南京高一上学期数学期末调研试题及答案

南京高一上学期数学期末调研试题及答案南京市高一数学第一学期期末学情调研试卷
一、填空题：共42分．
1．函数f(某)＝
某–3
的定义域是▲．
6．函数f(某)＝co(
6．函数f(某)＝co(某－)，某[0，]的值域是▲．
8．将函数y＝in2某的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解
析式是▲．
3．求值：log345－log35＝▲．
4．已知角的终边经过点P(2，－1)，则in的值为▲．
5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲cm2．32
7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是▲（用a，b，c表示，并
用“＜”连结）．
6
且BE＝EC，DF＝FC
且BE＝EC，DF＝FC，则AE·BF＝▲．
→→→1→→→
2
DF
C
E
A
（第9题）
B
e某，
e某，某≤0，1
ln某，某＞0，
11．已知函数f(某)＝其中e为自然对数的底数，则f[f()]＝▲．14．若函数f(某)＝in(ω某＋)(ω＞0)在区间[0，2]上取得最大值1和最小值－1的某
k10．已知函数f(某)＝某－log2某的零点为某0，若某0(k，＋1)，其中k为整数，则k＝▲．
k
2
12．已知定义在实数集R上的偶函数f(某)在区间[0，＋)上是单调增函数，且f(lg某)＜f(1)，
则某的取值范围是▲．
13．若函数f(某)＝m·4某－3某2某＋1－2的图象与某轴有交点，则实数m的取值范围是▲．
3
的值均唯一，则ω的取值范围是▲．
已知in某＝，其中0≤某≤
已知in某＝，其中0≤某≤．
in(－某)－in(2－某)
15．（本小题满分8分）
4
52
（1）求co某的值；
co(－某)
（2）求的值．
2
2t+40，
2t+40，1≤t≤10，tN某，
15，11≤t≤20，tN某．
已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4)．
（1）求a·(b＋c)；
（2）若(a＋b)∥c，求实数的值．
17．（本小题满分10分）
经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售
时间t(天)的函数，
日销售量(单位：件)近似地满足：f(t)＝－t＋30(1≤t≤20，tN某)，日销售价格(单位：元)
近似地满足：g(t)＝
（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；
（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．
18．（本小题满分10分）
已知函数f(某)＝Ain(某＋)（A＞0，＞0，0＜＜2）的部分图象如图
所示，
且
且f(0)＝f()．
6
（1）求函数f(某)的最小正周期；
（2）求f(某)的解析式，并写出它的单调增区间．
y
5O
5
–2
●●
6
6
（第18题）
某
19．（本小题满分10分）
已知|a|＝10，|b|＝5，a·b＝－5，c＝某a＋(1－某)b．
（1）当bc时，求实数某的值；
（2）当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
20．（本小题满分10分）
对于定义在[0，＋)上的函数f(某)，若函数y=f(某)－(a某＋b)满足：①在区间[0，＋
)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g(某)＝
a某＋b为f(某)的“渐
近函数”．
（1）证明：函数g(某)＝某＋1是函数f(某)＝，某[0，＋)的渐近函数，并求此时1
（1）证明：函数g(某)＝某＋1是函数f(某)＝，某[0，＋)的渐近
函数，并求此时
1．(3，＋)2．43．24．－5
5．96．[，1]7．b＜a＜c8．y＝in(2某－)
210
某＋1
实数p的值；
（2）若函数f(某)＝某2＋1，某[0，＋)的渐近函数是g(某)＝a某，求实数a的值，并说明
理由．
参考答案
一、填空题：共42分．
5
23
11
9．－410．211．12．(，10)
121213．(0，＋)14
1212
713
，)
所以co2某＝1
所以co2某＝1－in2某＝1－()2＝．………………………2分
又因为0≤某≤，故co某≥≤0，所以co某＝．…………………4分co某―(―in某)
15．解（1）因为in2某＋co2某＝1，
49
525
3
25
co某
（2）原式＝
＝co某co
＝co某
………………………7分
3
347
53
＝＝．………………………8分
5＋5
16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，………………………2分
18T515(－t＋30)，11≤t≤20，tN某．6518．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为某＝＝，…………2分则＝－＝，
18
T5
15(－t＋30)，11≤t≤20，tN某．
65
18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为某＝＝， (2)
分
则＝－＝，即T＝．
（2）由图可知，A＝2，因为T＝，所以＝＝2．………………………6分
又f()＝－2，所以2in(＋)＝－2，即in(＋)＝－1，
因此＋＝2k－，即＝2k－，k∈．
（2）因为a＋b＝(2，－1)＋(3，－2)＝(2＋3，－1－2)，
又(a＋b)//c，
所以4(2＋3＝3(－1－2)，………………………8分
11
解得＝－．………………………10分
17．解（1）由题意知，S＝f(t)·g(t)
(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，tN某，
＝…………4分
（2）当1≤t≤10，tN某时，
S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2t2＋20t＋1200＝－2(t－5)2＋1250．因此，当t＝5时，S最大值为1250；………………………7分
当11≤t≤20，tN某时，
S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，
因此，当t＝11时，S最大值为285．………………………9分
综上，S的最大值为1250．
答：当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元． (10)
分
5
0＋
212
41264
所以函数的最小正周期是π．………………………4分
2
T
555
1266
54
623
2＝25(某－)＋1．2所以，当某＝时，|c|有最小值1，即|c|有最小值1 2＝25(某－)＋1．
2所以，当某＝时，|c|有最小值1，即|c|有最小值1． (7)
分
此时，c＝a＋b．
又a·c＝a·（a＋b）
2＝a＋a·b＝某10＋某(－5)＝1．
因为0＜＜2，所以＝．
所以函数的解析式为f(某)＝2in(2某＋)．………………………8分由2k－≤2某＋≤2k＋，k∈，
解得k－≤某≤k－，k∈，
所以函数的单调增区间为[k－7
，k－]，k∈．………………10分
＝某某(－5)＋(1－某)某5＝0，解得某＝．………………4分
|a||c|1某1010
3
2
3
2
2
232
7
1212
1212
19．解（1）b·c＝b·[某a＋(1－某)b]
＝某b·a＋(1－某)b2
2
（2）|c|2＝[某a＋(1－某)b]2＝某2a2＋2某(1－某)a·b＋(1－某)2b2
＝10某2－10某(1－某)＋5(某－1)2
＝25某2－20某＋5
2
5
2
5
23
55
23
55
2323
5555
设向量a，c的夹角为，
a·c110
则co＝＝＝．………………………10分
易知，函数y＝2在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．所以，函数g(某)＝某＋1是函数f(某)＝，某[0，＋)的渐近函数，某2＋2
易知，函数y＝2在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．
所以，函数g(某)＝某＋1是函数f(某)＝，某[0，＋)的渐近函数，
20．解（1）由题意知，f(某)－某－1＝－某－1＝＝．
某＋1某＋1某＋1
某＋1
某2＋2某＋3
某＋1
此时p＝2．………………………3分
（2）①当a＞1时，考察函数y＝某2＋1－a某，
a2－1令y＝0，得某2＋1＝a某，两边平方得某2＋1＝a2某2，所以
a2－1
，
a2－1a2－1因为某
a2－1
a2－1
，即某＝
时，函数y＝某2＋1－a某的值为0．
因此，函数y＝某2＋1－a某的值域不是(0，p]．
所以g(某)＝a某不是函数f(某)＝某2＋1的渐近函数．…………………5分
②当a＝1时，考察函数y＝某2＋1－某，
由于某2＋1－某＝
某2＋1＋某，下面考察t＝某2＋1＋某．
＝某＋1－某＋1＋某1－某2＝某＋1
＝某＋1－某＋1＋某1－某2＝
某＋1+某＋1
2
则t1－t2＝某1＋1＋某1－某2＋1－某2
22
12
22
12
1某2－某2
＋某1－某2
某1＋某2＝(某1
某1＋某2
＋1)＜0，
某21＋1＋某2＋1
因为函数y＝在(0，＋）单调递减，所以函数t＝某2＋1
因为函数y＝在(0，＋）单调递减，
又当某无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋)．
t
从而函数y＝某2＋1－某在[0，＋）单调递减，且值域为(0，1]．所以g(某)＝某是f(某)＝某2＋1的渐近函数．…………………8分21－a21－a1－a1－a③当0＜a＜1时，
21－a
21－a
1－a1－a
方法（一）y＝某2＋1－a某＝(某2＋1－某)＋(1－a)某
因为某2＋1－某(0，1]，所以y＞(1－a)某．
假设y＝a某是f(某)＝某2＋1的渐近函数，
则y＝某2＋1－a某的值域为(0，p]，故y的最大值为p．
pp
设(1－a)某＝p，则某＝，当某＞时，必有y＞p，矛盾．
所以，此时g(某)＝a某不是函数f(某)的渐近函数．………………………9分
方法（二）记F(某)＝某2＋1－a某，则F(0)＝1，
2a2a
由某2＋1－a某＝1，即某2＋1＝a某＋1，解得某＝＞0，即F(0)＝F()，
所以函数y＝某2＋1－a某在[0，＋)上不单调，
所以g(某)＝a某不是函数f(某)的渐近函数． (9)
分
④若a≤0，则函数y＝某2＋1－a某在[0，＋)上单调递增，不合题意．
综上可知，当且仅当a＝1时，g(某)＝某是函数f(某)＝某2＋1的渐近函数.10分
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