江西省白鹭洲中学2014-2015学年高二数学上学期第三次月考试题 理

x y o x y o x y o x y
o 数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的 ） 1．若()sin cos f x x α=-,则'
()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+
D ．2sin α
2．设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则
“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分不必要条件 3．若点A(x 2
+4，4－y ，1＋2z)关于y 轴的对称点是B(－4x ，9，7－z)，则x ，y ，z 的值依次为（ ）
A ．1，－4，9
B ．2，－5，－8
C ．2，5，8
D ．－2，－5，8 4．3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
319 B ．316 C ．313 D ．3
10 5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32
3
π，则这个三棱柱的体积是( )
A ．963
B ．163
C ．243
D ．483
6．已知m ,n 为两个不相等的非零实数，则方程0=+-n y mx 与mn my nx =+2
2所表示 的曲线可能是（ ）
A B C D 7．已知点M 是抛物线x y 42
=上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2
＋(y －1)2
＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
8．正三棱锥P —ABC 中，∠AP B=∠BPC=∠CPA=90°，PA =P B=PC=a ，AB 的中点M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是（ ） A ．a
210 B ．a 2
3
C ．)
22(2
1a +
D ．a )51(21+
图2
俯视图
侧视图
正视图
4
9．已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是（ ）
A.)1(1822
>=-x y x B.)1(1822
-<=-x y x C.)0(1822>=+x y x D. )1(110
22
>=-x y x 10．已知抛物线22
2
222(0)1x y y px p a b
=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲
线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．
2
15+ B ．12+ C ．13+ D ．21
22+
11．已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =
，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点, 则实数t 的取值范围是（ ） A ．()()+∞-∞-,11,
B ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()
+∞-∞-,,2222
D ．()(
)
+∞-∞-,,22
12．已知圆锥曲线m y mx 442
2
=+的离心率e 为方程02522
=+-x x 的两根，则满足条件
的圆锥曲线的条数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.
将答案填在答题卡上的相应位置）
13．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯
视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .
14．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为____________.
15．已知1F 、2F 是双曲线22
221x y a b
-=)0,0(>>b a 的两个焦
点，
以线段1F 2F 为边作正△21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心
率e = . 16．以下四个命题中：
①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“2
,0x R x ∃∈<”；
②与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线； ③“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件；
④曲线
192522=+y x 与曲线22
1(09)925x y k k k
+=<<--有相同的焦点； ⑤设A ，B 为两个定点，若动点P 满足PB PA -=10，且6=AB ，则PA 的最大值为8；其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）
三、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17．（本题满分10分）命题p ：关于x 的不等式0)1(2
2≤+-+a x a x 的解集为φ； 命题q ：函数x
a a y )2(2-=为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． （1）p 、q 至少有一个是真命题；（2）p 或q 是真命题且p 且q 是假命题． 18．（本题满分12分）已知点)5,0(P 及圆C ：0241242
2
=+-++y x y x . （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.
19．（本题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中
11==AD AA ,E 为CD 中点.
(1)求证:11B E AD ⊥；
(2)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE
若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由； (3)若二面角11A B E A --的大小为30︒,求AB 的长.
20．（本题满分12分）设点)0)(,(≥y y x P 为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为
坐标原点），点P 到定点)21,0(M 的距离比点P 到x 轴的距离大21
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
（2）若直线1:+=kx y l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且62||=AB ，求k 的值； （3）设点P 的轨迹是曲线C ，点),1(0y Q 是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切
线方程.
21.（本题满分12分）直线l :1+=kx y 与双曲线C :122
2
=-y x 的右支交于不同的两点A 、
B .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出
k 的值；若不存在，说明理由.
22．（本题满分12分）椭圆C ：)0(,122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,
M 是椭圆上一点，且满足021=•M F M F .
（1）求离心率e 的取值范围；
（2）当离心率e 取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为52.
(i)求此时椭圆C 的方程；
(ii)设斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B
两点能否关于过点P （0，3
3
-）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由.
白鹭洲中学2014年高二年级12月月考
数学答案（理）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
1 1
2 答案 A
A
B
D
D
C
B
A
A
B
D C
13、 24 14、1
,0x ey e
-= 15、31+ 16、①②⑤
17、
故p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时，a 的取值范围为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<≤≤<21113
1a a a
-或
18、解 如图所示，AB=43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD=23， 圆x 2
+y 2
+4x-12y+24=0可化为（x+2）2
+（y-6）2
=16，
圆心C （-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt △ACD 中，可得CD=2.
设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0. 由点C 到直线AB 的距离公式：
2
2)1(562-++--k k =2，得k=4
3.
此时直线l 的方程为3x-4y+20=0.
又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x=0.
则y 2
-12y+24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD ·PD =0，
（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x 2
+y 2
+2x-11y+30=0.
19、解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,
11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(,1,0),(,0,1)
2a
A D D E
B a 111(0,1,1),(,1,1),(,0,1),(,1,0)22
a a
AD B E AB a AE ∴==--==
11011(1)102
a
AD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥
(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-
设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002
ax z n AB ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得
(1,,)2
a
n a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥
1
022
a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.
(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥
11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .
1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则
111cos ,||||2a
a
AD n AD n AD n --⋅<>==
二面角是30︒,所以,即2AB =
20、解：（1）过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知2
1
||||=
-PN PM , 而0≥y ，y PN =∴||，21)21(22+
=-+∴y y x .
化简得)0(22
≥=y y x 为所求的方程。

（2）设),(),(2211y x ，B y x A ，联立⎩⎨
⎧=+=y
x kx y 212
得
0222=--kx x ,2,22121-==+∴x x k x x
628414)(1||22212212=++=-++=k k x x x x k AB 04324=-+∴k k 而02≥k ，12=∴k 1±=∴k
（3）因为),1(0y Q 是曲线C 上一点，2
1
,2002
0=
∴=∴y y x ∴切点为)21,1(，由2
2
1x y =
求导得x y ='∴当1=x 时1=k 则直线方程为)1(2
1
-=-
x y 即0122=--y x 是所求切线方程. 21、解 （1）将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2
-y 2
=1后，
整理得(k 2-2)x 2
+2kx+2=0 ①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，
故⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪
⎨⎧>->-->--=∆≠-02
20220)2(8)2(0222222k k k k k k 解得k 的取值范围为-2＜k ＜-2.
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),
则由①式得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=•-=+22222212
21k x x k k x x
②
假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0），则由FA ⊥FB
得
（x 1-c ）(x 2-c)+y 1y 2=0.
即(x 1-c)(x 2-c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0. 整理得： (k 2+1)x 1x 2+(k-c)(x 1+x 2)+c 2
+1=0 ③ 把②式及c=
2
6
代入③式化简得 5k 2
+26k-6=0. 解得k=-566+或k=
5
6
6-∉(-2,-2)（舍去）. 可知k=-5
6
6+使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 22、解：(1)、由几何性质知的取值范围为：
2
2
≤e ＜1 (2)、(i) 当离心率e 取最小值时，椭圆方程可表示为1222
22=+b
y b x 。

设H( x , y )是椭圆上
的一点，则| NH |2
=x 2
+(y-3)2
= - (y+3)2
+2b 2
+18 ，其中 - b ≤y ≤b
若0＜b ＜3 ，则当y = - b 时，| NH |2有最大值b 2
+6b+9 ，
所以由b 2
+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去)
若b ≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b 2+18 ，所以由2b 2+18=50解得b 2
=16
∴所求椭圆方程为
116
322
2=+y x (ii) 设 A( x 1 , y 1 ) ，B( x 2 , y 2 )，Q( x 0 , y 0 )，则由两式相减得x 0+2ky 0=0； 又直线PQ ⊥直线l ，∴直线PQ 的方程为3
31--
=x k y ，将点Q( x 0 , y 0 )坐标代入得
3
3100--
=x k y ……② 由①②解得Q(k 332-
,3
3
)，而点Q 必在椭圆的内部 ∴116
31
32)332(2<+-
k ， 由此得k 2
<
2
47
，又k ≠0 ∴ -294 < k < 0或0 < k < 294 故当( -294 , 0 ) ∪( 0 , 2
94 )时，A 、B 两点关于过点P 、Q 、的直线对称。