高中数学选择性必修修二4.6考点1 利用正、余弦定理解三角形

第四章 三角函数与解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理
考点1 利用正、余弦定理解三角形
（2018·北京卷（理））在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.
（1）求∠A ；
（2）求AC 边上的高．
【解析】（1）在△ABC 中，因为cos B ＝－17，
所以sin B ＝√1−cos 2B ＝
4√37. 由正弦定理得sin A ＝
asin B b ＝√32. 由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2，
所以∠A ＝π3. （2）在△ABC 中，
因为sin C ＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3√314，
所以AC 边上的高为a sin C ＝7×
3√314＝3√32. 【答案】见解析
（2018·浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝√7，b ＝2，A ＝60°，则si n B ＝________，c ＝________.
【解析】如图，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，
得sin B ＝b a ·sin A ＝7×√32＝√217
. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，
得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，
即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1（舍去）．
【答案】
√217 3
（2018·天津卷（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知b sin A ＝a cos (B −π6).
（1）求角B 的大小；
（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A －B ）的值．
【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理a
sin A ＝b
sin B ，可得
b sin A ＝a sin B ．
又由b sin A ＝a cos (B −π6)，得a sin B ＝a cos (B −π6)，
即sin B ＝cos (B −π6)，所以tan B ＝√3.
又因为B ∈（0，π），所以B ＝π3.
（2）在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝√7.
由b sin A ＝a cos (B −π6)，可得sin A ＝√217 .
因为a ＜c ，所以cos A ＝2√77 .
因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝4√37，
cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.
所以sin （2A －B ）＝sin 2A cos B －cos 2A sin B
＝4√37×12－17×√32＝3√314.
【答案】见解析
（2018·全国卷Ⅲ
（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C 等于（
）
A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6
【解析】∵S ＝12ab sin C ＝a 2+b 2−c 24＝2ab cos C 4
＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.
又∵C ∈（0，π），∴C ＝π4.
【答案】C
（2018·全国Ⅱ卷（理））在△ABC 中，cos C 2＝√55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于（ ） A ．4√2
B ．√30
C ．√29
D ．2√5 【解析】∵cos C 2＝√55，
∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(√55)2－1＝－35.
在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×(−35)＝32，
∴AB ＝√32＝4√2.
故选A ．
【答案】A
（2018·全国Ⅰ卷（理））在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.
（1）求cos ∠ADB ；
（2）若DC ＝2√2，求BC ．
【解析】（1）在△ABD 中，由正弦定理得
BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ， 即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝√25.
由题意知，∠ADB ＜90°，
所以cos ∠ADB ＝√1−sin 2∠ADB ＝√1−225＝√235
. （2）由题意及（1）知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝√25.
在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×2√2×√25＝25， 所以BC ＝5.
【答案】见解析。