江西高一高中数学期中考试带答案解析

江西高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.的值等于（）
A．B．C．D．
2.已知点和向量，若，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
3.在中，若点满足，则（）
A．B．C．D．
4.已知向量，，若，则代数式的值是（）
A．B．C．D．
5.如图是函数图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将
（x∈R）的图像上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．
6.已知是正项等比数列，且，则的值是（）
A．2B．4C．6D．8
7.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．
8.设的三个内角为A，B，C，向量m＝n＝若m·n＝1＋，则C＝（）．
A．B．C．D．
9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小正值为（）
A．B．C．D．
10.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当
正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）
A．B．C．D．
11.已知函数，若数列满足，且对任意的正整数都有成立，那么实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上．若点
的坐为，记矩形的周长为，则（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知等差数列的公差，若，则_____．
2.已知函数的两个相邻最值点为，则这个函数的解析式
为____________．
3.设是定义在R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，的内角满足
则的取值范围是____．
4.在中，为的重心，且．若，则的最小值是．
5.（10分）设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前n项和T
．
n
三、解答题
1.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量
（1）若，且，求向量的坐标．
（2）若⊥，求的最小值．
2.（12分）已知中，是三个内角的对边，关于的不等式的解集是空集．
（1）求角的最大值；
（2）若，的面积，求当角取最大值时的值．
3.（12分）已知的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若，求求角B的大小以及的取值范围．
4.（12分）某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点
E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域．
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元．试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用．
5.（12分）已知各项均为正数的数列满足，且，其中．（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。

（3）令，记数列的前项和为，其中，证明：。

江西高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由诱导公式可得：，故选择A
【考点】诱导公式
2.已知点和向量，若，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点的坐标为，由可得：，解得，故选择B 【考点】平面向量的坐标表示
3.在中，若点满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
，故选择A
【考点】平面向量基本定理
4.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C
【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式
5.如图是函数图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将（x∈R）的图像上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．
【答案】A
【解析】由图象可得：，即，且最大值为1，所以函数又因为
函数图象过，所以有，所以函数为：
，可有函数向左平移个单位长度得到，再把所得各点的横坐标缩短到
原来的，纵坐标不变得到，故选择A
【考点】1．求三角函数解析式；2．三角函数图象变换
6.已知是正项等比数列，且，则的值是（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】有对数的运算性质可得：，即
根据等比中项性质可得：，所以
，即可得，故选择B
【考点】1．对数运算性质；2．等比数列的性质
7.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知式子化简可得：，所以向量在向量方向上的投影为
【考点】1．向量运算；2．向量的投影
8.设的三个内角为A，B，C，向量m＝n＝若m·n＝1＋，则
C＝（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，而在三角形中由
，所以上式为：，整理得
，因为C为三角形内角，所以，故选择C
【考点】1．两角和的正弦展开式；2．辅助角公式
9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小正值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意函数周期为：，因为存在实数，使得对任意的实数，都有
成立，所以函数在处取得最小值，在取得最大值，与相差周期的整数倍+半个周期，而即
，解得，所以的最小正值为，故选择C
【考点】三角函数的图象与性质
10.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当
正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：
，因为圆的半径为2，所以正方形的边长为，即。

再由，可得
，
而，所以的取值范围是，故选择B
【考点】向量的数量积
11.已知函数，若数列满足，且对任意的正整数都有成立，那么实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为且对任意的正整数都有成立，所以数列为递增数列，即函数
为增函数，需满足：，故选择D
【考点】1．分段函数；2．函数的单调性
12.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上．若点
的坐为，记矩形的周长为，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，所以矩形的周长，令
，所以可由错位相减求得：
，两式作差得，整理得
【考点】数列求和
二、填空题
1.已知等差数列的公差，若，则_____．
【答案】1008
【解析】由前n项和公式可得：，所以可得
【考点】1．等差数列前n项和公式；2．等差中项
2.已知函数的两个相邻最值点为，则这个函数的解析式
为____________．
【答案】
【解析】因为两个相邻最值点为，所以，所以函数为，将点代入可得，又因为，所以，故函数的解析式为
【考点】求三角函数的解析式
3.设是定义在R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，的内角满足
则的取值范围是____．
【答案】
【解析】因为是定义在R上的奇函数，且在区间上是单调递增，且，所以可得的
解集为，而A为三角形内角，所以等价于或，由余
弦函数解得的取值范围是
【考点】1．函数的奇偶性；2．余弦函数图象
4.在中，为的重心，且．若，则的最小值是．
【答案】2
【解析】由，解得，因为为的重心，所以有，所以，所以的最小值是2
【考点】1．向量的线性表示；2．基本不等式
5.（10分）设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立．
（1）求数列的通项公式；
．
（2）设求数列前n项和T
n
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，求得，利用求得，可得；（2）因为，所以，由列相求和可得
试题解析：（Ⅰ）当n=1时，a1=5S1+1，∴，
又，
即
∴数列{an}是首项为a1=﹣，公比为q=﹣的等比数列，
∴；
（Ⅱ）
所以
所以Tn=[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=
【考点】1．求数列通项公式；2．数列求和
三、解答题
1.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量
（1）若，且，求向量的坐标．
（2）若⊥，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据已知得，又因为，所以有，两式联立可得，即得；（2）由⊥可知，所以代入已知式子可得关于的一元二次函数，进行求最值
试题解析：（12分）（1）因为=，又，所以
所以．①
又因为||=，所以．②
由①②得，，所以．所以．
当时，（舍去），
当t=-1时，cosθ=-1，
所以B（-1，-1），所以．
（2）由⊥可知
所以
【考点】1．向量的运算；2．求三角函数最值
2.（12分）已知中，是三个内角的对边，关于的不等式的解集是空集．
（1）求角的最大值；
（2）若，的面积，求当角取最大值时的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）的不等式的解集是空集，即，解得，进而确定C，可得最大值；（2）由面积公式求得，由余弦定理得：，从而得即
试题解析：（1）的解集是空集，所以
集．，得或≤-2（舍去）
所以C
即C的最大值为
（2）＝，
得，
由余弦定理得：，从而得
则．
【考点】1．解一元二次不等式；2．余弦定理
3.（12分）已知的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若，求求角B的大小以及的取值范围．
【答案】（1）-1；（2）
【解析】（1）由诱导公式以及二倍角公式可得，再有周期可得，
，即可求得的值；（2）有正弦定理可得
在三角形中化简得可得，进而求得的取值范围．
试题解析：（12分）解：（1）∵
∴函数f（x）的最小正周期为．即：，得，
，
（2）∵，
∴由正弦定理可得：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
【考点】1．二倍角公式；2．正弦定理；3．三角函数的性质
4.（12分）某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于居民平时休闲散步，该
小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点
E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域．
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元．试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用．
【答案】（1）定义域为[，]；（2）
【解析】（1）在Rt△BOE中，，∠BOE=α可得，在Rt△AOF中，，所以，由勾股定理可求得EF，所以定义域为[，]；（2）根据已知求L的
最小值，令，则，因为α∈[，]，所以可求L最值
试题解析：（1）在Rt△BOE中，，在Rt△AOF中，．
在Rt△OEF中，EF=
当点F在点D时，角α最小，α=，当点E在点C时，角α最大，α=，
所以
定义域为[，]．
（2）设，α∈[，]，所以
所以当时，，总费用最低为元．
【考点】1．三角函数的应用；2．求函数最值
5.（12分）已知各项均为正数的数列满足，且，其中．（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求
出所有的的值；若不存在，请说明理由。

（3）令，记数列的前项和为，其中，证明：。

【答案】（1）;（2），．使得成等比数列；（3）见解析
【解析】（1）由题意可得：，即，所以是公比为的等比数列，即可求得通项公式；（2）假设成等比数列，则，即，取倒数化简得，则，又因为所以，此时．即存在；（3）可得，采用分组求和，采用裂项相消求和，即可得，可证得
为减函数，即可证得
试题解析：解:，所以有，即
所以数列是公比为的等比数列
由得，解得。

从而，数列的通项公式为。

（2）=，若成等比数列，则，
即．由，可得，
所以，解得：。

又，且，所以，此时．
故当且仅当，．使得成等比数列。

（3）
∴
易知递减，
∴0＜
∴
【考点】1．求数列通项公式；2．数列求和。