苏教版高中数学必修一知识讲解_《函数》全章复习与巩固_基础

《函数》全章复习与巩固
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【学习目标】
1. 体会函数式描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念.
2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解分段函数，并能简单地应用.
3. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。

4. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射。

【知识网络】
【要点梳理】
要点一、映射与函数 1.映射
设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A 、B 及集合A 到集合B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射,记作 f ：A →B 。

理解：
（1）映射是从集合A 到集合B 的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.
函数的性质 函数
函数的表示
函数的概念
奇 偶 性
单 调 性
周 期 性
函数三要素
映射
（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.
（3）集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.
（4）给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a 叫做b的原象.
（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.
2.函数的定义
（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,
记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
理解：
①集合A、B是两个非空数集；
②f表示对应法则；
③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；
④值域C B。

3.函数的表示
函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示.
①解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x)表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的对应法则.
②列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于
实用的函数.
③图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,
是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
4.函数的三要素
函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则.
只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数. 要点二、函数的单调性 1.定义：
设函数f(x)的定义域为I,区间D ⊆I.如果对任意1x ,2x ∈D,当1x <2x 时,都有12()()f x f x < (或12()()f x f x >),则称f(x)是区间D 上的增(减)函数.区间D 称为f(x)的单调区间.
如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间(a,b)上具有单调性，称为单调函数。

要点诠释：
①单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的1x ,2x 具有任意性,不能以特殊值代替.
②函数f(x)在区间D 上递增(或递减),与f(x)图像在区间D 上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.
③注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:
f(x)在D 上为增函数且f(1x )<f(2x )⇒1x <2x ,且1x ,2x ∈D;
f(x)在D 上为减函数且f(1x )<f(2x )⇒1x >2x ,1x ,2x ∈D. 2.定义的应用
单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为：
①设值定大小:设1x ,2x 为给定区间上任意两个自变量值,且1x <2x ;
②作差并变形:作差f(1x )-f(2x ),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;
③定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.
在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.
3.复合函数的单调性
（1）单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;
（2）单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.
（3）求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤
①确定定义域；
②将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).
③分别确定这两个函数的单调区间；
④按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间。

注：求函数单调区间时，易忽略函数的定义域。

要点三、函数的奇偶性
1.定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
要点诠释：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;
②考察f(-x)与f(x)的关系;
③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔
)
()
(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔)
()
(x f x f -=1 (f(x)≠0) 2.延伸
(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有
f(x)=
2)()(x f x f -++ 2
)
()(x f x f --=g(x)+p(x)
其中,g(x)=
2)()(x f x f -+为偶函数,p(x)= 2
)
()(x f x f --为奇函数.
即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. (Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0. 3.奇(偶)函数图像的特征 (Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. 4.奇偶性与单调性的联系
当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题: 设G,G ＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有 (Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同； (Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反． 这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反． 要点四、函数的周期性
定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T ≠0，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T 为周期函数f(x)的周期。

由定义可以得到：
①作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-∞,+∞)，或至少有一端是“无界”的，如：[0, +∞)，或(-∞,0]。

这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x 是对于定义域D 中的每一个x 都有x+T ∈D ，则区间D 一定是“无界”的才能得保证在T ≠0时x+T ∈D 。

例如y=sinx, 当x ∈R 或x ∈[0,+∞)或x ∈(-∞,0]时都是周期函数，而当x ∈[0,10π]或x ∈[0,100π]等都不能构成周期函数。

②若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T ≠0)，则T 的非零整数倍即nT(n ∈Z, n ≠0)都是f(x)的周期。

要点诠释：
1、求函数的定义域时，一般遵循以下原则： （1）()f x 是整式时，定义域是全体实数。

（2）()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

（3）()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

（4）若()f x 是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

（5）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出。

（6）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。

（7）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。

2．求函数值域主要有以下一些方法：
（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可通过观察法求得值域。

（2）二次函数可用配方法求值域。

（3）分子、分母是一次函数的有理函数，可用反函数法求得值域，或用分离常数法。

（4）单调函数可根据函数的单调性求得值域。

（5）函数图象是函数的重要性质，利用数形结合的方法，根据图象求得函数值域。

（6）有的函数可拆配成重要不等式的形式，利用重要不等式求值域。

（7）解析法：将某些式子根据其几何意义，运用解析几何知识求值域（或最值）。

（8）运用导数求值域。

（9）无理函数可用换元法，尤其是三角代换求得值域。

（10）分子、分母中含有二次项的有现函数，可用判别式法。

在此必须注意，在利用配方法、重要不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件。

3．函数的最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。

那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。

那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
②利用图象求函数的最大（小）值；
③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
【典型例题】
类型一、映射的概念
例1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有；其中是函数。

（1）（2）（3）（4）
【思路点拨】 依据映射的定义及函数的定义判断. 【解析】（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。

【总结升华】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的；
（3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. 举一反三：
【变式】集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.
【解析】9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射.
例2．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
【解析】a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}；
∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,
102
4
k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.
13,
10342
k a a a
∵a ∈N ，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5. ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}.
类型二、函数的概念
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =
，33)(x x g =；
（2）x x
x f =)(，⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,01
)(x x x g
（3）1212)(++=n n x x f ，1
212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；
（4）x
x f =
)(1+x ，x x x g +=
2)(；
（5）12)(2
--=x x x f ，12)(2
--=t t t g
【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。

【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【解析】（1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不
是同一函数.
（2）由于函数x
x x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,01
)(x x x g 的定义域为R ，所
以它们不是同一函数.
（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1
212)()(，它们的定义
域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数x
x f =
)(1+x 的定义域为{}
0≥x x ，而x x x g +=
2)(的定义域为
{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。

第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。

原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2
+=x x f ，1)(2
+=t t f ，1)1()1(2
++=+u u f 都可视为同一函数. 举一反三：
【变式】下列函数中与函数x y =相同的是( )
A .y = (x )2
B. y =
C. y =2x
D. y =x
x 2
【答案】B ；
【解析】因为y
=
t =，所以应选择B
类型三、函数的定义域、值域 例4．求函数的定义域 （1
）1
2||=
-y x （2
）函数．
【思路点拨】求给定解析式的函数的定义域的依据是使式子有意义，如分式的分母不为0，偶次方根的被开方数大于或等于0，零指数幂的底数不为等等。

建议写成不等式组的形式，以免遗漏。

【解析】（1）由2102||0⎧-≥⎨-≠⎩x x 得11
2≥≤-⎧⎨≠±⎩
或x x x ，
所以函数的定义域为：(,2)
(2,1][1,2)(2,)∈-∞---+∞x 。

（2）由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 所以函数的定义域为：(－3,2)
【总结升华】求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。

举一反三：
【变式】已知函数2
()3
f x ax ax =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13a >
B ．120a -<<
C ．120a -<≤
D ．13
a ≤
【答案】由2
()3
f x ax ax =
+-的定义域是R ，则2
30ax ax +-≠恒成立， 当0a =时，显然成立；
当0a >时，22
120
1203000
a a a ax ax a a a -<<⎧∆=+<⎧+->⇒⇒⇒∈∅⎨⎨>>⎩⎩；
当0a <时，22
1201203012000
a a a ax ax a a a -<<⎧∆=+<⎧+-<⇒⇒⇒-<<⎨
⎨<<⎩⎩， 综上，选C 。

例5．已知()f x 的定义域为(0,8)，求2
(2)f x x -的定义域. 【解析】∵()f x 中08x <<,
∴2
(2)f x x -中2
028x x <-<，即2
20228
x x
x x ⎧<-⎪⎨-<⎪⎩，解得20x -<<或24x <<
∴所求定义域是(2,0)(2,4)x ∈-.
【总结升华】有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量x 的取值范围.如本题中()f x 的定义域为(0,8)即08x <<；而
2(2)f x x -的定义域，同样只指2(2)f x x -中的单一的自变量x 的取值范围.
（2）在同一法则f 之下，括号内的整体范围是一致的。

如本题中，(0,8)应是函数()f x 的自变量x 的
范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的2
(2)f x x -的定义域是2
2x x -中x 的取值范围，此处x 的
取值范围已不是()f x 中的x 的取值范围；但()f x 中的x 与2
(2)f x x -中的2
2x x -的整体范围是相同
的，可以此为桥梁求解。

（3）求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式
()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()
f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()
g x 的值域。

举一反三：
【变式1】若2
(31)f x x -+-的定义域为[2,2]-，求()f x 的定义域。

【答案】5[11,]4
-；
【解析】本题的实质是求2
31x x -+-在[2,2]x ∈-时的值域。

令2
2
35
31()2
4
y x x x =-+-=--+，当[2,2]x ∈-时，max 11y =-。

故()f x 的定义域为5[11,]4
-。

【变式2】已知函数()f x 的定义域为[0,3]，求函数()(1)(1)g x f x f x =++-的定义域。

【答案】由01312
[1,2]01314x x x x x ≤+≤-≤≤⎧⎧⇒⇒∈⎨
⎨≤-≤≤≤⎩⎩
【变式3】若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是
【答案】]2
3,1()1,21[ ∈x
【解析】]2
3
,1()1,2
1[ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故
]2
3,1()1,21[ ∈x
类型四、函数的单调性 例6．
确定函数()f x =
【思路点拨】作差后，符号的确定是关键．
【解析】由120x ->，得定义域为1
(,)2-∞．对于区间1(,)2
-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，
则
12()()f x f x -=
=
=
又120x x -<
0>，
12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．
所以，()f x 在区间1(,)2
-∞上是增函数．
【总结升华】运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 例7．已知函数1
()f x x x
=+
(0)x ≠． （1）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并证明； （2）求函数()f x 在区间1[,2]2
上的最大值与最小值； （3
）试求函数1y =
+的最小值． 【思路点拨】本题先研究函数()f x 的单调性，再利用单调性解决最值问题． 【解析】（1）对于区间(0,)+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211
()()f x f x x x x x -=+
--211212x x x x x x -=-+121212
1()x x x x x x -=-⋅，
当1201x x <<≤，则120x x -<，1210x x ⋅-<，120x x ⋅> 故121212
1
()0x x x x x x --⋅
>，即12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >． 所以，函数()f x 在区间(0,1]上是单调减函数；
当121x x ≤<，则120x x -<，1210x x ⋅->，120x x ⋅> 故121212
1
()0x x x x x x --⋅
<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数()f x 在区间[1,)+∞上是单调增函数；
综上所述，函数()f x 在区间(0,1]上是单调减函数，在区间[1,)+∞上是单调增函数． （2）由（1）知，函数()f x 在1[,1]2
上是单调递减，[1,2]上是单调递增； 所以，()f x 的最小值为(1)2f =，此时1x =；
又1
5()(2)2
2f f ==，所以()f x 的最大值为5
2
，此时12x =或2． （3
3(3)t t =≥，则1
2y t t
=+-，
由（1）知，12y t t =+-在[3,)+∞上单调递增，所以，y 的最小值为4
3
．
例8．
求函数y =
的单调区间
【思路点拨】该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．
【解析】设
，u=x2+x-6 ． 由x 2
+x-6≥0，得x ≤-3或x ≥2，
结合二次函数图象可知，函数u=x 2
+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的． 又∵函数
y =在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增
的．
例9．已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R,总有f(x )+f(y)=f(x+y)，且当x ＞0时，f(x)＜0,f(1)=23
-. (1)求证：f(x)在R 上是减函数；
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．
【思路点拨】用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。

【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x，得f(-x)=-f(x)．在R上任取x1＞x2，则Δx=x1-x2＞0，Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(Δx),
又∵x＞0时，f(x)＜0．而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数．
方法二：在R上任取x1，x2，
不妨设x1＞x2，
则Δx=x1-x2>0,Δy=f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2)=f(Δx)
又∵x＞0时，f(x)＜0，而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数.
(2)∵f(x)在R上为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上也为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)，
而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=
3f(1)=-2，
∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),
∴f(-3)=-f(3)=2,
因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2.
【总结升华】求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转 化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 类型五、函数的奇偶性 例10．判断下列函数的奇偶性：
（1）2
(12)()2x x
f x +=； （2）()(1f x x =-
（3）2
()11f x x x =+-+； （4）2
2(0),()(0).x x x f x x x x
⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩
【思路点拨】判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
【解析】（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-=
==⋅2
(12)()2x x
f x +=, 所以()f x 为偶函数．
（2）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （3）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，
故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （4）定义域为x R ∈，关于原点对称；
22
()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，2
2(0),
()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),
()(0).x x x f x x x x
⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．
【总结升华】判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即
()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．
例11．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2
()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．
【思路点拨】奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 【解析】设0x <，则0x ->，2
()22f x x x ∴-=++．
又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2
()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．
综上，()f x 的解析式为2222,0()0,
0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪<---⎩
． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．
【总结升华】（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
例12．奇函数()y f x =定义在[1,1]-上，且在定义域内是减函数．若2
(1)(45)0f a a f a --+->，求实数a 的取值范围．
【思路点拨】运用函数的性质脱去“外衣”．
【解析】由211,1451,
a a a ⎧-≤-≤⎨-≤-≤⎩，解得：312a ≤≤．
又2
(1)(45)0f a a f a --+->，得2
(1)(45)(54)f a a f a f a -->--=-，
()y f x =定义在[1,1]-上是减函数，2154a a a ∴--<-，即2360a a +-<，
解得：a <<3
12
a ≤≤，故a
的取值范围是1a ≤<． 【总结升华】()f x 在[,]a b 上是减函数时，若设12a x x b ≤<≤，则12()()f x f x >成立，反之，也成立． 举一反三：
【变式】已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y ，恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又3
2)1(f -
=. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；
(3)求f(x)在[-3，6]上的最大值与最小值． 【解析】
(1)令x=y ＝0，可得f(0)+f(0)=f(0+0)，从而f(0)＝0．
令y ＝-x ，可得f(x)+f(-x)=f(x-x)＝0，即f(-x)＝-f(x)， 故f(x)为奇函数。

(2)设x 1、x 2∈R ，且x l ＞x 2，则x 1—x 2＞0，于是f(x l -x 2)＜0．
从而f(x 1)-f(x 2)=f[(x l -x 2)+x 2]-f(x 2)＝f(x l -x 2)+f(x 2)-f(x 2)＝f(x l -x 2)＜0． 所以f(x) 在R 上是减函数。

(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(-3)，最小值为f(6)．
f(-3)＝-f(3)=-[f(2)+f(1)]＝-2f(1)-f(1)=-3f(1)＝2， f(6)＝-f(-6)＝-[f(-3)+f(-3)]=-4．
于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．
【总结升华】对于抽象函数问题的求解，一般方法是取特例进行归纳与验证，也可联想满足该性质的函数，如f(x)＝kx(k ＞0)，即满足上述条件． 类型六、函数的周期性
例13．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D
【解析】因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得
)0()80(==f f ,
)
1()1()25(f f f -=-=-,而由
(4)f x f x
-=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,
所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.
【总结升华】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.。