[配套k12学习]九年级数学下册第二章2.2圆心角圆周角练习新版湘教版

2.2 圆心角、圆周角
2．2.1 圆心角
基础题
知识点1 认识圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)
A B C D
2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D) A ．54° B ．72°
C ．90°
D ．126°
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3．下列说法中，正确的是(B) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等
4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB＝122°，则∠AOC 的度数为(A) A ．122°
B ．120°
C ．61°
D ．58°
5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B) A ．AB>CD B ．AB ＝CD C ．AB<CD
D ．不能确定
6．如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵
，∠AOD＝80°，则∠ABC 等于(B) A ．40°
B ．65°
C ．100°
D ．105°
7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空： (1)若AC ＝BC ，则AC ︵＝BC ︵
，∠AOC＝∠BOC； (2)若AC ︵＝BC ︵
，则AC ＝BC ，∠AOC＝∠BOC； (3)若∠AOC＝∠BOC，则AC ︵＝BC ︵
，AC ＝BC ．
8．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵
的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC 等于40°．
9．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B＝70°，则∠A ＝40°．
10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD＝34°，求∠AEO 的度数．
解：∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵， ∠COD＝34°， ∴∠BOE＝102°. ∵OA＝OE ，
∴∠AEO＝∠EAO＝1
2∠BOE＝51°.
中档题
11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA.则∠BCD 等于(C) A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．135°
12．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中，正确的个数为(D)
①∠DOE＝∠AOB；②AB ︵＝DE ︵
；③OF＝OC ；④AC＝EF. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵
，则弦AB 与2CD 之间的关系为(B)
A ．A
B ＝2CD B ．AB ＜2CD
C ．AB ＞2C
D D ．不能确定
提示：如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，连接DE ，CE ，则有AB ︵＝CE ︵
.∴AB＝CE.又CD ＋DE ＝2CD>CE ＝AB ，∴AB ＜2CD ，故选B.
14．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC 的度数； (2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．
解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵
， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴AB＝BC ＝CA.
∴△ABC 是等边三角形．
15．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD ＝DE.
证明：连接OE ， ∵OA＝OE ， ∴∠A＝∠OEA. ∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA. ∴∠BOD＝∠DOE. ∴BD＝DE.
16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵
.
证明：连接OC ，OD ，
∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点， ∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC 和Rt△OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，
OC ＝OD ，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)． ∴∠COM＝∠DON. ∴AC ︵＝BD ︵
. 综合题
17．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E ，F. (1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE ＝OF ，那么AB ︵与CD ︵
的大小有什么关系？为什么？
解：(1)OE ＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA ＝OB ，OC ＝OD ，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝12∠AOB，∠FOD＝1
2∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD. 在△EOB 和△FOD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠OEB＝∠OFD，∠EOB＝∠FOD，OB ＝OD ，
∴△EOB≌△FOD(AAS)． ∴OE＝OF. (2)AB ︵＝CD ︵.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
∴点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．
在Rt△BEO 和Rt△DFO 中，⎩
⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，
OE ＝OF ，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)． ∴BE＝DF.
∵AB＝2BE ，CD ＝2DF ， ∴AB＝CD. ∴AB ︵＝CD ︵
.
2.2.2 圆周角
第1课时圆周角定理及其推论1
基础题
知识点1 认识圆周角
1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)
知识点2 圆周角定理
2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)
A．180°－2αB．2α
C．90°＋αD．90°－α
4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．
5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．
知识点3 圆周角定理推论1
6．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，AC ，BD 相交于点E ，则∠ABD＝(A) A ．∠ACD B ．∠ADB C ．∠AED
D ．∠ACB
7．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A) A ．28°
B ．42°
C ．56°
D ．84°
8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B 等于(C) A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
9．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵
，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是(D) A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．30°
10．如图所示，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠BDC＝∠ADB. ∴DB 平分∠ADC.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°． 中档题
13．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵
所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D) A ．45°
B ．40°
C ．25°
D ．20°
14．(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D) A ．64°
B ．58°
C ．32°
D ．26°
15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正弦
5
16．如图所示，在⊙O 中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO 的度数为50°．
17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC ，则∠BAC＝35°．
18．如图，点A ，B ，C 三点在⊙O 上，过C 作CD∥AB 与⊙O 相交于D 点，E 是CD ︵
上一点，且满足AD ＝DE ，连接BD 与AE 相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.
证明：∵AB∥CD， ∴∠B AC ＝∠ACD. ∵AD＝DE ，∴AD ︵＝DE ︵
. ∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC， ∴△AFD∽△ABC. 综合题
19．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；
(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．
证明：(1)△ABC 是等边三角形． 在⊙O 中，
∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵
所对的圆周角， ∠ABC 与∠APC 是AC ︵
所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．
(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ， ∵∠APC＝60°， ∴△APD 是等边三角形． ∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°， 即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB 和△ADC 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，
∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP.
∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP.
第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
基础题
知识点1 圆周角定理推论2
1．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)
A．12个单位长度B．10个单位长度
C．4个单位长度D．15个单位长度
3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)
A．20° B．40° C．50° D．70°
4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)
A．30° B．45° C．60° D．70°
5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A.10 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
知识点2 圆内接四边形对角互补
7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)
A．80° B．120° C．100° D．90°
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．
10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.
证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
中档题
12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)
A ．60°
B ．120°
C ．140°
D ．150°
13．如图，AB 为⊙O 的直径，关于角p ，q ，r ，s 之间的关系：①p＝2q ；②q＝r ；③p＋s ＝180°中，正确的是(A) A ．只有①和② B ．只有①和③ C ．只有②和③
D ．①②③
14．(2018·白银)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B) A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
15．(2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵
，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．
16．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，CD 为∠ACE 的平分线． (1)求证：△ABD 为等腰三角形；
(2)若∠DCE ＝45°，BD ＝6，求⊙O 的半径．
解：(1)证明： ∵CD 平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝BD2＋DA2＝62＋62＝6 2.
∴⊙O的半径为3 2.
17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)
∴平行四边形ABFC是菱形．
(2)连接BD.
∵AD＝7，BE ＝CE ＝2， 设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x. ∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AB 2
－AD 2
＝CB 2
－CD 2
. ∴(7＋x)2
－72
＝42
－x 2
. ∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去)． ∴S 半圆＝12×π×42
＝8π.
∴BD＝15. ∴S 菱形ABFC ＝815. 综合题
18．如图，在⊙O 中，直径AB 的两侧有定点C 和动点P ，点P 在AB ︵
上运动(不与A ，B 重合)，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.
(1)试猜想：△PCQ 与△ACB 具有何种关系？(不要求证明) (2)当点P 运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．
解：(1)△PCQ∽△ACB. (2)当CP ︵
为半圆时， △ABC≌△PCB. 证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CP ︵
为半圆，
∴CP是直径．
∴∠PBC＝90°，AB＝CP.
∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．。