3的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0②
由①②解得或
所以z=—2-i或z=-1—2i.。