基于数学建模思想的贝叶斯公式教学方法研讨

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０３
基于数学建模思想的贝叶斯公式教学方法研讨
基于数学建模思想的贝叶斯公式教学方法研讨Һ马德宜㊀柳福祥㊀崔㊀盛㊀（三峡大学理学院，湖北㊀宜昌㊀４４３００２）
㊀㊀ʌ摘要ɔ‘概率论与数理统计“是几乎所有大学生都需要学的一门课程，贝叶斯公式是‘概率论与数理统计“中的重要公式之一．文章由贝叶斯公式的实际应用题出发，首先，基于贝叶斯理论给出解答过程；其次，基于数学建模的思想，对题目进行拓展，分析贝叶斯公式与次品率之间的关系，得到该次品来自甲车间生产的可能性随着甲车间的次品率的增大而增大的结论，分析贝叶斯公式与占有率之间的关系，得到当甲车间的产品占全厂的比例在区间［０．２，０．５］时该次品来自丙车间生产的可能性最小的结论；最后，通过源码和图形仿真验证结论．
ʌ关键词ɔ贝叶斯公式；数学建模；仿真验证
ʌ基金项目ɔ高等学校大学数学教学研究与发展中心２０２１年教学改革项目（ＣＭＣ２０２１０５０４）
国内外已有许多学者从不同角度对与贝叶斯公式相关的教学进行了研究，比如在线课程设计㊁课程思政㊁数学建模㊁后验分布㊁统计推断等．虽然贝叶斯的相关知识在教材上有许多例题，但是大部分都是以贝叶斯公式为基础进行求解的．文章将以贝叶斯公式为基础，对应用问题进行拓展，考虑各种极值情况，最后再用Ｍａｔｌａｂ进行仿真，并以图形可视化形式展现最后结果，让贝叶斯公式更加通俗易懂．
一㊁贝叶斯公式
设Ｂ为样本空间Ω中的任一事件，Ａ１，Ａ２， ，Ａｎ为Ω的一个划分，且Ｐ（Ａｉ）＞０，ｉ＝１，２， ，ｎ，则有
Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＋ ＋Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ｂ｜Ａｎ）
＝
ðｎｉ＝１
Ｐ（Ａｉ
）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ
）．
（１）
（１）式称为全概率公式．
设Ｂ为样本空间Ω中的任一事件，Ａ１，Ａ２， ，Ａｎ为Ω
的一个划分，且Ｐ（Ｂ）＞０，Ｐ（Ａｉ）＞０，ｉ＝１，２， ，ｎ，则有
Ｐ（Ａｉ｜Ｂ）＝
Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）
ðｎｊ＝１
Ｐ（Ａｊ
）Ｐ（Ｂ｜
Ａｊ）
．（２）
（２）式称为贝叶斯公式．二㊁贝叶斯公式的应用
例１㊀设某工厂有甲㊁乙㊁丙３个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的４５％，３５％，２０％，且各车间的次品率分别
为４％，２％，５％．现在从一批产品中检查出１个次品，问该次品由哪个车间生产的可能性最大？
解㊀设Ａ１，Ａ２，Ａ３表示产品分别来自甲㊁乙㊁丙３个车间，
Ｂ表示 产品为次品 的事件，则Ａ１，Ａ２，Ａ３是样本空间Ω的一个划分，且有
Ｐ（Ａ１）＝０．４５，Ｐ（Ａ２）＝０．３５，ＰＡ３()＝０．２０，Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＝０．０４，Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＝０．０２，ＰＢ｜Ａ３()＝０．０５．由全概率公式得，
Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＋ＰＡ３()Ｐ（Ｂ｜Ａ３）＝０．４５ˑ０．０４＋０．３５ˑ０．０２＋０．２ˑ０．０５＝０．０３５．
由贝叶斯公式得，Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）Ｐ（Ｂ）＝０．４５ˑ０．０４
０．０３５ʈ０．５１４；
Ｐ（Ａ２｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）Ｐ（Ｂ）＝０．３５ˑ０．０２
０．０３５＝０．２００；
Ｐ（Ａ３｜Ｂ）＝
Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ｜Ａ３）Ｐ（Ｂ）＝０．２０ˑ０．０５
０．０３５
ʈ０．２８６．
由此可见，该产品由甲车间生产的可能性最大．三㊁贝叶斯公式与次品率之间的关系
对于上述例１，基于数学建模的思想进一步讨论下面这个问题．在其他条件不变的情况下，甲车间的次品率下降到多少时该次品来自甲车间生产的可能性不是最大？
以０．００１为步长，将甲车间的次品率从０逐步递增到０．５，绘制该次品来自甲㊁乙和丙车间生产的可能性与甲车间次品率之间的关系
．
图１㊀次品来源与甲车间次品率之间的关系
㊀㊀
㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０３
具体的源码如下：ｃｌｃ；
ｃｌｅａｒ；
ＰＡ＝［０．４５，０．３５，０．２］；％先验概率
ＰＢＡ＝［０．０４，０．０２，０．０５］；ｈｏｌｄｏｎｆｏｒｐ＝０ʒ０．００１ʒ０．０５㊀ＰＢＡ（１）＝ｐ；㊀％全概率公式㊀ＰＢ＝ｓｕｍ（ＰＡ．∗ＰＢＡ）；㊀％贝叶斯公式
㊀ＰＡＢ＝ＰＡ．∗ＰＢＡ／ＰＢ
㊀ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（１），ᶄｒ．ᶄ）；
㊀ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（２），ᶄｂ∗ᶄ）；㊀
ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（３），ᶄｇ＋ᶄ）；
ｅｎｄ
ｌｅｇｅｎｄ（ᶄ甲ᶄ，ᶄ乙ᶄ，ᶄ丙ᶄ）
可以发现，当甲车间的次品率大于０．０２２时该次品来自甲车间生产的可能性最大；当甲车间的次品率小于０．０１６时该次品来自甲车间生产的可能性最小；次品来自乙车间的可能性始终小于来自丙车间．
进一步从数学的角度分析原因，可以发现当甲车间的次品率逐渐增大时，由全概率公式将导致取出的产品为次品的概率增大．由贝叶斯公式可以发现Ｐ（Ａ２｜Ｂ）和Ｐ（Ａ３｜Ｂ）
计算公式中分母增大，分子不变，从而导致Ｐ（Ａ２｜Ｂ）和
Ｐ（Ａ３｜Ｂ）均减小．又因为Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ２｜Ｂ）－Ｐ（Ａ３｜Ｂ），所以Ｐ（Ａ１｜Ｂ）会随着甲车间的次品率的增大而增大．因此，该次品来自甲车间生产的可能性随着甲车间的次品率的增大而增大．
数学建模仿真结果和数学公式分析结果相一致，从两种不同角度分析贝叶斯公式，让学生更加清晰地认识贝叶斯公式．
四㊁贝叶斯公式与占有率之间的关系（一）丙占有率为２０％
对于例１，基于数学建模的思想进一步讨论下面这个问
题．在其他条件不变的情况下，甲车间的产量占全厂多少时该次品来自甲车间生产的可能性不是最大？
以０．０１为步长，固定丙车间的产量占比为２０％，将甲车间的产量占比从０．０５逐步递增到０．７５，绘制该次品来自甲㊁乙和丙车间生产的可能性与甲车间产品占比之间的关系
．
图２㊀次品来源与甲车间占比之间的关系
具体的源码如下：ｃｌｃ；
ｃｌｅａｒ；
ＰＡ＝［０．４５，０．３５，０．２］；％先验概率
ＰＢＡ＝［０．０４，０．０２，０．０５］；ｈｏｌｄｏｎｆｏｒｐ＝０．０５ʒ０．０１ʒ０．７５㊀ＰＡ（１）＝ｐ；
㊀ＰＡ（２）＝１－ＰＡ（１）－ＰＡ（３）；㊀％全概率公式㊀ＰＢ＝ｓｕｍ（ＰＡ．∗ＰＢＡ）；㊀％贝叶斯公式㊀ＰＡＢ＝ＰＡ．∗ＰＢＡ／ＰＢ
㊀ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（１），ᶄｒ．ᶄ）；
㊀ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（２），ᶄｂ∗ᶄ）；㊀
ｐｌｏｔ（ｐ，ＰＡＢ（３），ᶄｇ＋ᶄ）；
ｅｎｄ
ｌｅｇｅｎｄ（ᶄ甲ᶄ，ᶄ乙ᶄ，ᶄ丙ᶄ）
可以发现，当甲车间的产品占全厂的比例大于０．２６７时
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０３
该次品来自甲车间生产的可能性最大；当甲车间的产品占全厂的比例小于０．２６７时该次品来自乙车间生产的可能性最大；当甲车间的产品占全厂的比例在［０．２５，０．３０］之间时该次品来自丙车间生产的可能性最小．
进一步从数学的角度分析原因，可以发现当甲车间的产品占有率逐渐增大㊁乙车间占有率逐渐减小㊁丙车间占有率保持不变时，由贝叶斯公式知，如果次品来自甲㊁乙车间的可能性相同，则有
Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ２｜Ｂ），即
Ｐ（Ａ１Ｂ）Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ２Ｂ）
Ｐ（Ｂ）
，因此Ｐ（Ａ１Ｂ）＝Ｐ（Ａ２Ｂ），
即Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２），带入数据，得
Ｐ（Ａ１）ˑ０．０４＝（１－Ｐ（Ａ１）－０．２）ˑ０．０２，所以Ｐ（Ａ１）＝０．２６７．
同理，如果次品来自甲㊁丙车间的可能性相同，则有Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ３｜Ｂ），带入数据，得
Ｐ（Ａ１）ˑ０．０４＝０．２ˑ０．０５，所以Ｐ（Ａ１）＝０．２５．
同理，如果次品来自乙㊁丙车间的可能性相同，则有Ｐ（Ａ２｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ３｜Ｂ），带入数据得，
（１－Ｐ（Ａ１）－０．２）ˑ０．０２＝０．２ˑ０．０５，所以Ｐ（Ａ１）＝０．３０．
数学建模仿真结果和数学公式分析结果相一致．数学建模给出了直观图形，数学公式给出了理论推理，让学生从多角度思考贝叶斯公式．
（二）丙占有率为４０％
对于例１，基于数学建模的思想进一步讨论下面这个问题．在其他条件不变的情况下，甲车间的产量占全厂多少时该次品来自甲车间生产的可能性不是最大？
以０．０１为步长，固定丙车间的产量占比为４０％，将甲车间的产量占比从０．０５逐步递增到０．５５，绘制该次品来自甲㊁乙和丙车间生产的可能性与甲车间产品占比之间的关系
．
图３㊀次品来源与甲车间占比之间的关系
可以发现，当甲车间的产品占全厂的比例大于０．５时该次品来自甲车间生产的可能性最大；当甲车间的产品占全厂的比例小于０．２时该次品来自甲车间生产的可能性最小；当甲车间的产品占全厂的比例在［０．２，０．５］之间时该次品来自乙车间生产的可能性最小．
五㊁小㊀结
基于贝叶斯求解的应用题有许多，比如：
例２㊀已知５％的男人和０．２５％的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）？
例３㊀按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有９０％的可能考试及格，不努力学习的学生有９０％的可能考试不及格．据调查，学生中有８０％的人是努力学习的，问考试及格的学生是不努力学习的人的概率？
这种类似例题，都可以仿照本文方法进行拓展，然后进行仿真，让学生更加生动形象地理解贝叶斯公式的含义．
ʌ参考文献ɔ
［１］韩云娜，张静．概率论与数理统计在线课程教学设计与创新：以 全概率公式与贝叶斯公式 为例［Ｊ］．电脑知识与技术，２０２１（１３）：１１５－１１６，１４０．
［２］李广玉，田研． 课程思政 理念指导下的贝叶斯公式教学［Ｊ］．惠州学院学报，２０２０（０６）：１２６－１２８．
［３］曹建美，冯晨娇，王凤翔．将数学建模思想引入 贝叶斯公式 教学中的案例实施［Ｊ］．江苏科技信息，２０２０（３４）：５７－５９．
［４］程伟丽，李晓霞．后验分布在贝叶斯统计课堂教学的延伸［Ｊ］．高等数学研究，２０１８（０１）：７４－７８．
［５］胡顺奇，公维丽．贝叶斯统计推断的经典教学实例解析［Ｊ］．中国统计，２０１８（１０）：４１－４３．。