高等代数多项式的定义与概念教案

第二章 多项式
2．1 一元多项式的定义和运算
１.多项式的定义
令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复
先讨论R 上一元多项式
定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式
n n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）
这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.
在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i i x a 叫做 i 次
项, i a 叫做 i 次项的系数.
一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.
2. 相等多项式:
定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只
差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;
f (x)=g(x)
非负整数 n 叫做多项式n n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式
总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.
多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.
3. 多项式的运算:
()n
n x a x a a x f +++= 10 ()m
m x b x b b x g +++= 10
是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是
多项式
()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100 这里当 m<n 时,取01===+n m b b
多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式
m
n m n x c x c c +++++ 10
这里
m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110
我们定义 f(x)和 g(x)的差
f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x))
4. 多项式加法和乘法的运算规则
① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；
② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ;
③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);
④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));
⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成
n n n n a x a x a x a ++++--11
10 ⑵
当00≠a 时，n x a 0叫做多项式⑵的首项
5. 多项式的运算性质
定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0,
g(x)≠0.
那么
a) 当 f(x)+g(x)≠0 时,
()()()()()()()()x g x f x g x f 000,max ∂∂≤+∂
b) ()()()()()()()x g x f x g x f o 00∂+∂=∂
证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂00,
()0,10≠+++=n n
n a x a x a a x f ，
()0,10≠+++=m m m b x b x b b x g ，
并且n m ≤.那么
()()()()()n n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶
()()()m n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷
由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所
以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.
推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．
证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得
f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．
推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)
证 由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论
2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).
由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。

我们用 R[X]来表示数环 R 上一个文字 x 的多项式的全体，并且把在 R 中如上定
义了加法和乘法运算的 R[X]叫做数环 R 上的一元多项式环．。