浙江省浙大附中高三数学全真模拟试卷理(含解析)

2016年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A． B． C．a≤1 D．a＜12．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b3．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则sin（α+）的值为（）A． B． C． D．4．已知数列{a n}中满足a1=15， =2，则的最小值为（）A．10 B．2﹣1 C．9 D．5．若实数a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，则下列关系中不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直7．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|=2|F2Q|，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．8．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C 三点．若球O的体积为36π，则O，P两点间的距离为（）A．3B．3C．3 D．6二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q= ；等差数列{a n}的通项公式a n= ；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n= ．10．若实数x，y满足，则x，y所表示的区域的面积为，若x，y同时满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则实数t的取值范围为．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．12．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是．13．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．14．设a，b为正实数，则的最小值为．15．设函数f（x）=x2（0≤x≤1），记H（a，b）为函数f（x）图象上点到直线y=ax+b距离的最大值，则H（a，b）的最小值是．三、解答题：（本大题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．18．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x）有三个不同的零点}．19．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．2016年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A． B． C．a≤1 D．a＜1【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A⊆B，求出a符合的条件即可．【解答】解：∵A={x|＜x＜5，x∈Z}，∴A={1，2，3，4}∵A⊆B，∴a＜1故选D2．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．3．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则sin（α+）的值为（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】解法一：根据sinα+cosα=，求得sin（α+）=，可得cos（α+）=﹣．再根据sin（α+）=sin[（α+）﹣]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．解法二：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得cos、sin的值，从而求得sin（α+）的值．【解答】解：解法一：∵sinα+cosα=sin（α+）=，∴sin（α+）=，∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣=﹣．sin（α+）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=+=，故选：A．解法二：∵sinα+cosα=，α∈（0，π），∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴sinα＞0，cosα＜0，由（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，可得 sinα﹣cosα=．解得sinα=，cosα=．∵cos=cos（﹣）=cos cos+sin sin=，sin=sin（﹣）=sin cos﹣cos sin=，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=•+•=，故选：A．4．已知数列{a n}中满足a1=15， =2，则的最小值为（）A．10 B．2﹣1 C．9 D．【考点】数列递推式．【分析】由已知得a n+1﹣a n=2n，从而a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=n2﹣n+15，进而=n+﹣1，由此能求出当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．【解答】解：∵数列{a n}中满足a1=15， =2，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=15+2+4+6+8+…+2（n﹣1）=15+=n2﹣n+15，∴=n+﹣1≥2﹣1，∴当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．故选：D．5．若实数a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，则下列关系中不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，对a，b，c的大小关系分类讨论即可得到答案．【解答】解：∵a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，∴①若a，b，c均大于1，由log a2＜log b2＜log c2，知必有a＞b＞c＞1，故C有可能成立；②若a，b，c均大于0小于1，依题意，必有0＜c＜b＜a＜1，故C有可能成立；③若log c2＞0，而log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1＜c，故B有可能成立；④0＜log b2＜log c2，而log a2＜0，必有b＞c＞1＞a＞0，故D由可能成立；综上所述，A：a＜b＜c不可能成立．故选A．6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B7．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|=2|F2Q|，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F2Q|=m，根据双曲线的定义分别求出|PF1|=2m+2a，|QF1|=m+2a，根据直角三角形的性质建立方程关系求出m=a，然后再次利用直角三角形的关系建立a，c的方程关系进行求解即可．【解答】解：∵经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|=2|F2Q|，∴设|F2Q|=m，则|PF2|=2|F2Q|=2m，|PF1|=|PF2|+2a=2m+2a，|QF1|=|QF2|+2a=m+2a，∵PQ⊥F1Q，∴|PF1|2=|PQ|2+|QF1|2，即（2m+2a）2=（3m）2+（m+2a）2，整理得4m2+8ma+4a2=9m2+m2+8ma+4a2，即4am=6m2，则m=a，则|QF1|=a+2a=，|F2Q|=a，由|F1F2|2=|F1Q|2+|QF2|2，即4c2=（）2+（a）2=，即=，则e===，故选：D．8．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C 三点．若球O的体积为36π，则O，P两点间的距离为（）A．3B．3C．3 D．6【考点】球内接多面体．【分析】连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：O′A==．由AO′⊥PO，OA⊥PA可得，根据球的体积可得半径OA=3，进而求出答案．【解答】解：连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形，∴O′A==．∵AO′⊥PO，OA⊥PA，∴，∴OP=OA•=OA．又∵球的体积为36π，∴半径OA=3，则OP=．故选：B．二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q= ；等差数列{a n}的通项公式a n= 3n﹣2 ；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n= ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由等比数列和等差数列的性质得（1+3d）2=（1+d）（1+8d），从而求出d=3，由此能求出这个等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，∴（1+3d）2=（1+d）（1+8d），解得d=0（舍）或d=3，∴这个等比数列的公比q===．等差数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．数列{a n}的前n项和S n=n×1+=．故答案为：，3n﹣2，．10．若实数x，y满足，则x，y所表示的区域的面积为，若x，y同时满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则实数t的取值范围为[﹣2，﹣] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形的交点坐标进行求解，求出（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点，结合图象建立条件关系即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由，解得，即C（1，4），由，解得，即A（﹣2，3），由，解得，即B（0，2），令x=0．得y=，即D（0，），即AD=﹣2=则区域面积S=×2+×1=．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，解得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t≤﹣，即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，故答案为：；[﹣2，﹣]．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16 cm3，表面积为34+6cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．12．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=8 ．【考点】圆的标准方程．【分析】取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，由此能求出圆的方程．【解答】解：取AB中点D，连结OD，则D点坐标为（3，3），则OD=3，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，∴圆心为（2，2），∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．故答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．13．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴，即，又AB=1，，∠BAD=60°，∴，∴=λ2+3μ2+，∴=≤，∴≤1，∴的最大值为1，当且仅当，取等号．故答案为：1．14．设a，b为正实数，则的最小值为2﹣2 ．【考点】基本不等式．【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解答】解： ==1﹣=1﹣，∵a，b为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣215．设函数f（x）=x2（0≤x≤1），记H（a，b）为函数f（x）图象上点到直线y=ax+b距离的最大值，则H（a，b）的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【分析】如图所示，我们研究平行直线系与函数f（x）=x2（0≤x≤1）图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l1与l2之间，图象上的个别点在直线上．设两条平行直线l1与l2之间的距离为d．我们发现只有l1经过点O（0，0），A（1，1），l2与图象相切于点P时，H（a，b）的最小值=d．求出即可得出．【解答】解：如图所示，我们研究平行直线系与函数f（x）=x2（0≤x≤1）图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l1与l2之间，图象上的个别点在直线上．设两条平行直线l1与l2之间的距离为d．我们发现只有l1经过点O（0，0），A（1，1），l2与图象相切于点P时，H（a，b）的最小值=d．设P，f′（x）=2x．∵k OA=1，∴2x0=1，解得x0=．∴P，直线OA的方程为：y=x．∴d==．∴H（a，b）的最小值=d=．故答案为：．三、解答题：（本大题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【考点】三垂线定理；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC 内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PD B的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF 中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．【解答】解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．18．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x）有三个不同的零点}．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）化简当x∈（﹣∞，﹣2）时，，按定义法五步骤证明即可；（II）函数f（x）有三个不同零点可化为方程有三个不同的实根，从而化简可得方程与；再记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1），从而转化为二次函数的零点的问题．【解答】解：（I）证明：当x∈（﹣∞，﹣2）时，．任取x1，x2∈（﹣∞，﹣2），设x2＞x1．=．由所设得x1﹣x2＜0，，又k＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增．（II）函数f（x）有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．方程化为：与．记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1）．（1）当k＞0时，u（x），v（x）开口均向上．由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，u（x）在（﹣2，+∞）应有两个不同零点．∴，∴b＜2k﹣2．（2）当k＜0时，u（x），v（x）开口均向下．由u（﹣2）=1＞0知u（x）在（﹣2，+∞）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，v（x）在（﹣∞，﹣2）应有两个不同零点．∴∴b＜2k﹣2．综合（1）（2）可得M k={b|b＜2k﹣2}．19．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0）．由2k PF=k PA+k PB，知，由此能得到椭圆C的方程．（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0，再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0）．∵2k PF=k PA+k PB，∴，∴c=1，b2=3，∴，（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0，，①，②①2/②得，令t=，则|t|+||=|t+|=，∴，即．∵，∴．20．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =1﹣a n （n ∈N *）． （Ⅰ）试求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =，求证：数列{c n }的前n 项和P n ＞2n ﹣．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（II ）由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，，化简利用“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ）解：∵S n =1﹣a n （n ∈N*），∴S n+1=1﹣a n+1，作差得：，又当n=1时，，故．（Ⅱ）证明：由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，==，结论也成立，综上知，对∀n∈N*，都成立．。