高考数学总复习 6.2均值不等式课件 文 新人教B版
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第三十六页，共36页。
杂质的质量分数最小．
第三十五页，共36页。
解法二：依题意，即所求的 a、b 的值使 ab 最大． 由题设知，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)． 即 a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)． 因为 a＋2b≥2 2ab，所以 2 2· ab＋ab≤30. 当 a＝2b 时，上式取等号． 由 a>0，b>0，解得 0<ab≤18. 即当 a＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18， 所以 2b2＝18. 解得 b＝3，b＝－3(舍去)．b＝3 时，a＝6. 故当 a 为 6 m，b 为 3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小．
第五页，共36页。
三、利用均值不等式求最值的规律 设 x，y>0，由 x＋y≥2 xy知： 1．如果 x，y 是正数，且积 xy＝P，(P 是定值) 则 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P. 2．如果 x，y 是正数，和 x＋y＝S，(S 是定值) 则 x＝y 时，积 xy 有最大值(S2)2. 运用均值不等式求最值的三要素：一正二定三相 等．
4．如果 lgx＋lgy＝2，则1x＋1y的最小值是( )
A．2
1 B.2
1
1
C.5
D.20
[答案(dáàn)] C
第十五页，共36页。
二、填空题 5．函数 y＝x2＋x2＋1 1＋1 的值域为________．
[答案(dáàn)] [2，＋∞)
第十六页，共36页。
第十七页，共36页。
例 1 (1)已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x－1 5的最 大值；
A．8
B．4
()
C] ∵2a＋2b≥2 2a＋b＝4， ∴选 B.
[答案(dáàn)] B
第十页，共36页。
2．“a>b>0”是“ab<a2＋2 b2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
()
第十一页，共36页。
• 问：当a、b各为多少米时， • 经沉淀后流出的水中该杂 • 质的质量分数最小(A、B • 两孔的面积忽略不计)?
第三十三页，共36页。
[解] 解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数， 则 y＝akb，其中 k>0 为比例系数．依题意，即所求 的 a、b 值使 y 值最小． 依题设有 4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得 b＝320＋－aa(0<a<30)①
例 2 已知 a、b、c∈R＋， 求证：bac3＋abc3＋acb3 ≥a＋b＋c.
第二十五页，共36页。
[证明]
a4＋b4≥2a2b2， ∵b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
由三式相加得 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋a2c2.
a2b2＋b2c2≥2 a2b4c2＝2ab2c， 又∵b2c2＋c2a2≥2abc2，
• (1)写出x与n的关系式； • (2)问x为何值时，才能使总损失最小？
第三十页，共36页。
[解] (1)由题意知：5×100＋100n＝50nx. (2)设总损失费用为 y 元，则 y＝125nx＋100x＋60(n＋5)×100 由(1)知 n＝x－102代入上式并整理得： y＝31450＋6x2－5020＋100(x－2) ≥31450＋2 6250000＝36450(元)． 当且仅当6x2－5020＝100(x－2)时上式等号成立． 所以当 x＝27 时，才能使总损失最小．
第六页，共36页。
四、常用不等式 1．若 a∈R，则 a2≥0，|a|≥0； 2.a2＋2 b2≥(a＋2 b)2(a＝b 时取“＝”)； 3．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac； 4．若 a>b>0，m>0，则ba<ba＋ ＋mm； 5．若 a>0，则 a＋1a≥2； 6．若 a<0，则 a＋1a≤－2；
第十九页，共36页。
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－(5－4x＋5－14x)＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x， 即 x＝1 时，上式等号成立． 故当 x＝1 时，ymax＝1.
第二十页，共36页。
(2)∵a>0，b>0，∴a＋b＋1≤ab≤(a＋2 b)2. 令 t＝a＋b(t>0)，得 t＋1≤t42， 即 t2－4t－4≥0，得 t≥2＋2 2(∵t>0)， 即 a＋b≥2＋2 2，当且仅当 a＝b＝1＋ 2时， 取“＝”． 故(a＋b)min＝2＋2 2.
第三十四页，共36页。
于是 y＝302a＋k－aa2＝－a＋32k－a6＋42
＝34－(a＋k2＋a6＋42)≥34－2
(ka＋2)·a6＋42＝1k8.
当且仅当 a＋2＝a6＋42时，取等号，y 达到最小值．
这时 a＝6，a＝－10(舍去)．
将 a＝6 代入①式得 b＝3.
故当 a 为 6 m，b 为 3 m 时，经沉淀后流出的水中该
()
第十三页，共36页。
[解析] 选项 A 中 lgx 的正负不确定， ∴lgx＋lg1x≥2 不对； 当 x≥2 时，x＋1x>2，∴C 不对； ∵0<x≤2 时，x－1x在(0,2]上单调递增， ∴x－1x∈－∞，32，x－1x有最大值，故 D 也不对．
[答案(dáàn)] B
第十四页，共36页。
第二十三页，共36页。
解法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 又知 x>1，y>9，所以 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 (x－1)(y－9)＋10 ＝2 9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
第二十四页，共36页。
(2)若 a>0，b>0 且满足 ab≥1＋a＋b，求 a＋b 的最 小值．
第十八页，共36页。
[分析] (1)由 x<54知 4x－5<0，所以首先要“调 整”符号．
又(4x－2)·4x－1 5不是常数，所以对 4x－2 要进行 拆，凑项．
(2)可将条件转化为只含 a＋b 的不等式，再解关于 “a＋b”的不等式，求出其最小值．
第二十七页，共36页。
思考探究 2 a、b、c 为互不相等的正数，且 abc ＝1.
求证：a1＋b1＋1c> a＋ b＋ c.
第二十八页，共36页。
[证明] ∵abc＝1 且 a、b、c 为互不相等的正数， ∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ab ＝bc＋2 ac＋ac＋2 ab＋ab＋2 bc > bc·ac＋ ac·ab＋ ab·bc ＝ c＋ a＋ b ∴1a＋1b＋1c> a＋ b＋ c.
且每年试题的形式新颖，常考常新． • 2．估计在2011年高考中主要考查判断大小、求最值、求取值范围.
第三页，共36页。
第四页，共36页。
一、基本不等式 1．a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab； 2．a，b∈R＋，则 a＋b≥2 ab. 当且仅当“a＝b”时上式中的“＝”成立． 二、均值不等式 若 a、b 都是正实数，则a＋2 b≥ ab 当且仅当“a＝b”时，上式中的“＝”成立 (两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)
第七页，共36页。
7．若 a≠0，则a＋1a≥2； 8．(a＋b)2≥4ab(a＝b 时取“＝”)；
9．ab≤a＋2 b2(a＝b 时取“＝”)； 10．a2＋b2≥±2|ab|；
11.
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
a2＋b2 2
(a
＝
b
时取
“＝”).
第八页，共36页。
一、选择题 1．若实数 a、b 满足 a＋b＝2，则 2a＋2b 的最小 值为
第三十一页，共36页。
• 对于此类有关函数的应用问题(wèntí)，要依据题意建立函数关系 并明确在实际意义下函数的定义域，在求函数的最值时，主要有 两种途径：一是转化为二次函数，利用二次函数的性质来求最值； 二是利用基本不等式来求函数的最值．
第三十二页，共36页。
• 思考探究3 如图所示，为处理含有某种杂质(zázhì)的污水，要制 造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后 从B孔流出．设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流水中含杂 质(zázhì)的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，
第二十一页，共36页。
• 用均值不等式求函数的最值时必须同时(tóngshí)具备“一正，二定，三 相等”这三个条件，才能应用，否则会求出错误的结果．再者注意掌 握“凑”(凑项，凑因子)的技巧，其目的是创造一个应用均值不等式的 情境．
第二十二页，共36页。
思考探究 1 已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
c2a2＋a2b2≥2a2bc，
三式相加得 a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2 综上得 a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2， 所以bac3＋cba3＋acb3 ≥a＋b＋c.
第二十六页，共36页。
• 证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择基本不等式，本题 (běntí)的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
[解析] 由 a>b>0 得(a－b)2>0 即 ab<a2＋2 b2； 由 ab<a2＋2 b2不一定得出 a>b>0， 如 a＝－4，b＝2. “a>b>0”是“ab<a2＋2 b2”的充分非必要条件．
[答案(dáàn)] A
第十二页，共36页。
3．下列结论正确的是
A．当 x>0 且 x≠1 时，lgx＋lg1x≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
第二十九页，共36页。
• 例3 森林失火，火势以100 m2/min的速度蔓延，消防队接警后 立即派消防员前去，在失火5 min后赶到现场开始灭火，已知每 位消防员每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料等费用每人每 分钟125元，另加每次灭火所消耗的车辆、器材(qìcái)和装备等 费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林直接损失为60元，设 消防队派x名消防队员前去救火，从到现场直至把火完全扑灭共 用n min.
第一页，共36页。
• 最新考纲解读 • 1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理． • 2．会用平均值定理求最大或最小值． • 3．能运用均值定理来揭示数量间或(jiàn huò)实际问题中的不等关
系．
第二页，共36页。
• 高考考查命题趋势 • 1．均值不等式是不等式的重要内容，也是历年(lìnián)高考的重点，
杂质的质量分数最小．
第三十五页，共36页。
解法二：依题意，即所求的 a、b 的值使 ab 最大． 由题设知，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)． 即 a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)． 因为 a＋2b≥2 2ab，所以 2 2· ab＋ab≤30. 当 a＝2b 时，上式取等号． 由 a>0，b>0，解得 0<ab≤18. 即当 a＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18， 所以 2b2＝18. 解得 b＝3，b＝－3(舍去)．b＝3 时，a＝6. 故当 a 为 6 m，b 为 3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小．
第五页，共36页。
三、利用均值不等式求最值的规律 设 x，y>0，由 x＋y≥2 xy知： 1．如果 x，y 是正数，且积 xy＝P，(P 是定值) 则 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P. 2．如果 x，y 是正数，和 x＋y＝S，(S 是定值) 则 x＝y 时，积 xy 有最大值(S2)2. 运用均值不等式求最值的三要素：一正二定三相 等．
4．如果 lgx＋lgy＝2，则1x＋1y的最小值是( )
A．2
1 B.2
1
1
C.5
D.20
[答案(dáàn)] C
第十五页，共36页。
二、填空题 5．函数 y＝x2＋x2＋1 1＋1 的值域为________．
[答案(dáàn)] [2，＋∞)
第十六页，共36页。
第十七页，共36页。
例 1 (1)已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x－1 5的最 大值；
A．8
B．4
()
C] ∵2a＋2b≥2 2a＋b＝4， ∴选 B.
[答案(dáàn)] B
第十页，共36页。
2．“a>b>0”是“ab<a2＋2 b2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
()
第十一页，共36页。
• 问：当a、b各为多少米时， • 经沉淀后流出的水中该杂 • 质的质量分数最小(A、B • 两孔的面积忽略不计)?
第三十三页，共36页。
[解] 解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数， 则 y＝akb，其中 k>0 为比例系数．依题意，即所求 的 a、b 值使 y 值最小． 依题设有 4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得 b＝320＋－aa(0<a<30)①
例 2 已知 a、b、c∈R＋， 求证：bac3＋abc3＋acb3 ≥a＋b＋c.
第二十五页，共36页。
[证明]
a4＋b4≥2a2b2， ∵b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
由三式相加得 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋a2c2.
a2b2＋b2c2≥2 a2b4c2＝2ab2c， 又∵b2c2＋c2a2≥2abc2，
• (1)写出x与n的关系式； • (2)问x为何值时，才能使总损失最小？
第三十页，共36页。
[解] (1)由题意知：5×100＋100n＝50nx. (2)设总损失费用为 y 元，则 y＝125nx＋100x＋60(n＋5)×100 由(1)知 n＝x－102代入上式并整理得： y＝31450＋6x2－5020＋100(x－2) ≥31450＋2 6250000＝36450(元)． 当且仅当6x2－5020＝100(x－2)时上式等号成立． 所以当 x＝27 时，才能使总损失最小．
第六页，共36页。
四、常用不等式 1．若 a∈R，则 a2≥0，|a|≥0； 2.a2＋2 b2≥(a＋2 b)2(a＝b 时取“＝”)； 3．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac； 4．若 a>b>0，m>0，则ba<ba＋ ＋mm； 5．若 a>0，则 a＋1a≥2； 6．若 a<0，则 a＋1a≤－2；
第十九页，共36页。
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－(5－4x＋5－14x)＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x， 即 x＝1 时，上式等号成立． 故当 x＝1 时，ymax＝1.
第二十页，共36页。
(2)∵a>0，b>0，∴a＋b＋1≤ab≤(a＋2 b)2. 令 t＝a＋b(t>0)，得 t＋1≤t42， 即 t2－4t－4≥0，得 t≥2＋2 2(∵t>0)， 即 a＋b≥2＋2 2，当且仅当 a＝b＝1＋ 2时， 取“＝”． 故(a＋b)min＝2＋2 2.
第三十四页，共36页。
于是 y＝302a＋k－aa2＝－a＋32k－a6＋42
＝34－(a＋k2＋a6＋42)≥34－2
(ka＋2)·a6＋42＝1k8.
当且仅当 a＋2＝a6＋42时，取等号，y 达到最小值．
这时 a＝6，a＝－10(舍去)．
将 a＝6 代入①式得 b＝3.
故当 a 为 6 m，b 为 3 m 时，经沉淀后流出的水中该
()
第十三页，共36页。
[解析] 选项 A 中 lgx 的正负不确定， ∴lgx＋lg1x≥2 不对； 当 x≥2 时，x＋1x>2，∴C 不对； ∵0<x≤2 时，x－1x在(0,2]上单调递增， ∴x－1x∈－∞，32，x－1x有最大值，故 D 也不对．
[答案(dáàn)] B
第十四页，共36页。
第二十三页，共36页。
解法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 又知 x>1，y>9，所以 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 (x－1)(y－9)＋10 ＝2 9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
第二十四页，共36页。
(2)若 a>0，b>0 且满足 ab≥1＋a＋b，求 a＋b 的最 小值．
第十八页，共36页。
[分析] (1)由 x<54知 4x－5<0，所以首先要“调 整”符号．
又(4x－2)·4x－1 5不是常数，所以对 4x－2 要进行 拆，凑项．
(2)可将条件转化为只含 a＋b 的不等式，再解关于 “a＋b”的不等式，求出其最小值．
第二十七页，共36页。
思考探究 2 a、b、c 为互不相等的正数，且 abc ＝1.
求证：a1＋b1＋1c> a＋ b＋ c.
第二十八页，共36页。
[证明] ∵abc＝1 且 a、b、c 为互不相等的正数， ∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ab ＝bc＋2 ac＋ac＋2 ab＋ab＋2 bc > bc·ac＋ ac·ab＋ ab·bc ＝ c＋ a＋ b ∴1a＋1b＋1c> a＋ b＋ c.
且每年试题的形式新颖，常考常新． • 2．估计在2011年高考中主要考查判断大小、求最值、求取值范围.
第三页，共36页。
第四页，共36页。
一、基本不等式 1．a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab； 2．a，b∈R＋，则 a＋b≥2 ab. 当且仅当“a＝b”时上式中的“＝”成立． 二、均值不等式 若 a、b 都是正实数，则a＋2 b≥ ab 当且仅当“a＝b”时，上式中的“＝”成立 (两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)
第七页，共36页。
7．若 a≠0，则a＋1a≥2； 8．(a＋b)2≥4ab(a＝b 时取“＝”)；
9．ab≤a＋2 b2(a＝b 时取“＝”)； 10．a2＋b2≥±2|ab|；
11.
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
a2＋b2 2
(a
＝
b
时取
“＝”).
第八页，共36页。
一、选择题 1．若实数 a、b 满足 a＋b＝2，则 2a＋2b 的最小 值为
第三十一页，共36页。
• 对于此类有关函数的应用问题(wèntí)，要依据题意建立函数关系 并明确在实际意义下函数的定义域，在求函数的最值时，主要有 两种途径：一是转化为二次函数，利用二次函数的性质来求最值； 二是利用基本不等式来求函数的最值．
第三十二页，共36页。
• 思考探究3 如图所示，为处理含有某种杂质(zázhì)的污水，要制 造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后 从B孔流出．设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流水中含杂 质(zázhì)的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，
第二十一页，共36页。
• 用均值不等式求函数的最值时必须同时(tóngshí)具备“一正，二定，三 相等”这三个条件，才能应用，否则会求出错误的结果．再者注意掌 握“凑”(凑项，凑因子)的技巧，其目的是创造一个应用均值不等式的 情境．
第二十二页，共36页。
思考探究 1 已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
c2a2＋a2b2≥2a2bc，
三式相加得 a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2 综上得 a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2， 所以bac3＋cba3＋acb3 ≥a＋b＋c.
第二十六页，共36页。
• 证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择基本不等式，本题 (běntí)的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
[解析] 由 a>b>0 得(a－b)2>0 即 ab<a2＋2 b2； 由 ab<a2＋2 b2不一定得出 a>b>0， 如 a＝－4，b＝2. “a>b>0”是“ab<a2＋2 b2”的充分非必要条件．
[答案(dáàn)] A
第十二页，共36页。
3．下列结论正确的是
A．当 x>0 且 x≠1 时，lgx＋lg1x≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
第二十九页，共36页。
• 例3 森林失火，火势以100 m2/min的速度蔓延，消防队接警后 立即派消防员前去，在失火5 min后赶到现场开始灭火，已知每 位消防员每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料等费用每人每 分钟125元，另加每次灭火所消耗的车辆、器材(qìcái)和装备等 费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林直接损失为60元，设 消防队派x名消防队员前去救火，从到现场直至把火完全扑灭共 用n min.
第一页，共36页。
• 最新考纲解读 • 1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理． • 2．会用平均值定理求最大或最小值． • 3．能运用均值定理来揭示数量间或(jiàn huò)实际问题中的不等关
系．
第二页，共36页。
• 高考考查命题趋势 • 1．均值不等式是不等式的重要内容，也是历年(lìnián)高考的重点，