三对角矩阵正定的充要条件

三对角矩阵正定的充要条件
三对角矩阵在数值计算中具有重要的应用，其中正定的三对角矩
阵更是被广泛应用于数值线性代数中的直接解法和迭代解法。

因此，
正定三对角矩阵的充要条件是每一个数值计算学生都必须掌握的知识
点之一。

本文将为大家分步骤阐述三对角矩阵正定的充要条件。

首先，我们先来介绍一下三对角矩阵。

三对角矩阵是指只有主对
角线以及其相邻的两条对角线上元素不为零的矩阵。

形式化地，一个
$n\times n$的矩阵$A$称为三对角矩阵，当且仅当$A_{i,j}=0$，除非$i=j$，$j=i\pm1$。

事实上，大量的实际应用中的矩阵都可以表示为
三对角矩阵。

接下来，我们来探讨三对角矩阵正定的充要条件。

一个矩阵
$A$正定的定义是：对于任意非零向量$x\in\mathbb{R}^n$，都有
$x^TAx>0$。

因此，我们只需证明：若三对角矩阵$A$正定，则$A$的对
角线元素和副对角线元素都大于零，即$A_{i,i}>0$和$A_{i,i+1}>0$。

接下来，我们分两步进行证明：
第一步，假设$A$正定，则$A$的对角线元素都大于零：从$A$的
正定定义入手，代入$x=e_i$，其中$e_i$为第$i$个分量为1，其他分
量为0的向量。

则有$e_i^TAe_i=A_{i,i}>0$，而$A_{i,i}$即为$A$的
对角线元素。

因此，可得到$A$的对角线元素都大于零。

第二步，假设$A$正定，则$A$的副对角线元素都大于零：从
$A$的正定定义入手，代入$x=e_i+e_{i+1}$，其中$e_i$为第$i$个分
量为1，其他分量为0的向量。

因为$A$是三对角矩阵，所以只有
$A_{i,i-1}, A_{i,i}, A_{i,i+1}$不为零，而我们需要考虑的是
$A_{i,i+1}$是否大于零。

由于$x^TAx>0$，所以
$(e_i+e_{i+1})^TA(e_i+e_{i+1})>0$，即
$A_{i,i}+2A_{i,i+1}+A_{i+1,i+1}>0$，而$A_{i,i}>0$，故
$A_{i,i+1}>0$。

综上所述，三对角矩阵$A$正定的充要条件是：$A$的对角线元素
和副对角线元素都大于零，即$A_{i,i}>0$和$A_{i,i+1}>0$。

这一条件为矩阵推导和计算提供了极大的方便和效率。