对一类含绝对值不等式解法的一点思考

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0 x 123-1-2-30 O 对一类含绝对值不等式解法的一点思考
摘要：运用绝对值的几何意义解含绝对值不等式 关键词：绝对值，绝对值的几何意义
解不等式是中学数学的基本功，然而解含绝对值的不等式疑点往往很多。

下面本人就中学数学中常见的一类含绝对值的不等式的解法谈一点看法
解含绝对值的不等式主要思路是去绝对值，从而达到化难为易目的，但有时反而很麻烦。

对于有些含绝对值的不等式若充分运用绝对值的几何意义解答往往简洁明快，立竿见影。

理论基础：绝对值的几何意义，即∣x ∣的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点的距离。

进一步有∣x －a ∣的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 的点的距离。

问题1：解不等式∣ｘ+１∣-∣ｘ-２∣＞０ 解法1、零点分段法 略 解法2、如图所示 123-1-2-3
设P.A.B 分别表示数轴上的数x ，-1，2所对应的点，则∣ｘ+１∣-∣ｘ-２∣表示点P 到点A 的距离与到点B 的距离之差，显然当P 在AB 的中点时到A.B 两点的距离相等,那么当点P 在AB 的中点的右侧时它到A.B 两点的距离大于0,而AB 的中点表示的数
为21,因此原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
>21|x x 问题2：解不等式∣ｘ+１∣-∣ｘ-3∣＞1 解法1、零点分段法 略 解法2、如图所示
设P.A.B 分别表示数轴上的数x ，-1，3所对应的点，则原不等式⇔∣PA ∣-∣PB ∣＞1显然当23=
x 时∣PA ∣-∣PB ∣=1,故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
>23|x x 问题3：解不等式∣ｘ+１∣+∣ｘ-3∣＞1 解: 如图所示 123-1-2-3
原不等式⇔∣PA ∣+∣PB ∣＞1, ∣AB ∣=4＞１故原不等式的解集为Ｒ 问题４：解不等式∣ｘ+１∣+∣ｘ-3∣＞５
解: 如图所示
A
B
P
A B
P B
A
0 0 2/3 3/2
123
-1-2
-3
原不等式⇔∣PA ∣+∣PB ∣＞５,易得当27=
x 或2
1
-=x 时，∣PA ∣+∣PB ∣＝５ 故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
>
-<2721|x x x 或 问题５：若不等式∣ｘ+１∣+∣ｘ-3∣＞ａ恒成立，求a 的取值范围
解法1、令()x f =∣ｘ+１∣+∣ｘ-3∣，则()x f >a 恒成立⇔()min x f >a,作图可锝 ()min x f =4,故a<4 解法2、如图所示
123-1-2-3
原不等式⇔∣PA ∣+∣PB ∣＞a,因为∣AB ∣=4且当点P 在A 的左侧，B 的右侧运动时∣PA ∣+∣PB ∣＞4, 故a<4 疑点1、设数x 表示的点为p,则当数据较复杂时点p 的位置不好确定;但若考察其等号成立时的情况利用方程与数形结合的思想,亦不难解决.
疑点2、解不等式∣ｘ+１∣-∣2ｘ-3∣＞0就不益运用上述方法直接去解,因为∣
2ｘ-3∣并不能直接表示数x 表示的点到2
3
所表示的点的距离,所以解集并不是
⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧
>41|x x ,考虑到∣ｘ+１∣-∣2ｘ-3∣＞0⇔∣ｘ+１∣-2∣ｘ-23∣＞0,如图,
123-1-2-3
设数x,-1, 2
3
所对应的点分别为P,A,B,则原不等式⇔∣PA ∣-2∣PB ∣＞0,考
察等号成立易得,当x=
32时,其差等于0,故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
>32|x x . 总结:解含绝对值的不等式往往用到简单的一些数学基础知识.本文解不等式的方法中就用的是初一学过的绝对值的几何意义看似简单用好不易；因此,首先知识点要熟练并深刻理解;其二,方法要灵活,不可一味的模仿,生搬硬套.
B
B
A A
A
B
P
对一类含绝对值不等式解法的一点思考
玉门高级中学
张文海
二OO七年七月。