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第三讲割圆术及极限方式
实验目的
1．介绍刘徽的割圆术．
2．明白得极限概念.
3．学习matlab求函数极限命令。

实验的大体理论及方式
1．割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中制造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，第二，当将边数多次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大那么正多边形面积愈近于圆的面积．
“割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，那么与圆合体而无所失矣”这几句话明确地说明了刘徽的极限思想．
刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，如此继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割
,,
3．学习matlab命令.
matlab求极限命令可列表如下:
表
数学运算matlab命令
limit(f)
limit(f，x，a)或limit(f，
a)
limit(f，x，a，’left’)
limit(f，x，a，’right’)
matlab代数方程求解命令solve挪用格式.
Solve(函数) 给出的根.
4．明白得极限概念.
数列收敛或有极限是指当无穷增大时，与某常数无穷接近或趋向于某必然值，就图形而言，也确实是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线.
例.观看数列当时的转变趋势.
解:输入命令:
>>n=1:100；xn=n./(n+1)
取得该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1超级接近，画出的图形.
stem(n，xn)
或
for i=1:100;
plot(n(i),xn(i),’r’)
hold on
end
其中for … end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无穷接近，因此可得结论:
.
对函数的极限概念，也可用上述方式明白得.
例.分析函数，当时的转变趋势.
解:画出函数在上的图形.
>>x=-1::1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)
从图上看，随着的减小，振幅愈来愈小趋近于0，频率愈来愈高作无穷次振荡.作出的图象.
hold on；plot(x，x，x，-x)
例.分析函数当时的转变趋势.
解:输入命令:
>>x=-1::1;y=sin(1./x);plot(x,y)
从图上看，当时，在-1和1之间无穷次振荡，极限不存在.认真观看该图象，发觉图象的某些峰值不是１和-１，而咱们明白正弦曲线的峰值是１和-
１，这是由于自变量的数据点选取未必使取到１和-１的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果．
例.考察函数当时的转变趋势.
解:输入命令:
>>x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y)
从图上看，在周围持续转变，其值与1无穷接近，可见
.
例.考察当时的转变趋势.
解:输入命令:
>>x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)
从图上看，当时，函数值与某常数无穷接近，咱们明白，那个常数确实是.
5．求函数极限
例.求
.
解:输入命令:
>>syms x;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,-1)
得结果ans=-1.画出函数图形.
>>ezplot(f);hold on;plot(-1,-1,’r.’)
例.求
解:输入命令:
>>limit((tan(x)-sin(x))/x^3)
得结果:ans=1/2
例.求
解:输入命令:
>>limit(((x+1)/(x-1))^x,inf)
得结果:ans=exp(2)
例.求
解:输入命令:
>>limit(x^x,x,0,’right’)
得结果:ans =1
例.求
解:输入命令:
>>limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,’right’)得结果:ans=exp(-1)。