清华大学2020年强基计划数学试题

清华大学2020年强基计划数学试题
1、若()R y x y x ∈=+,122，则22y xy x -+的取值范围是（） A 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
23,23 B 、[]1,1-
C 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
25,25 D 、[]2,2-
2、在非等边三角形ABC 中，AC BC =，点P O ,分别是ABC ∆的外心与内心，若点D 在边BC 上，且BP OD ⊥，
则下列选项正确的是（）
3、若{}2020
,...,3,2,1,,⊆C B A ，C A ⊆，C B ⊆，则有序集合组()C B A ,,的组数是（） A 、2020
2
B 、2020
3
C 、2020
4
D 、2020
5
4、若00=a ，()N i a a i i ∈+=+11，则∑=n
k k
a
1
的值可以是（）
A 、0
B 、2
C 、10
D 、12
5、已知点()0,1A ，()1,1B ，若P 为椭圆13
42
2=+y x 上的动点，则PB PA +的最大值与最小值分别是（） A 、24,24-+
B 、34,34-+
C 、54,54-+
D 、64,64-+
6、若一个三角形的个边长均为整数，且其面积为有理数，则该三角形某一边的边长可以是（）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、已知两点()0,2-A ，()0,2B ，P 为双曲线14
22
=-y x 上不是顶点的动点，若α=∠PAB ，β=∠PBA ，则下列各式中为定值的是（） A 、βαtan tan
B 、2
tan
2
tan
β
α
C 、()βα+∆tan PAB S
D 、()βα+∆cot PAB S
8、甲、乙、丙三人做同一道题，甲说“我做错了”，乙说“甲作对了”，丙说“我做错了”，老实说“有且仅有一个人做对，有且仅有一个人说错了”。

若老师说的话一定正确，则（） A 、甲说的对 B 、乙说的对 C 、丙说的对 D 、甲、乙、丙说的都不对 9、在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=
AB ，1=BC ，
=+
+
→
→
→
→
→
→
PC
PC PB
PB PA
PA ，则（）
A 、︒=∠120AP
B B 、︒=∠120BP
C C 、PC BP =2
D 、PC AP 2=
10、∑=+∞
→n
k n k
1
2
2
arctan lim
=（）
A 、
π4
3 B 、π
C 、π2
3
D 、π3
7
11、若从9,...,2,1,0中选取5个两两互异的数字依次排成一个五位数（）包括0在首位的5位数，其大小就是把0去掉后的四位数，则它能被396整除的概率是（） A 、
396
1 B 、324 C 、
315
1 D 、
210
1 A 、四点共圆P O D B ,,,
B 、A
C O
D //
C 、AB O
D //
D 、AC DP //
12、已知()(),...3,2,12
1
===k k X P k ，若Y 为X 除以3所得的余数，则随机变量Y 的期望是（） A 、74 B 、78 C 、712 D 、7
16
13、若空间向量c b a
,,满足1≤a ，2≤b ，b a c b a 22-=++，则c 的最值为（）
A 、最大值为24
B 、最大值为52
C 、最小值为0
D 、最小值为2
14、若*,N y x ∈，则下列说法正确的是（） A 、y x 22+与x y 22+可以均为完全平方数 B 、y x 42+与x y 42+可以均为完全平方数 C 、y x 52+与x y 52+可以均为完全平方数 D 、y x 62+与x y 62+可以均为完全平方数
15、=⎪⎭
⎫
⎝⎛++51arcsin 103arccos
1arctan sin （） A 、0
B 、
2
1
C 、
2
2 D 、1
16、若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为α，侧棱与底面所成线面角的大小为β，则（） A 、1tan cos 2=+βα B 、1tan sec 2-=+βα C 、1tan 2cos 2=+βα
D 、1tan 2sec 2-=+βα
17、函数()()22sin 2≤≤-++=-x x e e e x f x
x
x
的最大值与最小值之和是（） A 、2
B 、e
C 、3
D 、4
18、已知()x f y =是上凸函数，c x =是极大值点，函数()x f y =的部分图像如图1所示，若函数()x f y =的图像与直线a x =，()b t a t x <<=，0=y 围成图形的面积为()t S ，则当[]b a x ,∈时，函数()x f '，()x S '的最大值分别是（） A 、()b f ，()a f '
B 、()a f '，()b f
C 、()c f ，()a f '
D 、()a f '， ()c f
19、把数列{}n a 的前n 项和记作n S ，若*
N n ∈∀，*
N m ∈∃，m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下选项中正确的是（）
A 、若⎩⎨⎧≥==-2
,21, 12n n a n n ，则{}n a 为“某数列”；
B 、若k a n =（k 为常数），则{}n a 为“某数列”；
C 、若kn a n =（k 为常数），则{}n a 为“某数列”；
D 、对于任意的等差数列{}n a ，均存在两个“某数列”{}n b ，{}n c ，使得n n n c b a +=；
20、
=+⎰
π
20
4
42cos sin sin dx x
x x
（） A 、π B 、π2
C 、π2
D 、π5
二、试题解析
1、C ，可设θcos r x =，θsin r y =，10≤≤r ，πθ20<≤， 得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+25,252cos 2sin 2
12
2
2
θθr y xy x 。

2、AD ，由题设可得点P O ,不重合。

如图2所示，可得点P O ,在等腰ABC ∆底边上的高CE 上（点E 是AB 边上的中点）。

可设直线BP OD ,交于点R ，可得︒=∠=∠90CEB R ，所以B E R O ,,,四点共圆。

再由题设“点P 是ABC ∆的内心”，可得ROP RBE CBP ∠=∠=∠，所以P O D B ,,,四点共圆，选项A 正确。

由P O D B ,,,四点共圆，可得BOP BDP ∠=∠。

由题设“点O 是ABC ∆的外心”，可得
BCA BCO CBP ∠=∠=∠2，所以BCA BOP ∠=∠，所以AC DP //，得选项D 正确，
选项B 错误。

若AB OD //，由AB CE ⊥，可得OD CE ⊥，又由OD PB ⊥，可得CE PB //。

而直线CE PB ,交于点P ，所以选项C 错误。

3、D ，如图3所示，其中{}2020
,...,3,2,1=U ，可得元素2020,...,3,2,1均有5种问题填发，由分布乘法计数原理可得索求答案是2020
5。

4、BC ，显然11+=+n n a a 或11--=+n n a a 。

当n 为奇数时，则n a 为奇数，则()4mod 1≡n a 或()4mod 3≡n a 。

若()4mod 1≡n a 时，()4mod 211≡+=+n n a a 或()4mod 2211≡-≡--=+n n a a ，总有()4mod 3211≡+≡++n n a a 。

同理若()4mod 3≡n a 时，有()4mod 31≡++n n a a 。

所以对任意奇数n ，有()4mod 31≡++n n a a ，则
()()4mod 210310
1
21
2201
≡⨯≡+=∑∑=-=k k k k k a a
a ，
则
()4mod 2220
1
20
1
≡±≡±=∑∑==k k k k
a a
，因而排除AD 。

令数列{}n a 前20项为4,5,...,4,5,4,5,4,5,4,3,2,1----，则
()()2845432120
1
=⨯+-++++=∑=k k
a
，B 正确。

令数列{}n a 前20项为2,1,...,
2,1,2,1,2,1----，则()10102120
1
=⨯-=∑=k k
a
C 正确。

5、C ，设()0,1-F ，考虑A F ,分别为椭圆的左右焦点，有PF PA -=4，所以PB PF PB PA +-=+4。

考虑BF PF PB BF ≤-≤-，5=BF ，所以[]
54,544+-∈+-=+PB PF PB PA 。

6、CD ，设三角形三边为n m a +=，p m b +=，p n c +=。

由*,,N c b a ∈可得，*
2,2,2N p n m ∈。

设三角形面积为S ，由海伦公式()mnp p n m S ++=2。

当1=+n m 时，有2
1
=
=n m ，易得p 2为奇数，则()p p S 222162⨯+=，为完全平方数， 考虑*12,2N p p ∈+，并且()()2
2122224+<⨯+<p p p p ，则()p p 222⨯+不可能为完全平凡数矛盾，排除A 。

当2=+n m 时，则有2
3
,21==n m 或1==n m 。

若2
3
,21==
n m ，易得p 2为奇数， ()()[]222243224316p p p p S +⨯=⨯+=为完全平方数，则()[]
()4mod 122432
≡+⨯p p
考虑p 2为奇数，所以()()4mod 122
≡p ，则()[]
()4mod 322432
≡+⨯p p ，矛盾。

若1==n m ，则*N p ∈，()p p S +=22为完全平方数，
考虑()()2
212+<+<p p p p ，则()p p +2不可能为完全平方数，矛盾。

综上2=+n m 时不存在这样的三角形，矛盾。

考虑三边为5,4,3的直角三角形，可知CD 正确。

7、AC ，由对称性，只需考虑点P 在第一象限的情况。

设()θθtan ,sec 2P ，2
0π
θ<
<，则θθθθαcos 22sin 2sec 2tan tan +=+=。

2
cos 2sin sec 22tan tan -=-=θθ
θθβ。

()()4
1
cos 22cos 22sin tan tan 2-=+-=θθθβα。

所以选择A 。

θθtan 2tan 2
1
=⨯⨯=
∆AB S ABP 。

()θθθθθθ
θθβαβαβαcot 54
sin 4cos sin 4544112cos 2sin 2cos 2sin tan tan 1tan tan tan 2
-=⨯-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+
+=-+=+。

所以()5
8
cot 54tan 2tan -=⨯
-=+∆θθβαABP S ，选择C 8、A ，若仅甲说的对，则甲做错了；可得乙、丙均说错了，得丙做对了，满足题设。

若仅乙说对，则甲做对了；可得甲乙均说错了，得丙也对了，与题设矛盾。

若仅丙说的对，则丙做错了；可得甲说错了，得甲作对了；还可得乙说错了，得甲也做错了，矛盾。

综上所述，可得仅甲说的对。

9、ABCD ，
→
→
→
→
→
→
PC
PC PB
PB PA
PA ,
,
分别是与→
→→PC PB PA ,,同向的单位向量。

考
虑
0 =+
+
→
→
→
→
→
→
PC
PC PB
PB PA
PA ，得→→→PC PB PA ,,之间的夹角都为π3
2
，AB 正确。

设α=∠BAP ，则α-︒=∠30PAC ，α+︒=∠30PCA ，α-︒=∠30PCB ，
α+︒=∠30PBC ，易得PAC ∆与PCB ∆相似。

则有
2===BC
AC
PC PA PB PC ，则有PC BP =2，PC AP 2=。

所以CD 正确。

10、A ，先证明()()()*21arctan 1arctan 2
arctan
N k k k k
∈--+=成立。

因为()()[]()()()()2
2111111arctan 1arctan tan k k k k k k k =-++--+=
--+， 又()()⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈-+2,
01arctan ,1arctan πk k ，所以 ()()1arctan 1arctan
->+k k ， 所以()()⎪⎭
⎫
⎝⎛∈->+2,02arctan
,1arctan 1arctan 2πk k k ，所以结论成立。

因而 ()()[]()[]4
30arctan 1arctan arctan 1arctan lim 1arctan 1arctan lim 2
arctan lim 1
12π
=
--++=--+=+∞
→=+∞→=+∞→∑∑n n k k k n n
k n n
k n
11、C ，4119396⨯⨯=，设此五位数e d c b a x ++++=10100100010000，{}{}9,...,1,0,,,,⊆e d c b a 。

e d c b a x ++++⇒|9|9……①，e d x +⇒10|4|4……②，()()d b e c a x +-++⇒|11……③。

考虑3510≤++++≤e d c b a ，由①得，{}27,18∈++++e d c b a 。

当18=++++e d c b a 时得，9=+=++d b e c a 。

{}e c a ,,可能是{}810，，，{}7,2,0，{}6,3,0，{}5,4,0，{}6,2,1，{}5,3,1，{}4,3,2。

若{}{}8,1,0,,=e c a ，则，{}d b ,可以是{}7,2，{}6,3，{}5,4。

如果{}{}7,2,=d b ，由③得⎩⎨
⎧==02e d 或⎩⎨⎧==8
2
e d ，考虑c a ,可以互换，所以此时有422=⨯个数满足条件。

如果{}{}6,3,=d b ，由③得⎩⎨
⎧==06e d ，⎩
⎨⎧==86
e d ，考虑c a ,可以互换，所以此时有422=⨯个数满足条件。

如果{}{}5,4,=d b ，由③得⎩⎨
⎧==04e d ，⎩⎨⎧==84
e d ，考虑c a ,可以互换，所以此时有422=⨯个数满足条件。

所以{}{
}8,1,0,,=e c a 时有12个数满足条件 同理可得{}{
}7,2,0,,=e c a ，{}{}6,3,0,,=e c a ，{}{}5,4,0,,=e c a 都有12个数满足条件。

若{}{
}6,2,1,,=e c a ，则{}d b ,可以是{}9,0，{}5,4。

如果{}{}9,0,=d b ，由③得⎩⎨
⎧==29e d ，⎩⎨⎧==6
9
e d ，考虑c a ,可以互换，所以此时有422=⨯个数满足条件。

如果{}{}5,4,=d b ，由③得⎩⎨
⎧==25e d ，⎩
⎨⎧==65
e d ，考虑c a ,可以互换，所以此时有422=⨯个数满足条件。

所以{}{}6,2,1,,=e c a 有8个数满足条件。

同理可得{}{}4,3,2,,=e c a 也有8个数满足条件。

若{}{}5,3,1,,=e c a ，则x 为奇数，不能被4整除，舍去。

因此18=++++e d c b a 时，共有64028412=+⨯+⨯个满足条件。

当27=++++e d c b a 时，由②得19=++e c a ，8=+d b 。

则{}e c a ,,可以是{}9,8,2，{}9,7,3，{}8,7,4，{}9,6,4，{}8,6,5。

按照上述方法讨论，可得此时有32个数满足条件 所以
315
1
32645
10=+A 。

12、B ，可得()7121013===∑+∞
=k k Y P ，()74211123===∑+∞=-k k Y P ，()72
2
12113===∑+∞
=-k k Y P 。

()7
8
722741710=⨯+⨯+⨯=Y E 。

13、BC ，c b a b a c ++≤+-22，即b a b a c 22-≤+-，b a b a c
22++-≤。

由柯西不等式，(
)()20442211222222
2
2
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝
⎛++-+≤++-b a b a b a b
a b a
，所以52≤c 。

当()1,0=a ，()0,1=b ，()2,4--=c
时满足题设。

B 正确。

令b a ⊥，0 =c ，满足题设，所以c
最小值为0，C 正确。

14、CD ，由对称性可知，不妨设y x ≤。

对于选项A ，由()2
222122+<+≤+<y y y x y y ，所以x y 22
+不为完全平方数，故A 错误；
对于选项B ，由()2
222244+<+≤+<y y y x y y ，若x y 42
+为完全平方数，必然有()2
214+=+y x y ，
即124+=y x ，考虑等式左边为偶数，右边为奇数，这不可能，所以B 错误。

选 4==y x ，得36552
2=+=+x y y x ，故选项C 正确； 选2==y x ，得16662
2=+=+x y y x ，故选项D 正确；
15、D ，设103cos =
α，5
1
sin =β，2,0πβα<<。

则31tan =α，21tan =β，
所以()13
121131
21tan =⨯-+=+βα。

即4πβα=+，41arctan π=，所以122sin =⎪⎭⎫
⎝⎛+=ππ原式，选D 。

16、D ，如图5，设正四棱锥的底面边长2=AB ，高h PO =，
可得2
tan tan h
AO PO PAO ==
∠=β。

在POB ∆Rt 中，可得2222+=+=
h OB PO PB 。

设等腰PAB ∆的底边AB 的中点是M ， 可得AB PM ⊥，1222+=+=
h AM PA PM 。

作PB AH ⊥于点H ，连接CH ，可得AHC ∠=α，AH CH =。

还可得PB AH PM AB S PAB ⋅=⋅=∆2。

所以2
1
222++=
⋅==h h PB PM AH AH CH ，22=AC 。

在ACH ∆Rt 中，由余弦定理，可求得()()1
12
2
14822142cos cos 22222222+-
=⨯++-⨯++=⋅-+=∠=h h h h h CH AH AC CH AH AHC α。

进而可得1tan 2sec 2-=+βα，选D 。

17、A ，由“闭区间上的连续函数存在最大值与最小值”，可得函数()x f 的最大值与最小值存在。

可得()()22sin 1≤≤-++-=---x x e
e e e x
f x
x
x
x ，则()()()221≤≤--=x x f x g 是奇函数。

当[]1,0∈x 时，()2<x g ，所以函数()x g 的最大值与最小值均存在且互为相反数，可分别设为M M -,。

所以函数()x f 的最大值与最小值分别是M M -+1,1，所以所求答案是 211=-++M M 。

18、D ，由()x f 是上凸函数，可得()x f '是减函数，所以当[]b a x ,∈时，函数()x f '的最大值是()a f '。

还可得()()⎰=
t
a
dx x f t S ，所以()()x f t S ='。

由题设()
()()c f x f t S =='max max。

19、 ACD ，对于选项A ，可求得()
*12N n S n n ∈=-，所以()
*1N n a S n n ∈=+，选项A 正确。

选项B 错误，若2
1=
k ，则对*
N m ∈∀，m a S ≠=12。

选项C 正确，*
N n ∈∀，()n n a n k S +++=+++=...21...21。

选项D 正确，设等差数列通项公式为nd a a n +=，R a ∈，d 为公差，*
N n ∈。

令nd b n =，⎩⎨⎧≥=-=2
,01,1n n d a c n ，*
N n ∈。

20、B ，
=+⎰
π
20
442cos sin sin dx x x x 考虑函数()x
x x
x f 442cos sin sin +=周期为π
，且关于2π=x 对称。

则
(
)
(
)
()()
π
ππππππππ
π
π
πππ2422422|12arctan 2|12arctan 21
121
21
121
2|1
212ln 22121
1211
22222
1
2222
2
1
22
21222|1141tan sec 4cos sin cos 42cos 2sin 2sin 4cos sin sin 4cos sin sin 000
2
02
02202020
20
20202tan 042
422
044220442244220442=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=+-+++++-++=+-+++++---
+++=+---+++=+=+=+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞+∞+∞
+∞+∞
+∞+∞+∞
+∞
+∞+∞+=∞+⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u dx
u dx u u u u u dx u u dx u u dx u u u dx u u u dx u u u dx u u u dx u dx x x dx x x x dx x x x dx x x x dx x x x x u 。