线性代数第一章 行列式(2014版)

主要内容
1. 行列式的概念与计算； 2. 矩阵; 3. 线性方程组解的结构与向量空间Rn; 4. 方阵的特征值与特征向量; 5. 二次型及其标准形.
教 材： “线性代数” 居余马等 编 参考书:
1、《线性代数》 同济大学编 2、《线性代数习题与解析》 湛少锋编
教学安排： 共54学时
学习方法：
因今后的工作中用到更多的知识不可能在大学 中都学习到，因此在学习过程中不但要学会应学的 知识外，还必须培养自己的读书能力。
21 3. 7
二、三阶行列式
对三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：
a22a33 a23a32 ; a13a32 a12a33 ; a12a23 a13a22
学习“线性代数”时请注意：
• 你可以完成学习任务，但需要努力！ • 本课程与“高等数学”不同，它更注重
演绎推理； • 在学习第三章时，你可能会遇到困难； • 必须按时完成作业，这对你能否最终完
成学习任务很重要。
二（三）阶行列式 排列与逆序
行列式概念的形成 （定义）
n 阶行列式的定义
行列式的性质
行列式的基本性质及计算方法
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 1、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
为方便记忆我们引入：
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
b3a23a11 a12b1a33 a13a31b2 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
x3
b3a22a11 a12a31b2 a21b1a32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
b2a11a32 a12b3a21 a31a22b1 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
则有：
x1
b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
b1a23a32 a12b2a33 a13a22b3 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
类似可得：
x2
b2a11a33 a31a23b1 a13b3a21 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
行列式按一行（列）展开
Cramer 法则
利用行列式求解线性方程组
第一节 n 阶行列式的定义 及其性质
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7

2,
x2
D2 D
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
历史上《线性代数》的第一个问题是关于解线 性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成 了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展， 这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最 初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是 实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的 要求也促使了《线性代数》的进一步发展。
1、预习 大学里教学进度快，理论性强应先预习， 做到带着问题有目的地听课。
2、听课 认真听，在不影响听课的原则下尽可 能记笔记，听完课后必须知道这堂课的重点，关键思路
是什么，解决的方法是什么。 3、复习 趁热打铁及时复习，把所讲内容全部搞懂，
重要问题要记熟，在可能的条件下看参考书。
4、练习 将布置的作业及时独立完成，有余力可以 做一些未布置的题，及时总结解题的方法和技巧。
什么是线性代数？
（一）线性
一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为 一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性” 函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。
y ax b
y ax
线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系
线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，
只有数乘和加减。
线性代数研究的都是线性问题!
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
5，阶段小结 每学完一章必须加以总结、记忆、 理解，用自己的语言把主要内容表达出来，使知识条 理化、系统化、了如指掌，融会贯通。
数学是由基本概念理论、性质、运算和应用 四部分组成。做到基本概念清楚，基本理论、性质 要弄懂，基本运算要熟练才能做到应用自如，有所 创新。
要求：
1、不缺席，有事必须请假。 2、上课认真听。 3、独立完成作业，将教学内容弄清楚后再做。 4、按时交作业，有错及时改。 5、有问题及时与教师交流，同学中互助。
线性代数 前言
线性代数在十九世纪就已经获得了辉煌的成就，由 于它在数学的许多分支以及物理、经济、计算机等技术 科学中有越来越广泛的应用，特别在电子、控制论、遗 传工程、线性规划、测绘技术等方面应用广泛，且占有 重要地位，正因为如此，线性代数课程以成为工科学生 的必修课程。
线性代数产生于解析几何学，其研究的对象主要是 线性空间与线性变换的理论与方法，而线性代数教材的 主要内容却是线性方程组理论（线性方程组理论是线性 代数的基础内容，或者说是初等部分），这是由于在现 实生活中90%的工程技术问题都归结为线性方程组的求 解。线性方程组的求解工具是行列式与矩阵，行列式、 矩阵也是线性代数课程的重要内容。
2、三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
（二）代数
代数学是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部 著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么 叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时 所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中 的x把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以方程 是和代数紧密联系的。
“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传 入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译 成为“代数学”，一直沿用至今。
然后相加得方程：
(a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 ) x1 (b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 b1a23a32 a12b2a33 a13a22b3 )
若系数
(a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 ) 0
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11