苏教版高中数学选修2-3计数应用题1

计数应用题
教学目标
（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；
（2）提高合理选用知识解决问题的能力．
教学重点，难点
排列、组合综合问题．
教学过程
一．数学运用
1．例题：
例1．2名女生，4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，
共有
5
5
A种排法，又因为2名相邻女生有2
2
A种排法，因此不同的排法种数是
52 52240
A A=．
（2）方法一：（插空法）分两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有
4
4
A种排法；
第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位
置中选出2个排2名女生，有
2
5
A种排法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是
42
45
480
A A=种．
方法二：（间接法）
因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名
女生不相邻的不同排法共有
652
652
480
A A A
-=种．
（3）方法一：（特殊元素优先考虑）分2步完成：
第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即
2
6 C；
第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有44A种方法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是
24
64
360
C A=．
方法二：（除法）
如果将6名学生全排列，共有
6
6
A种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排
法数有22A种，因为女生的顺序已定，所以在这22A中排法中，只有一种符合要求，
故符合要求的排法数为
6
6
2
2
360
A
A
=
种．
例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？解：完成这件事分三步进行：
第一步，从30名男生中选3名男生，有
3
30
C种方法；
第二步，从20名男生中选2名男生，有
2
20
C种方法；
第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有
5
5
A种方法．
根据分步计数原理，共有
225
30205
92568000
C C A=种选法．
答：共有92568000种不同的选法．
思考：如果上述问题解答分两步：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再
从20名女生中选2名女生担任不同职务，则结果为
32
3020
A A，这样做对吗？为什么？
（从30名男生中选3名担任3种不同职务的方法数应为
33
305
C A）
说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．
例3．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？
解：先填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的
二、三志愿有26A 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、C 两校有23C 种填法，
剩余的一个志愿栏有13A 种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有
26A 23C 13270A =（种）．
例4．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？
解：本题的实质是，前五次测试中有1只正品，4只次品，且第五次测试的是次品． 思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，
有1164C C 种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有44A 种排法．故不
同的情形共有114644576C C A =种．
五．回顾小结：
（1）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；
（2）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．
六．课外作业：。